<<
>>

13.5. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ

Мы часто пользовались линейными формами, представляющими собой сумму членов, каждый из которых — произведение одной из переменных

на постоянный коэффициент. В системе линейных уравнений

левая часть каждого уравнения — линейная форма; используются линейные формы и при линейных преобразованиях. В общем виде линейная форма описывается следующим уравнением: Z/ — ^/j arxr

Т— і

: -f- а2X2 ] - •. і где аг — постоянный коэффициент, а — переменная величина. Обозначим нсктор-столбец величин аг через а и хг через х.

Тогда

L = a'x = x'a

представляет собой сжатую запись линейной формы.

Предположим теперь, что аг — не постоянные коэффициенты, а переменные второй системы, которую мы обозначим через у. В таком случае мы получаем простейший случай так называемой «билинейной формы»:

385

25 р. Аллеи

ЧУх + Я2У2 + • • • + хпУп = Х'У = У'х-

Эта форма называется «билинейной» потому, что имеется две системы переменных, и форма линейна относительно каждой из них. Если же первая система переменных тождественна со второй (то есть х = у), то мы имеем дело с частным случаем билинейных форм:

, •« -{-хп = х x.

Это простейший случай «квадратичной формы» относительно переменной х.

В более общем виде билинейные и квадратичные формы включают члены, являющиеся всеми попарными произведениями двух переменных обеих систем, как-то: хгу2 или ххх2, взятыми с различными постоянными коэффициентами. Если мы имеем матрицу постоянных коэффициентов A—[ars] размерности т X п и две системы переменных, записанных в виде векторов- столбцов х={?г} и у = {ys} (r= 1, 2, ..., т, и s = 1, 2, .. ., п), то билинейная форма в общем виде описывается уравнением:

В = 22 arsxrys = а11х1у1 + а12хіУ2 -[-...+ а1пх1уп + ]

Г S I

+ а21х2ух + а22х2у2 + . . . + а2их2уп +...}> (1)

• • • + ат1ХтУі + ат2ХтУъ + • • • + атпХтУп• )

В частном случае, если т — п и первая система переменных тождественна второй, мы получаем квадратичную форму в общем виде:

Q = 22 ^TsXrXs = апх1 + ЯЦЯА + • • • + а1пХ1Х« + " (2)

а2пХ2Хп + • • • + ап1хгх

п "Ь ®п2Х2Хп

+ .. . + аппх2п. 1

Здесь A— [ars] — квадратная матрица тг-ro порядка, а переменные образуют вектор-столбец х={яг} также п-го порядка.

Легко заметить (см. упражнение 1), что мы без потери общности можем принять ars — asr для всех г и s. Тогда матрица A=[ars] симметрическая. Поэтому для всякой квадратичной формы Q матрицу коэффициентов А = [ars] можно считать симметрической; величину определителя матрицы А, то есть А — | А|, назовем дискриминантом формы Q. Приведем три простейших примера квадратичной формы для двух переменных хг и х2:

Пример (а)

Q=xl+xl A=[J J], А =

Пример (б)

0 —1

Пример (в) -хгх2—

Q = х\ -р х\ — 2х±х2 = xf- = 0.

1 —1 -1 1

1 —1 — 1 1

Эти три примера показывают, какие возможны варианты изменений знака квадратичной формы Q при изменении значений переменных хх и х2. При хг = х2 = 0 во всех случаях Q = 0, и этот тривиальный вариант исключается, если мы примем, что вектор х=(х19 х2) Ф 0. Поэтому мы принимаем, что х Ф 0 и что ни ни х2 не равны оба нулю. В примере (а) квадратичная форма Q может принимать только положительные значения, в примере (б) — как положительные, так и отрицательные в зависимости от абсолютных значений х1 и х2. Более затруднителен случай квадратичной формы Q в примере (в),

где матрица А особенная, то есть ^4=0.

Так как в этом примере

Q = {x i-*2)2,

то очевидно, что Q может принимать положительные (при хг ф х2) или нулевые (при хг = х2) значения, но ни в коем случае не отрицательные. Значит, в примере (в) квадратичная форма Q является неотрицательной в отличие от примера (а), где она положительна.

Следовательно, при исследовании знака квадратичной формы Q полезно «дополнить квадрат» и попытаться преобразовать Q в сумму квадратов. Рассмотрим другие примеры:

Пример (г)

Q = x\-\-2х\— 2xLx2, А= ? * ? J —неособенная матрица.

