<<
>>

12.9. КВАДРАТНЫЕ МАТРИЦЫ

Из всего изложения матричной алгебры уже должно быть ясно, что с квадратными матрицами обращаться легче, чем с прямоугольными, ибо они в большей мере удовлетворяют системе алгебраических правил. Простейшими из квадратных матриц являются неособенные, имеющие определитель, отличный от нуля.

Все выводы в отношении ранга и эквивалентности любых матриц тХ п, полученные в предыдущем разделе, справедливы и для частного случая квадратных матриц данного порядка п.

Так, любая квадратная матрица А порядка п и ранга г эквивалентна квадратной диагональной матрице Dr, содержащей на своей диагонали г элементов, равных 1, и п — г нулевых элементов. В частном случае, если А — неособенная матрица ранга п, то она эквивалентна единичной матрице I порядка п. В этом разделе мы будем изучать дальше общие свойства квадратных матриц и частные свойства неособенных матриц.

I. Квадратные матрицы вообще. Рассмотрим множество Snn всех квадратных матриц порядка п. Это множество является векторным пространством, замкнутым в отношении сложения и умножения на скаляр, в котором также определено для всех матриц и произведение. В данном случае для умножения матриц справедливы такие правила: замкнутость (Ml), ассоциативность (М2), существование идентичности (единичного элемента) (М4) и дистрибутивность (D). Выполнение этих правил является минимумом, вполне достаточным для того, чтобы Snn классифицировать как линейную алгебру. Это множество иногда обозначают Мп (/^),*где п указывает порядок квадратных матриц, a F — поле (в данном случае вещественных чисел), из которого берутся скаляры. Единственный «недостаток» этого множества, что оно вообще не коммутативно в* отношении умножения и что в нем нет обратных величин для всех его членов.

Отношение эквивалентности между квадратными матрицами А и В выражается в виде В —PAQ, где Р и Q — некоторые неособенные матрицы того же порядка, что А и В; оно позволяет разделить Snn на подмножества S0, S2, Sn классов эквивалентности. Класс Sr содержит все матрицы ранга г, и его канонической (или представительной) формой является диагональная матрица Dr. Класс Sn включает в себя все неособенные матрицы порядка 72, а его канонической формой является единичная матрица I.

Если вместо матрицы Q взять Р"1 (а это всегда возможно, так как Р — неособенная матрица), то мы получим частный случай отношения эквивалентности между матрицами, а именно понятие подобных матриц.

Определение. Квадратные матрицы А и В называются подобными, если В = РАР1, где Р — неособенная матрица того же порядка, - что А и В.

Если неособенная матрица Р дана, то В = РАР"1 дает единственное отношение между любой квадратной матрицей А и ее подобным «изображением» В. С этой точки зрения В можно назвать преобразованием А с помощью данной матрицы Р, которое является единственным. С другой стороны, если дана матрица А, то все матрицы В, подобные ей, получаются при разных матрицах Р. Так как подобие матриц является частным случаем эквивалентности, то все подобные матрицы имеют одинаковый ранг. Однако обратное утверждение не справедливо: не все матрицы, имеющие одинаковый ранг, подобны друг другу. Отношением подобия матриц можно воспользоваться для дальнейшего подразделения классов эквивалентности SQ, S^ S21 ..., Sn, на которые разбивается множество Snn.

Важно отметить, что если бы произведение матриц было коммутативным, то в выражении В = РАР"1 матрицы Р и Р"1 взаимно уничтожатся, и матрицы А и В равнялись бы друг другу.

Однако в матричной алгебре матрицы вообще не коммутативны в отношении умножения, и поэтому выражением В = РАР"1 матрицы А и В могут быть описаны только как подобные, но не как равные. Однако в отношении определителей, являющихся скалярами, мы не испытываем подобного затруднения, и подобные матрицы имеют равные по величине определители А и В. Доказательство элементарно:

В = [РАР"11 = | Р| |А| = = А

Следовательно, если неособенные матрицы подобны, то можно сказать, что их «размер» одинаков в том смысле, что их определители равны. Что касает- ся особенных матриц, подобных или нет, то их определители, как мы знаем, равны нулю.

Подобные матрицы имеют очень разнообразное применение. Одно из них связано с так называемой «диагонализацией» любой квадратной матрицы, что мы рассмотрим в разделе 13.4.

