<<
>>

13.6. УСТОЙЧИВОСТЬ СОСТОЯНИЯ РАВНОВЕСИЯ РЫНКА

Теперь становится возможным окончательно связать между собой свободные звенья в условиях Хикса, касающиеся устойчивости равновесия рынка (см. 9.5). Пусть имеется т товаров и последний из них базисный, или единичный, его цена принимается за единицу; остальные цены pr(r= 1, 2, 1) определяются при состоянии равновесия рынка из условия

равенства спроса и предложения:

Sr — Dr = Yr — (Хг — Хг) = 0 (r= 1, 2, ...,(m-l)), (1)

где Yr и Хг суть функции цен, а Хг задано.

Равновесие является устойчивым, если каждая из цен, в какой-либо момент получившая возмущающее отклонение, с течением времени стремится возвратиться к значению в положении равновесия.

Следовательно, понятие «устойчивость» применимо лишь к точно определенной динамической системе. В разделе 9.5, где рассматривалась модель Хикса [7], это не было сделано, и мы попытались идти кратчайшим путем. Теперь же необходимо исследовать динамику цен на взаимосвязанных рынках.

По Вальрасу, динамическая модель в случае единственного рынка (см. 1.8) описывается следующим уравнением:

§ =-»(S-D). (2)

Если спрос и предложение описываются линейными формами (D — a+ap, S решение уравнения (2) есть

р= Рое-V (ь-о) t9

где р0 — начальное отклонение цены от уровня равновесия, а р — отклонение от него в любой последующий момент времени. По этой формуле можно определить цену и при любой другой форме кривых спроса и предложения, но лишь приближенно, в случае небольших изменений формы. Здесь а и Ь — тангенсы углов наклона касательных к кривым спроса и предложения в точке равновесия относительно оси абсцисс. Чтобы равновесие было устойчивым, в точке равновесия должно соблюдаться условие

b-a = ±(S-D)>0.

Модель Вальраса можно распространить и на взаимосвязанные рынки,, как это сделал Самуэльсон [12]. Тогда мы заменяем уравнение (2) следующим:

?Pz=-pr{Sr-Dr) (r = l, 2 (і» —1)).

• (3)

где, в соответствии с уравнением (1), (Sr—Dr) зависит от каждой из цен и равно нулю при равновесии. Постоянные коэффициенты р,г характеризуют скорости приспособления цен на различных рынках. Предположим, что (по крайней мере приближенно для небольших отклонений от состояния равновесия) Sr и Dr можно считать линейными формами в каждом из уравнений для цен, так что

m— 1

Sr-Dr = c+ S arsPs (r = 1, 2, ..., (т — 1)),

[s~ 1

где С — постоянная и ars — значение в точке равновесия (d/dps) (Sr — Dr) = =^dYr/dps — dXr/dp^ Тогда в динамической модели условия равновесия (3)v выражаемые с помощью отклонений рг от цен равновесия, описываются следующей системой уравнений:

-Hr2arsPs (г=1, 2, (іії-1)).

S

Рассмотрим частный случай (не являющийся ограничением), при котором, благодаря надлежащему выбору единиц измерения времени и количества товаров, все скорости приспособления, или [хг, равны 1. Тогда

+ = 0 (Г=1, 2, ...,(т-1)): (4)

S

На основе этих уравнений определяется характер изменения рг во времени.

Решение в случае единственного рынка позволяет предположить, что

рг = Аге~м (r= 1, 2, 1)),

где X есть неизвестный параметр, который необходимо найти, а АТ — постоянные коэффициенты, определяемые на основе начального возмущения. Произведем подстановку в уравнение (4):

2(«г.-М„М, = 0 (г = 1,2, ..., (m— 1)),

S

где 6rs — дельта Кронекера. Этой системе однородных уравнений должна удовлетворять некоторая совокупность ненулевых значений Л8, при которой (как это указано в разделе 13.2) т— 1

Pr= S Ат/гЫ (г = 1, 2, ..., (m — 1)). (6)

S= і

Здесь X— корни уравнения (5), a Ars — произвольные постоянные, заданные начальными условиями.

В динамической модели взаимосвязанных рынков, описываемой уравнением (1), состояние равновесия является устойчивым, если цены в соответствии с уравнением (6) изменяются таким образом, что каждая рг~>0 при > оо.

Для этого все вещественные характеристические корни Xs должны быть положительными, а попарно сопряженные комплексные корни должны иметь положительные вещественные части. Отрицательный вещественный корень вводит в уравнение (6) монотонно возрастающее «взрывное» слагаемое, а пара сопряженных комплексных корней с отрицательной вещественной частью — слагаемое, соответствующее взрывному колебательному процессу.