Тогда

Q = (*i — 2ххх2 + х\) + х\,

то есть

Q=(x1-x2)^+xl

а эта квадратичная форма может принимать только положительные значения. От примера (в), где форма Q была квадратом одной величины и могла принимать положительные и нулевые значения, форма Q настоящего примера отличается тем, что представляет собой сумму двух квадратов и может быть только положительной.

Это наводит на ту мысль, что если матрица А является неособенной, то форма Q может быть представлена в виде суммы двух квадратов; если же А—особенная матрица, один из квадратов исчезает. И, действительно, дело обстоит именно так.

Вместе с тем «сумму» двух квадратов (при неособенной матрице А) следует попимать как «алгебраическую сумму» (то есть как «сумму или разность»). Например

»

Q — x\ — х\—2^2 = — э^)2—2х\

является примером квадратичной формы Q, матрица которой неособенная, так что форма может принимать как положительные, так и отрицательные значения.

Развивая далее эти идеи, необходимо иметь общую запись билинейной формы (1) и квадратичной формы (2) в виде матричных уравнений. Приводимые ниже результаты получены путем непосредственного применения правила умножения матриц. В общем виде билинейная форма описывается уравнением

В = х' Ау, (3)

где векторы-столбцы х и у представляют две системы соответственно из гаг и п переменных и где А = [ars] — матрица гаг X п из постоянных коэффициентов. Частным случаем этой формы является квадратичная форма общего вида:

Q = х'Ах, (4)

где х — вектор-столбец (га-го порядка) переменных, а А — квадратная матрица /г-го порядка. Можно убедиться в том, что матрицы уравнений (3) и (4) согласованные: х'Ау являются произведением трех матриц, размерность которых соответственно 1 X гаг, гаг X га и га X 1; в результате умножения получается скалярная величина В.

Представляет интерес частный случай, когда матрица А — единичная матрица I га-го порядка. На основании (3) можно написать

В = х' 1у = х'у,

что соответствует форме:

В = Хуух + х2у2 + . . . + хпуп. На основании же уравнения (4) можно написать

25:

387

Q = x'lx = х'х, что соответствует форме

Q = +

Эти формы мы уже встречали выше.

Квадратичная форма Q — скалярная функция переменной х. Если путем линейного преобразования мы переходим от системы переменных х к системе у, равной ей по числу переменных, то Q преобразовывается в функцию у, причем она остается также квадратичной формой относительно новых переменных. Нетрудно построить матрицу коэффициентов этого преобразования. Пусть линейное преобразование х = Су применено по отношению к уравнению () = х'Ах:

Q = (Су)' А (Су) = у'С'АСу, (5)

то есть () = у'Ву, где В = С'АС.

Это — преобразованная квадратичная форма. Новая матрица В подобна исходной матрице А и ранг матрицы В равен рангу матрицы А.

Матрица А квадратичной формы Q является симметрической. Поэтому все характеристические корни этой матрицы суть вещественные числа.

Это значит, что можно применить результат, полученный в разделе 13.4: матрица А оказывается подобной диагональной матрице к, диагональными элементами которой являются характеристические корни матрицы А. Для этого воспользуемся ортогональной матрицей Р:

А = РЯР"1 = РІР',

так как для ортогональной матрицы Р_1 = Р\

Если мы применим преобразование х = Ру или обратное преобразование у = Р-1х = Р'х по отношению к квадратичной форме Q, то, в соответствии с уравнением (5), получаем

Q= у By, где В = Р'АР = Р~1(РЯР~1) Р = Я,

то есть

Q = Yh = Ky\ + Kvl+ ???-гКуі (G)

Все п характеристических корней (Aj, . .., Хп) матрицы А являются вещественными, но не обязательно различными, а некоторые из них могут быть равны нулю. Если ранг матрицы А равен г<тг, то существует п — г нулевых и г ненулевых (включая кратные) характеристических корней.

Основным выводом для квадратичных форм является возможность преобразовать всякую квадратичную форму (4) в сумму квадратов (6).

С помощью некоторого ортогонального преобразования х = Ру любую квадратичную форму Q = х'Ах можно представить в виде суммы квадратов:

Q = У'Яу = КУ\ + КУ\ + ? • • + Kyi-

Коэффициенты К являются характеристическими корнями матрицы А, а у — переменные, находящиеся в определенной зависимости от х (выраженной уравнением у = Ргх). Если ранг матрицы А равен г Пример (д)

Q = 2(x\-\-xlJrxl — х2х3 — х3хг — хгх2).