II. Неособенные матрицы. Рассмотрим неособенную матрицу А порядка п. Из всего, что мы пока знаем, можно сказать, что А имеет ненулевой определитель А, ее ранг равен п, и она эквивалентна единичной матрице I порядка п. Далее нам известно, что А имеет обратную себе матрицу А"1, то есть произведение неособенных матриц удовлетворяет закону (М5), и возможно деление. Может показаться, что множество всех неособенных матриц данного порядка есть даже лучшая линейная алгебра, чем множество всех квадратных матриц. Однако это не так. Выигрыш в отношении умножения компенсируется потерями со стороны сложения, так как множество неособенных матриц перестает быть замкнутым в отношении сложения: при сложении двух неособенных матриц не обязательно получается неособенная матрица. Наоборот, очень часто результатом такого сложения оказывается особенная матрица. Приведем простой пример: -1

О

[і :м "0 1" —- 0 0_ Определитель каждой из матриц в левой части равен 1, а определитель матрицы-суммы равен нулю.

Следовательно, множество неособенных матриц перестает быть векторным пространством. Его значительно легче рассматривать с точки зрения только одного бинарного действия — умножения матриц. В этом случае множество неособенных матриц оказывается некоммутативной группой в отношении умножения; за единственным исключением — закон коммутативности (МЗ) — для него справедливы все правила умножения. Это множество иногда называют полной линейной группой и обозначают Ьп (/*), где F — поле, из которого берутся скаляры (в данном случае вещественные числа).

Когда рассматриваются неособенные матрицы, наибольшее внимание концентрируется на матрице А"1, обратной А. При решении многих практических задач приходится находить обратные матрицы очень большого порядка, а это трудная вычислительная работа. Все, что мы можем сделать здесь, это дать метод нахождения А"1, не прибегая к определению, на основе которого искать обратную матрицу очень трудоемко. Предположим, что нам известны элементарные преобразования, которые превращают матрицу А в эквивалентную ей единичную матрицу I. Применяя эти же преобразования к I, мы и получим матрицу А"1, обратную А. Приведем пример.

Пример (а)

°1

О =1. 0

О"

2 О 1

1

эквивалентна 1) вычитаем первый и третьего столбцов; помноженный на 2,

В данном случае элементарные преобразования таковы: столбец, помноженный на 2 и на 3, соответственно из второго 2) второй столбец (полученный после первого преобразования), вычитаем из третьего столбца. Применим те же

"1 О О 1 О о

11 1 —2 О 1

преобразования к I 1 —2

эквивалентна

= А"1.

1 = Этот результат мы уже получили в разделе 12.7, пример (б).

III. Ортогональные матрицы. В разделе 11.6, пункт VII, мы приводили пример линейного преобразования:

уг = хг COS 0 + #2 sin 0 и у2 = — хг sin 0 + #2 cos 0

от двумерного вектора (х1ч х2) к двумерному вектору (г/і, у2). Характерной чертой этого преобразования является то, что оба вектора представляют одну и ту же точку пространства, если только имел место поворот координатных осей на угол 0. Таким образом, это преобразование показывает изменение координат любой точки пространства при повороте координатных осей на угол 0. Следовательно, в результате такого преобразования все расстояния и углы в пространстве остаются совсем незатронутыми. Эти свойства пространства инвариантны относительно линейного преобразования. Приведенное нами линейное преобразование является одним из примеров ортогонального преобразования, а его матрица

cos0 sin 01 — sin0 COS0J

есть частный случай ортогональной матрицы, являющейся одним из видов неособенной матрицы. Теперь нам остается обобщить эти понятия.

Определение. Неособенная матрица А является ортогональной только тогда, если матрицы, обратная ей и транспонированная, совпадают, то есть

А-1 = А'.

Поэтому это условие можно выразить так:

АА' = А'А = 1.

Перечислим основные свойства ортогональной матрицы А = [ars] порядка п.

а) Определитель ортогональной матрицы А = ± 1.

Доказательство. |А| | А' | = 111 = 1, так как АА' = I (по определению ортогональной матрицы). Но поскольку и |А| и |А'| равны А, то А2 — 1 и А = ± 1.

