<<
>>

13.8. МАТРИЦЫ МЕЖОТРАСЛЕВЫХ ПОТОКОВ

Матрица межотраслевых потоков Т = [яГ8], в которой мы условились считать хтг = — Хг, обладает тем свойством, что итог суммирования по горизонтали элементов каждой строки равен нулю. Это есть выражение первого условия равновесия, то есть точного соответствия переданных в другие отрасли количества продукции отрасли и ее выпуска.
Однако суммирование элементов столбцов матрицы Т невозможно, так как эта матрица —- количественная, и различные элементы столбца имеют разные единицы измерения. Если мы считаем цены рг заданными или определяем их с помощью второго условия равновесия, то стоимостная матрица межотраслевых потоков имеет следующий вид:

v = [iv.] = [(/vO],

где^условлено считать

vrr = — РТ%Т = — Vr.

При построчном суммировании элементов матрицы V итог по-прежнему равен нулю, поскольку условие равновесия заключается в том, что стоимость валового выпуска каждой отрасли Vr в точности соответствует стоимости потребленной для разных целей продукции этой отрасли. Однако, кроме этого, нулевые итоги получаются и при суммировании элементов матрицы V по вертикали. Это выражает второе условие равновесия, согласно которому цены должны быть таковы, что выручка каждой отрасли равна ее издержкам. Следовательно, если применяются цены, соответствующие состоянию равновесия, уже само получение нулевых итогов суммирования элементов матрицы V по строкам и по столбцам включает выполнение обеих групп уравнений равновесия.

Мы можем определить технологию экономики и по-иному, заменив матрицу А — I — А* другой матрицей, элементы которой не технологические

(количественные ars), а соответствующие стоимостные коэффициенты затрат:

rs Psa"'

Если (см. упражнение 1) X есть вектор валового выпуска в стоимостном выражении, то в таком случае первое условие равновесия (итоги построчного суммирования элементов матрицы V равны нулю) представляется точно в таком же виде, как и при количественном выражении элементов, а именно АХ = 0.

Подобные же изменения в определениях можно внести и в открытую систему Леонтьева. Если выразить в стоимостной форме А, X и х, то условия равновесия описываются следующими уравнениями:

АХ = х, откуда Х = А-1х,

а общая сумма заработной платы равна Ь'А_1х. Следует отметить также, что расширенная технологическая матрица стоимостных коэффициентов затрат имеет следующий вид:

А

В:

-Ь'

В этой матрице сумма элементов каждого столбца равна нулю [см. 10.4, уравнение (II)]. Именно эта форма имеет особое значение при практическом применении открытой системы.

Понятия матрицы межотраслевых потоков, использованные в системе Леонтьева, далее развили и расширили Стоун [13] и Гудвин [6]. Пусть в замкнутом хозяйстве имеется п видов деятельности (отраслей хозяйства), которые можно считать, а можно и не считать отраслями промышленности. Обозначим через xrs продажу г-то продукта s-му виду деятельности в количественном выражении и через vrs — prxrs — в стоимостном выражении, где рг — цена продукта г-ж деятельности.

Условимся считать, что

хгг= — Хг и Vrr=.~ prXr= — Vr,

где Хг и Vr — валовая продажа продукции г-ж деятельности, выраженная соответственно в количественной и стоимостной форме.' Соответствующие количественные и стоимостные матрицы межотраслевых потоков имеют вид:

Т =[*„], V = [iv,l (Г, 8= 1,2,

Технологические коэффициенты хозяйства представляют собой отношения закупок какой-либо одной отраслью (продукции других отраслей) к валовой продаже ее собственной продукции.

Эти коэффициенты можно выразить в количественной форме (см. упражнение 2) или же, как это сделано здесь, только в стоимостной форме. Предположим, что имеются неизменные технологические коэффициенты, определяемые следующим образом:

aTs~'ys (Г.* =1.2 п),

то есть как отношения стоимости закупок s-ж отраслью (продукции г-ж отрасли) к валовой стоимости всех продаж продукции s-ж отрасли. Условимся считать urr — —Fr, то есть

arr = ^=- 1 (г = 1,2, ...,п). 1 — а12... — а1п

— «21 1 ••• —Составим матрицу

А = [( —агв)] = - «П2...1

в сжатом виде полностью характеризующую технологические условия хозяйства.

Можно без труда вывести связь между матрицей межотраслевых потоков V и технологической матрицей А. Обозначим через у диагональную матрицу, составленную из элементов валовой стоимости продаж (Fr) п отраслей. Тогда в соответствии с правилом умножения матриц:

V = [ur3] = [(«rsFe)]=-Av.

Для хозяйства, рассматриваемого как единое целое, можно установить два совершенно независимых одно от другого условия: I.

Итог валовой стоимости продаж продукции какой-нибудь отраслью в точности равен стоимости закупок продукции этой отрасли другими отраслями. II.