Здесь применимы результаты, полученные в примере (а) раздела 13.4. Матрица

12 —1 —11 ГЗ О СП

— 1 2 —1 . Она ортогонально эквивалентна матрице 0 3 0 . -1 -1 2] L° 0 Oj

Соответствующее преобразование описывается уравнением х —Ру или у = Р'х где P—та же матрица, что и в примере (а) раздела 13.4:

1 111

= + — %хз) или sa =—+

1 2 1 1 Уз=~^(х1 + хЪ+хз) ИЛИ = - — + 2/3-

Произведем подстановку:

то есть Q= 4 + у (*!+*,-2*,)». .

В этом случае ранг матрицы А равен 2, а ее характеристические корни 3, 3 и 0; квадратичная форма Q является суммой двух квадратов.

Возможны разные выражения квадратичной формы Q в виде суммы квадратов. И, в самом деле, даже в столь простом численном примере, который приведен здесь, можно «дополнить» форму до других квадратов, причем значительно быстрее:

1 1 1 2 х2 — 2 х3 1 1 2 х2— 2 хз 1 1 2 х2 — 2 хз — Q = (х\ — ххх2 — хгхг) + (х\+xl — х2х3) =

/1 1 "\а 1 1 1

— ( 2 хъ 2 хз ) хъ ^Г 2 (^"Ь хз ^г^з) —

Значит,

1 3

Q = ~2 (2xI — — *з)2+ у *з)2-

Это—другой вариант выражения квадратичной формы Q. Операция «дополнения до квадратов» практически производится в тех случаях, когда форма задана с численными коэффициентами; выводы, полученные для ортогонального преобразования, показывают, что подобная операция возможна в любом случае.

Приведение квадратичной формы к сумме квадратов применяется главным образом с целью определения знака формы Q. Пусть форма (относительно п переменных) Q = х'Ах, причем | А| =^=0, то есть матрица А неособенная. Тогда Q равна точно сумме п квадратов:

Куі + Ь*УІ+ • • • -rKyh.

Все переменные у не могут одновременно быть равными нулю, какими бы мы ни задались значениями х (если только не все х равны нулю). Переход от у к х осуществляется посредством ортогонального преобразования х = Ру, обратное преобразование имеет вид у = Р'х. Каждому значению х можно сопоставить одно значение у, и наоборот. Так как у = 0 соответствует х = 0, нулевое значение у не может соответствовать ненулевым значениям х. Следовательно, знак формы Q зависит от знаков характеристических корней матрицы А, то есть Я2, ..., Если все эти корни положительны, то всегда положительна и форма Q, и наоборот.

Квадратичпая форма называется положительной определенной, если она принимает только строго положительные значения при любых значениях переменных (если не все из них равны нулю). Если матрица А неособенная, то для того, чтобы квадратичная форма была положительной определенной, необходимо и достаточно, чтобы положительными были все характеристические корни матрицы А.

Остается исследовать тот случай, в котором матрица А особенная и ее ранг г < га. В этом случае п — г характеристических корней матрицы А нулевые; форма Q равна сумме лишь г квадратов, и в нее входит только г из переменных ?/2, ..., уп, полученных из системы переменных х. Всегда можно подобрать такие значения х, из которых не все нулевые, чтобы г переменных у были равны нулю, но не все остальные у были бы равны нулю. Следовательно, даже если г ненулевых значений характеристических корней матрицы А являются положительными, и квадратическая форма Q — сумма г положительных квадратов, всегда можно подобрать такие значения х, при которых форма Q обращается в нуль. Отсюда следует, что должно строго соблюдаться условие, установленное для существования положительной определенной формы Q, то есть все решительно характеристические корни матрицы А должны быть положительными. Случай особенной матрицы А, имеющей несколько характеристических корней, равных нулю, должен быть категорически исключен.

Важно подчеркнуть разницу между положительными определенными и неотрицательными квадратичными формами Q. Форма Q > О тогда и только тогда, когда матрица А имеет п положительных характеристических корней, исключая тот случай, когда матрица А особенная и некоторые из ее характеристических корней равны нулю. Условие почти (но не полностью) удовлетворяется, если матрица А особенная, причем имеет г положительных и п — г нулевых характеристических корней. Тогда форма Q является неотрицательной (positive semi-definite), принимающей наряду с положительными и нулевые значения.