б) Сумма квадратов элементов любой строки А равна единице:

= 1 (г = 1, 2, ...,га).

t=і

в) Сумма элементов одной строки А, умноженных на соответствующие элементы другой строки, равна нулю:

71

2«ГАІ-0 (г, 5 = 1,2, . ..,га; г ф s).

і

Докажем' свойства (б) и (в). Напишем вектор аг = (а1, а2, ...,ап), являющийся г-й строкой А, и рассмотрим произведение АА'. Элемент (г, г) этого произведения есть скалярное произведение г-й строки А и г-го столбца А', каждый из которых является вектором аг. Точно так же элемент (г, s) есть скалярное произведение векторов аг и а8. Но так как АА' = 1, то диагональный элемент (г, г) равен 1, а внедиагональный элемент (г, s) равен 0. Итак,

п

аг-аг= 2 art = 1

t=і

и

71

Vаs = tS artast = °-

Последнее выражение означает, что если любые разные строки ортогональной матрицы А рассматривать как векторы, то последние будут находиться под прямым углом (ортогональны).

Два последних свойства справедливы и для столбцов ортогональной матрицы. (Это легко доказать, если принять во внимание, что и А'А=1.~ Ред.)

Рассмотрим теперь линейное преобразование у = Ах от w-мерных векторов х к га-мерным векторам у, где А —ортогональная матрица. Это пре- образование, так же как и матрица, называется ортогональным. Пусть х19 х2, ..,. представляются точками Р1? Р2,... в га-мерном евклидовом пространстве, в котором определены понятия расстояния и угла:

Длина ОРг: ^ = xrx2.

Х1'Х2

Угол 0 между ОРг и ОР2: cos0:

|Х2|

где |Х1|2 = ОР^ = Х1Х2, И аналогично для |х2|2 (см. 11.4). Теперь предположим, что ух, у2, ... представляются точками Q14 Q2i ... в другом /г-мер- ном пространстве, полученном в результате преобразования у = Ах. Напишем произведение двух векторов (см. 12.6):

у^уг = (АХІ)' (АХ2) = х;А'Ах2=x;ix2 = х;х2,

так как А —ортогональная матрица, и поэтому А'А = 1. Но произведение х[х2 равно скалярному произведению хх-х2, и аналогично УіУ2 = Уі-У2- Следовательно, скалярные произведения — инвариантны в отношении этого линейного преобразования: х1-х2 = у1-у2, а из этого сразу следует, что и углы и расстояния—также инварианты в отношении ортогонального преобразования:

ОРг — OQ1 и Приведем пример. Пример (б) 1

1 /2 Ч/б V3 /6 V3

/в 1

/в"

2

/3 1

-Y2

Матрица Р =

/3 1

1_

/2

О

У6 Уз .

ортогональная, так как РР' = /.

Легко также проверить свойства ортогональной матрицы*

->

Свойство а) у 2 у 18

Свойство б) Проверим, например, для первой строки Р:

(тгУ+Ш+С^гК+Ы-

Свойство в) Перемножим элементы двух первых строк Р:

IV. Неразложимые матрицы. Рассмотрим данную матрицу А порядка п и данную перестановочную матрицу Р* (являющуюся, следовательно, ортогональной). Предположим, что матрица А преобразуется с помощью перестановочной матрицы Р* в следующую блочную форму:

АЯ = Р*А (Р*)-г = * 0 А2 где А1— матрица порядка г (г < п), и, следовательно, А2 —матрица порядка и —г, а в верхнем правом углу находится блок любых элементов, обозна- чаемый символом * и имеющий размерность гх(п-г). В этом случае матрица А называется разложимой. Если же нельзя найти такой перестановочной матрицы Р*, то матрица А называется неразложимой.

Следовательно, неразложимой является такая матрица, в которой никакими перестановками строк и последующей соответственной перестановкой столбцов нельзя получить в левом нижнем углу блок из нулевых элементов. Любую другую (следовательно, разложимую) матрицу А перестановкой строк и столбцов можно превратить в блочную матрицу, у которой вдоль главной диагонали будут расположены неразложимые матрицы. Для этого сначала нужно, как это сделано выше, превратить А в Art. Если в этом случае матрицы А± и А2 окажутся неразложимыми, то мы получим желаемый результат. Если же хотя бы одна из них будет разложимой, то ее в свою очередь можно разложить на отдельные блоки. Этот процесс продолжается до тех пор, пока наконец А не превратится в матрицу такого вида: А, * * 0 А2 * 0 0 A J где Ад, А2, ..., Ak — неразложимые квадратные матрицы (в частном случае это могут быть отдельные элементы), расположенные вдоль главной диагонали. По одну сторону от диагонали в этой матрице расположены нулевые элементы, а по другую —любые элементы (включая и нулевые. — Ред.).