Для каждой отрасли выручка от продажи равна издержкам (стоимости закупок). Следовательно, условия равновесия выражаются следующим образом:

Условия I — итоги суммирования элементов матрицы V по горизонтали равны нулю, то есть

V{1} = 0,

или

Av{l} = 0,

АХ = О,

поскольку элементами вектора y{1} являются Vr, и можно считать, что это — вектор X, то есть вектор валовых продаж (по стоимости). Это — знакомое нам условие Леонтьева для замкнутой системы в стоимостном выражении.

Условия II — итоги суммирования элементов матрицы V по вертикали равны нулю, то есть

[1]V=0,

ИЛИ

[1] Ау = 0,

ИЛИ

[l]Avv_1 = 0 (v — неособенная матрица),

или

[1] А = 0.

Это попросту является ограничением, налагаемым на технологическую матрицу А; при суммировании элементов столбца итог должен быть равен нулю.

Замкнутую систему мы можем преобразовать в открытую, задавшись элементами одной строки и одного столбца матриц межотраслевых потоков Т и V. Предположим, что для этого выбраны последняя строка и последний столбец, так что нам известны закупки и-й отрасли. Тогда технологическая матрица А может быть сведена к матрице (п — 1)-го порядка, а вектор X валовой продажи продукции п — 1 отраслей — к вектору (п — 1)-го порядка. Оказывается, что (см. упражнение 3) условие, I описывается теперь уравнением:

АХ = Вектор заданных закупок /г-й отрасли. Это — знакомые нам условия для открытой системы Леонтьева, когда закупки /г-й отраслью истолковываются как потребление домашних хозяйств.

Задачи и упражнения

1. В замкнутой системе Леонтьева преобразовать матрицу стоимостных коэффициентов затрат A* = [ars], имея в виду, что ars — vrs/vs. Показать, что условия равновесия (точное соответствие потребления и выпуска продукции по каждой отрасли) описываются при этом уравнением АХ = 0, где А = 1 — А*, а X—вектор валового выпуска отраслей в стоимостном выражении.

2. Рассмотреть стоимостную матрицу межотраслевых потоков Y = [yrs] для замкнутого хозяйства, если постоянные технологические коэффициенты заданы в количественном выражении: ars = xTBIXs. Показать, что V = pAx, где А — матрица, составленная (как и ранее) из коэффициентов количественных затрат ars; р — диагональная матрица, построенная из элементов вектора цеп р, и х—диагональная матрица, построенная из элементов вектора валовых продаж X. Вывести, что при этом условия равновесия для хозяйства описываются теми же уравнениями, что и для замкнутой системы Леонтьева, а именно:

АХ = 0, р'А = 0. -о 0 .. .. 0 «1 п ~ в= 0 0 .. 0 а2П _0 0 .. ,. 0 —1. Г А* ' 0 ]

показать, что AJrB= I "^""""q" J

где А —технологическая матрица гс-го порядка, А* —матрица (п — 1)-го порядка, полученная из матрицы А вычеркиванием строки и столбца п-й отрасли, и ап —некоторый вектор (п — 1)-го порядка. Рассмотреть условия для замкнутой системы АХ = 0 (как в предыдущей задаче) и показать, что они сводятся к следующим:

А*Х* = Закупки п-й отрасли,

где X* — вектор продаж продукции п — 1 отраслей.

4. Продолжить анализ, произведенный в двух предыдущих задачах, показав, что условие для замкнутой системы, то есть р'А = 0, превращается в условие:

р*'А*__ Заработная плата на единицу продукции, где опущенная п-я отрасль понимается как деятельность домашних хозяйств. 5. Истолковать количественную матрицу межотраслевых потоков Т=[яГ8] не для п отраслей Хозяйства, а для п категорий юридических лиц, между которыми существуют хозяйственные отношения, как-то: домашние хозяйства, торгово-промышленные предприятия, правительство. Таким путем указать возможность применения матрицы в системе «счетов национального дохода». (См. Стоун и Аттинг [14].)

<< | >>
Источник: Р. Аллен. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЭКОНОМИЯ. 1963
Помощь с написанием учебных работ

Еще по теме 13.8. МАТРИЦЫ МЕЖОТРАСЛЕВЫХ ПОТОКОВ:

  1. 10.2. МАТРИЦА МЕЖОТРАСЛЕВЫХ ПОТОКОВ
  2. 10.4, МАТРИЦА МЕЖОТРАСЛЕВЫХ ПОТОКОВ В ДЕНЕЖНОМ ВЫРАЖЕНИИ
  3. 12.3. РАВЕНСТВА, НЕРАВЕНСТВА МАТРИЦ, СЛОЖЕНИЕ МАТРИЦ И УМНОЖЕНИЕ МАТРИЦЫ НА СКАЛЯР
  4. 12.7. ОБРАТНЫЕ МАТРИЦЫ. ВЕЛИЧИНА ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ МАТРИЦЫ
  5. ГЛАВА 10 МЕЖОТРАСЛЕВЫЕ СВЯЗИ
  6. § 7. Межотраслевое государственное управление
  7. 17. Блочные матрицы
  8. 10. Ранг матрицы
  9. 8. Операции с матрицами
  10. 10.5. МАТРИЦА КОЭФФИЦИЕНТОВ ЗАТРАТ
  11. 11.7. ВЕКТОРЫ И МАТРИЦЫ