Для того чтобы все характеристические корни матрицы А были положительными, члены левой части характеристического уравнения | А — XL | =0 должны быть знакочередующимися. Это значит, что должны быть положительными определители всех диагональных квадратных подматриц матрицы А, начиная от подматрицы первого порядка и вплоть до подматрицы гс-го порядка (см. упражнение 5). Результаты, полученные для положительной определенной квадратичной формы, можно сформулировать следующим образом.

Квадратичная форма Q = х' Ах относительной переменных является положительной определенной, если она принимает положительные значения при любых значениях переменных (из которых не все равны нулю). Это имеет место тогда и только тогда, когда положительны все п характеристических корней квадратной и симметрической матрицы п-го порядка А = [ars]\ последнее равносильно соблюдению следующих неравенств:

а11 а12 • • • ат

"12 ^22

а12 а22 • • • а2п ^ Л

>0,

ап > 0,

112

а1п а2п • • • апп

Отрицательная определенная квадратичная форма Q принимает только отрицательные значения при любых значениях переменных (не все из которых равны нулю). Это можно сформулировать иначе: (-Q) > 0, то есть (—Q) является положительной определенной формой. В приведенных выше неравенствах величины определителей для отрицательной формы должны быть знакочередующимися (первый из них отрицательный).

Дальнейшие результаты мы можем получить, исходя из установленного теперь основного свойства. Важнейшим из них является условие, согласно которому квадратичная форма относительно п переменных является положительной определенной (или отрицательной определенной), если переменные линейно зависимы:

а'х = аххх + а2я2+ . . . + апхп = 0,

где а — заданный вектор постоянных коэффициентов (не все из которых равны нулю). Используя это уравнение для того, чтобы выразить одно переменное через остальные, мы приводим Q к квадратичной форме относительно п — 1 переменных. Необходимое условие заключается в том, что Q после его приведения будет положительной (или отрицательной) определенной формой. Как уже показано [1], это условие можно выразить с помощью определителей следующим образом:

Квадратичная форма Q = х'Ах относительно п переменных является положительной определенной при условии существования линейной зависимости (описываемой уравнением а'х = 0), если 212

и12 а22

<0,

0

«і а2

а» а.

0

il2 и,13

<0,

<0.

«і «її

а2 а12 ^22 ^23

^23 "зз

13

оц а 0 «і а2 .. • «п «1 аи а12 . . • ат а2 ^12 а22 . • . а2п а« а1п а2п • • • апп При этих же условиях квадратичная форма Q является отрицательной определенной, если знаки указанных определителей чередуются (первый определитель положительный).

Мы можем указать здесь еще одно свойство квадратичных форм, которым мы воспользуемся далее (см. 18.2). Пусть форма Q = x'Ах является положительной определенной, так что А —неособенная симметрическая матрица (характеристические корни которой положительны). Применим неособенное преобразование у = Ах или х=А_1у, при котором любым заданным значениям переменных х (из которых не все равны нулю) соответствовала бы единственная совокупность переменных у (из которых не все равны нулю). Тогда

Q = (А* *у)' А (А^у) = у' (А-1)' (АА"1) у = у'А^у,

так как, ввиду симметричности матрицы А, АА-1 = 1 и (А"1)' = А-1. Отсюда следует, что:

Если форма х'Ах является положительной определенной, то положительной определенной является и форма у'А_1у. ' Предположим теперь, что Q = 22 arsxrxs является положительной опре-

r S

деленной при условии:

2 &гХг = а1Х1 + а2Х2 + • • • + апхп = г

Составим выражение

д = 22 arsxrxs + 2X 2 arxr

г S г

для любого А, то есть

R = х'Вх,

где х —система п+ 1 переменных (А, х1, х2, . . ., жЛ), а матрица В представляет собой окаймленную матрицу А, то есть матрицу, к которой присоединены строка и столбец коэффициентов а, как это сделано в приведенных выше определителях. Дополнительные условия для Q быть положительной определенной состоят в том, что форма R есть положительная определенная при любом значении х, если не все х равны нулю и если 2arrr = 0-

г

Выполним преобразование у = Вх или х = В_1у и заметим, что если

У = (Уо» Уи У21 • ••.»«).