Приведем пример разложимой матрицы 4x4: А = 0 1 2 3 1 2 3 4 0 0 1 0 0 0 2 1 "0 3 2 Г 0 1 2 0 0 0 1 0 1 4 3 2 превращается в Разложение достигается перестановкой второй и четвертой строк и второго

[ІЇ]

и четвертого столбцов. Блок ^

"О 1 1

можно

неразложим, а блок

разложить дальнейшей перестановкой строк и столбцов. Если это сделать, то первоначальная матрица А превратится в эквивалентную: Ajt — 0 і і 2 3 " 1 2 і 3 4 0 0j 1 2 .0 Oj 0 1 где ^ ' 1 и 1 — неразложимые блоки, расположенные вдоль главной диагонали.

[1 1 1]

0 10 0 0 lj

Задачи и упражнения

1. Показать, что неособенную матрицу А= I

'1 —1 —11 = 010 0 0 lj

можно получить элементарными

преобразованиями из I. Найдя эти преобразования, доказать, что А_1 = 2.

Даны две квадратные матрицы А и В одинакового порядка, такие, что АВ = 0. Показать, что если | А | ф 0, то В=0. Какие еще могут быть возможности? Ответив на этот вопрос, показать, что если А и В—квадратные матрицы и такие, что АВ=0, то или А=0, или В=0, или и А и В—особенные матрицы.

л „ I COS0 sin 01 3.

Показать, что л I есть ортогональная матрица, и проверить ее

[ —sin0 COS0J

свойства III* 4. Показать, что если А и В—ортогональные матрицы, то А', А"1 и АВ—также ортогональные матрицы. 5.

Показать, что в определении подобных матриц последовательность матриц в РАР"1 может быть обратной, то есть вместо РАР"1 можно записать Р-1АР. 6.

Если В = РАР', где А—квадратная матрица и P—неособенная матрица, показать, что те же элементарные преобразования (характеризуемые P), примененные к строкам и столбцам, превращают А в В.

1 1

/2 1

і

V2 1

V2 1

Уг У

подобна диа

5] К

/2 1

7. Проверить умножением,

L/2

S]

уТ /2-І

и вывести отсюда, что симметрическая матрица

[І -Я ?

гональной матрице

8. В одном из столбцов матрицы А порядка п на главной диагонали стоит h, а па других местах этого столбца—нули. Показать, что матрицу А с помощью перестановочной матрицы P* можно преобразовать в

где At —матрица порядка п — 1. Почему этого нельзя сделать, если элемент h находится не на главной диагонали? Сформулировать вывод, исходя из понятия разложимой матрицы.

9. Показать, что матрица А из предыдущего упражнения эквивалентна

и что та же матрица, но с элементом h не на главной диагонали, также может быть

выражена эквивалентной матрицей такой же формы. Исследовать, исходя из этого, границы преобразования с помощью перестановочной матрицы.

<< | >>
Источник: Р. Аллен. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЭКОНОМИЯ. 1963

Еще по теме 12.9. КВАДРАТНЫЕ МАТРИЦЫ:

  1. 13.4. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИИ КВАДРАТНОЙ МАТРИЦЫ
  2. 12.3. РАВЕНСТВА, НЕРАВЕНСТВА МАТРИЦ, СЛОЖЕНИЕ МАТРИЦ И УМНОЖЕНИЕ МАТРИЦЫ НА СКАЛЯР
  3. 12.7. ОБРАТНЫЕ МАТРИЦЫ. ВЕЛИЧИНА ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ МАТРИЦЫ
  4. Если бы Земля была квадратной
  5. 10. Ранг матрицы
  6. 17. Блочные матрицы
  7. 8. Операции с матрицами
  8. 11.6. МАТРИЦЫ
  9. 11.7. ВЕКТОРЫ И МАТРИЦЫ
  10. 12.4. УМНОЖЕНИЕ МАТРИЦ