В общем случае матрица А не является симметрической, так как ars = dYr/dps — dXr/dps не равно asr = dYs/dpr — dXs/dpr. При этом немногое известно о характеристическом уравнении (5) и о его корнях. В частном случае предположим, что ars = asr и, следовательно, матрица А является симметрической. Тогда условия существования устойчивости принимают более простой вид, так как в соответствии с разделом 13.4 все корни уравнения (5) являются вещественными числами; чтобы состояние равновесия было устойчивым, корни должны быть также и положительными. Отсюда следует (см. 13.5), что квадратичная форма (? = х'Ах, дискриминант которой ^4=|ars| симметричен, является положительной определенной и что, следовательно,

*11 12

>0,.

>0,

ап > О, х23

х13 Таковы, по Хиксу, условия существования совершенной устойчивости. Следовательно, если только матрица A = [ars] симметрическая, условия Хикса необходимы и достаточны для устойчивости этой модели Вальраса (это эквивалентно тому условию, чтобы вещественные части всех А были положительными). Тогда при состоянии равновесия дУг

дхг dps dps

и Хикс [7] превратил матрицу [ars] в симметрическую, отбросив в выражениях для Yr и Хг члены, касающиеся дохода. Это не более чем приближение, допустимое при определенных обстоятельствах. Если же симметрия отсутствует, например в результате влияния дохода в той части модели, которая определяет спрос, то условия Хикса по-прежнему могут являться необходимыми и достаточными для устойчивости, если матрица А = [ars] обладает свойством Метцлера: для всех г и s (г Ф s) ars < 0, arr > 0, а это значит, что все товары в массе заменимы (being gross substitutes); см. работу Метцлера [9]. Вслед за Хиксом, Самуэльсоном и Метцлером дальнейшим изучением этой задачи занимались несколько исследователей; см., например, работу Ньюмэна [11].

Задачи и упражнения 1.

Разложить характеристическое уравнение (5) в форме многочлена:

н выразить р через определители, образованные из матрицы A = [ars]. 2.

Пусть А—симметрическая матрица. В характеристическом многочлене предыдущей задачи приравнять коэффициенты р суммам или произведениям т—1 вещественных корней А2, •••» Ат_1- Чтобы состояние равновесия было устойчивым, все числа X должны быть положительными. Объяснить, какими свойствами при этом обладает матрица А.

<< | >>
Источник: Р. Аллен. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЭКОНОМИЯ. 1963

Еще по теме 13.6. УСТОЙЧИВОСТЬ СОСТОЯНИЯ РАВНОВЕСИЯ РЫНКА:

  1. 3.3. Устойчивое развитие как цивилизационный императив
  2. 3.3. Устойчивое развитие как цивилизационный императив
  3. РАЗДЕЛ 1. Понятие равновесия
  4. РАЗДЕЛ 1. Понятие устойчивости равновесия. Паутинообразная модель
  5. РАЗДЕЛ 2. Сравнение подходов Вальраса и Маршалла к проблеме устойчивости равновесия
  6. РАЗДЕЛ 3. Государство, спекулянты и устойчивость рыночного равновесия
  7. РАЗДЕЛ 2. Равновесие фирмы и отрасли в длительном периоде
  8. РАЗДЕЛ 2. Двусторонняя монополия на рынке ресурса
  9. РАЗДЕЛ 1. Домашние хозяйства и фирмы на рынке заемных средств
  10. РАЗДЕЛ 2. Равновесие на рынке заемных средств
  11. Теория общего равновесия
  12. РАЗДЕЛ 1. Рынки с асимметричной информацией Спрос на товар неизвестного качества
  13. 1.8. УСТОЙЧИВОСТЬ РЫНОЧНОГО РАВНОВЕСИЯ
  14. 9.1. РАВНОВЕСИЕ В СФЕРЕ ОБМЕНА
  15. 9.3. ОБЩЕЕ РЫНОЧНОЕ РАВНОВЕСИЕ
  16. 9.5. УСТОЙЧИВОСТЬ РЫНОЧНОГО РАВНОВЕСИЯ
  17. 13.6. УСТОЙЧИВОСТЬ СОСТОЯНИЯ РАВНОВЕСИЯ РЫНКА
  18. Глава 3 СОСТОЯНИЕ ВНУТРЕННЕГО РЫНКА
  19. ПАРАДИГМА ОПТИМАЛЬНОГО РАЗВИТИЯ ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНОГО КАПИТАЛА ЧЕЛОВЕКА Губарев Н.И.
  20. В.              Вольчик НЕЙТРАЛЬНЫЕ РЫНКИ, НЕНЕЙТРАЛЬНЫЕ ИНСТИТУТЫ И ЭКОНОМИЧЕСКАЯ ЭВОЛЮЦИЯ[34]