У о

= 2 агхг — о*

то

Следовательно, как и выше, R может быть представлено в виде результата преобразования

Я-у'В^у,

где у = (0, ух, у2, .. ., г/п), и переменные у могут принимать любые значения (но не нулевые для всех у). Форма R положительная определенная, и, поскольку первое переменное системы у есть нуль, эту форму можно написать в виде 22 (BTJB) yrys. Здесь В есть |В| и Brs — алгебраическое

Г S

дополнение элемента ars в матрице В; суммирование производится по элементам, в которых каждое из уг и ys пробегает п значений. Значит, можно сделать следующий вывод:

Если 22ars;rrrs>0 и 2arrr~0, то в таком случае для любых

г s г

значений у (где не все у нулевые)

Г S

где |В| — определитель, образованный из матрицы А = [аГз] окаймлением коэффициентами а. Аналогичные результаты можно получить и для отрицательных определенных квадратичных форм.

Задачи и упражнения 1.

Квадратичная форма Q= 2 2 arsxrxs несимметрична (ars ф asr). Показать, что

Г S

эту форму можно представить в виде симметрической] формы Q = 2 2 asrxrxsi ГДе

г s

CCrs = CCsr =

1/2(«rs+«sr) = asr- На этом основании установить, что матрицу формы Q всегда можно сделать симметрической. Проверить правильность этого предложения на примере:

Q = x \ — 3#!a?2+ хіхч + — х\—ХХХ2

х^х2 —j— • 2.

Для квадратичной формы Q = x\-\-x 1 — 2хгх2 матрица имеет вид А = ? | | J .

Ранг этой матрицы ріавен 1, а характеристические корни 0 й 2. Показать, что с помощью ортогонального преобразования:

1 1

У і = (Х1 — х2), Уг = -у- (я?! + х2)

форма Q может быть представлена в виде одного полного квадрата. 3.

Q = 2xxx2 является квадратичной формой относительно двух переменных. Составить матрицу этой формы, определить характеристические корни матрицы и показать, что с помощью ортогонального преобразования, приведенного в предыдущей задаче, форма Q может быть представлена в виде разности двух полных квадратов. Установить, что ни эта и ни предыдущая квадратичные формы не являются положительными определенными. 4.

Показать, что форма Q = x\-\-xl-\-xl — xAxz—х2х3 является положительной определенной: а) путем отыскания характеристических корней матрицы этой формы, б) путем приведения ее затем к сумме трех полных квадратов.

5. Q = x'Ax есть квадратичная форма относительно трех переменных. Написать характеристическое уравнение матрицы А в виде

— ^+Р1Х^р2Х+р3 = 0

(см. 13.4, упражнение 3) и показать, что все характеристические корни Х2 м ^з) положительны в том и только в том случае, если положительны все коэффициенты Ри Р2 и Рз- Показать, что это равносильно условию: а1\ а\2 &12 Я22

>о,

L>0,

«12 а22 а23 а13 а23 а33

Каким образом этот результат можно обобщить? 6. Форма х'Ау является билинейной. Перейти к новым переменным и и v посредством преобразований х=Си и y = Dv и показать, что u'Bv— преобразованная билинейная форма, где B = C'AD. Каким условиям должна отвечать размерность каждой из матриц? При каких условиях вместо матрицы С можно взять матрицу D?

<< | >>
Источник: Р. Аллен. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЭКОНОМИЯ. 1963

Еще по теме 13.5. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ:

  1. ПСЕВДОКАРСТОВЫЕ ФОРМЫ
  2. ===== Глава V == ФОРМЫ ГОСУДАРСТВА
  3. Глава 12 ФОРМЫ ВОСПИТАНИЯ
  4. Глава 14. Формы государства
  5. Глава 2. Формы эволюции
  6. ФОРМЫ КАРСТОВОГО РЕЛЬЕФА
  7. 2.7. Построение формы
  8. 2. Формы государства
  9. 11.3.2. Подземные формы. 
  10. § 1. Понятие формы государства
  11. ФОРМЫ ВОСПИТАНИЯ
  12. Организационные формы
  13. 10.1.2. Аккумулятивные формы. 
  14. § 4. Формы парламентского контроля
  15. 6.1. ПАРЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ ПНР
  16. 2.8. Создание сложной формы
  17. Отрицательные формы. 
  18. 11.3.1. Поверхностные формы 
  19. 10.2.1. Современные золовые формы
  20. Ископаемые переходные формы