13.7. СТАТИЧЕСКАЯ СИСТЕМА ЛЕОНТЬЕВА

Матричные обозначения дают возможность представить в сжатом виде системы межотраслевых потоков Леонтьева (см. гл. 10). В замкнутой системе Леонтьева имеются п +1 отраслей. Последняя отрасль — домашние хозяйства, предоставляющие трудовые услуги в качестве своей продукции, а затратами в ней является личное потребление товаров.

Пусть ^ — количество продукта Хг, или продукции г-й отрасли, направленное в s-ю отрасль. Из элементов xrs можно составить матрицу межотраслевых потоков {tt+l)-ro порядка:

т = [®„].

Условимся считать ягг = 0 при r = 1, 2, . + 1), так что элементы главной диагонали матрицы Т нулевые. Суммируя элементы матрицы Т по горизонтали, мы получаем вектор валового выпуска Х = {ХГ}. И наоборот, если условимся считать хгг= — Хг, то итоги построчного суммирования элементов матрицы Т представят собой нуль-вектор.

Примем, что количественные коэффициенты затрат суть величины постоянные:

= (г, s = i, 2, ...,(* + !))

и, по условию,

агг = 0.

Тогда из этих коэффициентов можно построить матрицу коэффициентов затрат (и + 1)-го порядка:

А* = Ы

и технологическую матрицу (в том смысле, как она понимается в разделе 9.8): " 1 -а12 • аЮг + 1) А = I — А* = С121 1 • а2(п+1) - а(П +1) 1 а(п+1) 2 • • . 1 Тогда условия равновесия, которые отображают точное распределение выпуска продукции каждой отрасли по категориям потребления, а также, что й каждой отрасли поступления равны ее издержкам, описываются уравнениями:

(I) АХ = 0 и (II) р'А = 0, (1)

где р= {рг} — вектор цен. Эти два условия совершенно самостоятельны; условие (I) определяет выпуск отраслей, а условие (II) —цены. Каждое условие описывается системой однородных линейных уравнений, имеющих нетривиальное решение только в том случае, если матрица А является особенной, и ее ранг равен г

Если мы задаемся некоторыми значениями элементов одной (или более) строки и столбца матрицы Т, система превращается в открытую систему Леонтьева. Как правило, в матрице межотраслевых потоков открытой системы Леонтьева определяются абсолютные значения элементов последней строки матрицы (затраты труда) и последнего столбца (потребление домашних хозяйств). Матрица при этом приобретает следующий вид: Т = Xrs Із 0 J при г, 6 = 1, 2, .. .,/г. Порядок матрицы Т по-прежнему равен п+1, однако элементы последней строки отображают известные затраты труда по отраслям (?s), а последний столбец—заданный конечный спрос (хг). Матрица коэффициентов затрат А* = [ars] и технологическая матрица А = 1 — А* суть тг-го порядка. Вместе с тем к последней матрице можно присоединить строку коэффициентов затрат труда (— bs) = — (?S/XS) (s = l, 2, . . ., п): В =

Теперь условия равновесия (I) описываются матричными уравнениями: (I) АХ = х и (II) р'А = w'. (2)

Это —условия I и II из раздела 10.3, написанные с помощью матричных уравнений. Кроме технологической матрицы А-то порядка, условия (2) включают также следующие векторы га-го порядка (столбцевые или строчные):

w = w {6S} — заработная плата на единицу продукции.

Наряду с технологической матрицей А, заданными величинами для открытой системы являются как конечный спрос х, так и заработная плата на единицу продукции w. Последняя зависит от коэффициентов затрат труда bs и от ставки заработной платы w. Для определения общих затрат труда У необходимо знать только коэффициенты затрат труда.

С помощью уравнений (2) определяются неизвестные — валовой выпуск X и цены р.

Условия (2) друг с другом совершенно не связаны, как это вытекает из решения (3). Выпуск X, а также затраты труда У выражаются через заданный конечный спрос х. Цены р определяются на основе заданных значений заработной платы на* единицу продукции w. Значения выпуска продукции, затрат труда, цен и национального дохода исчисляются после получения матрицы А"1, обратной по отношению к технологической матрице А.

1. В решении для открытой системы Леонтьева валовой выпуск и цены необходимо выразить через определитель А=|А| и алгебраические дополнения его элементов; показать, что решение имеет вид (при г = 1, 2, ..., п)

Будем считать АХ = х линейным преобразованием, позволяющим перейти от валового выпуска к конечному спросу, а Х = А-1х—обратным преобразованием. Какой вид имеет соответствующее линейное преобразование для перехода к ценам? 3.

Пусть в замкнутой системе Леонтьева, включающей отраслей, матрица А имеет ранг п и подматрица Ann» полученная из матрицы А вычеркиванием последней строки и последнего столбца, является неособенной. Обозначим через с вектор последнего столбца (взятого без последнего элемента) матрицы А. Решить систему первых п уравнений АХ = 0, представив вектор-столбец выпуска первых п отраслей в виде A^cXn+i, где Хп+1—выпуск последней отрасли. Если (п1)-я «отрасль» есть «домашние хозяйства», показать, что, таким образом, выпуск каждой отрасли выражается через ставку заработной платы. 4.

В открытой системе Леонтьева обозначим через х и w диагональные матрицы, диагональными элементами которых являются соответственно конечный спрос и заработная плата на единицу продукции, взятые по отраслям. Показать, что (г, s)-ii элемент матрицы U = wA_1x будет wrxsAsr/\ А |, где Asr—алгебраическое дополнение (s г)-го элемента в определителе А — | А|. Показать далее, что вектор построчных сумм элементов матрицы U есть {wrXr}, а сумм элементов столбцов есть [josa:s]. Показать, что матрица U может выполнять роль матрицы межотраслевых потоков в системе «счетов национального дохода», где национальный доход принимается .равным сумме «добавленных стоимостей» по отраслям, равной сумме конечных расходов по отраслям экономики [2].

13.7. СТАТИЧЕСКАЯ СИСТЕМА ЛЕОНТЬЕВА

Еще по теме 13.7. СТАТИЧЕСКАЯ СИСТЕМА ЛЕОНТЬЕВА: