<<
>>

13.9. ДИНАМИЧЕСКАЯ СИСТЕМА ЛЕОНТЬЕВА

Статические условия равновесия для замкнутой системы Леонтьева описываются уравнением АХ = 0, где А = 1 — А*, а А* = [ars] отображает структуру межотраслевых потоков хозяйства; ars суть неизменные коэффициенты затрат.
В более всеобъемлющей динамической системе (см. 10.8) добавляется вторая матрица В = [&rs], которая характеризует структуру капиталов хозяйства; brs — коэффициенты основного капитала (запас на единицу выпуска). В динамической модели условия точного соответствия потребления продукции и ее выпуска вместо уравнений (2) раздела 10.8 теперь определяются следующим матричным уравнением:

AX = Bf-, (1)

где Х = {ХГ}, как и ранее, представляет собой вектор-столбец валового выпуска и где

dX _ fdXT\ dt ~~ | dt J

есть вектор-столбец скоростей изменения выпуска отрасли 1,2, . . ., га).

Чтобы решить систему (1) дифференциальных уравнений первого порядка, испытаем решение

X =

где к = {кг} — вектор-столбец постоянных величин и h —скаляр, который необходимо найти. Тогда dX/dt = — кХе~М; после сокращения на Ф 0 система уравнений (1) превращается в следующую:

Ак = -АБк,

то есть

(А + ХВ)к = 0. (2)

Матрица - 1 + ХЬп — «12 + • • • -вщ + Цп (А 4 Щ = — а21 + ХЬ21 1 + .. • — Я2 п + ^Кп -anl+Mnl — + МП2 • ? ? 1 + ^пп есть общий случай характеристической матрицы (см. 13.4).

Условия (2) заключаются в том, что вектор-столбец га-го порядка приравнивают нулю; всего система имеет га уравнений, и этого достаточно, чтобы определить X и соотношения между элементами кг вектора к. В уравнении (2) не все элементы кТ нулевые, откуда следует, что

| А + ХВ | = 0. (3)

Это —уравнение га-й степени относительно X, коэффициенты которого определяются значениями структурных коэффициентов ars и brs. Уравнение (3) имеет га корней (Xv Х2, .. ., Хп). Поскольку матрицы А и В не являются симметрическими, не следует ожидать, что все значения окажутся вещественными числами. Некоторые значения этих корней могут оказаться попарно сопряженными комплексными числами, что соответствует колебательному характеру динамики выпусков отдельных отраслей.

401

26 Р. Аллеи

Рассмотрим корень X = XS уравнения (3). Матрица (A+\SB) является особенной, поскольку |A + XsB| = 0; предположим, что ее ранг равен га —1.

Тогда в соответствии с разделом 13.2 уравнение (2) определит соотношения между элементами вектора к, то есть между кг. Собственному значению А,8 соответствует собственный вектор ks = {fcrs}, то есть некоторая система krs, заданных в виде соотношений ки:к2а: ... : кп8 через Х3 и структурные коэффициенты ars и brs (см. упражнение 2). Следовательно, одним из частных решений уравнения (1) является X = kse~^. При s = l, 2, ...,п имеется п таких решений; общее решение есть сумма всех частных решений, взятых с произвольными постоянными коэффициентами:

х=

s=l

то есть

Хг = Агкт1егМ + А2кг2е-Ы + ... + Ankrne-W (г = 1, 2, ..., л). (4)

В уравнении (4) As суть произвольные постоянные, определяемые из начальных условий. С другой стороны, X и к суть постоянные структурные параметры, заданные коэффициентами ar$ и brs уравнений (1); X — корни уравнений (3); после того как найдены X, на основе уравнения (2) находятся элементы ftre, соответствующие каждому Х?.

Отдельные слагаемые решения (4) могут включать как вещественные, так и комплексные (сопряженные) значения X.

Если есть вещественное число, то первый член затухает с течением времени при ^>0 и неограниченно возрастает при Х1 < 0. Если Х1 и Х2 суть сопряженные комплексные числа а ± гсо, то два первых слагаемых в совокупности характеризуются частным решением следующего вида:

Akre~at cos (со? — є),

где А и є — произвольные постоянные. Это вводит колебательный элемент в изменение Хг во времени; период колебаний здесь равен 2я/со. Колебания затухают, если а > 0, и неограниченно возрастают по амплитуде, если а < 0.

Особое внимание следует уделить предельным значениям выпуска, когда время t стремится к бесконечности, то есть доминирующему слагаемому решения (4). Это слагаемое соответствует корню Хш, «вещественная» часть которого является минимальной. Выпуск каждой отрасли затухает или неограниченно возрастает в зависимости от того, является ли вещественная часть корня Хт положительной или отрицательной. Выпуск изменяется колебательно, если Хт не является вещественным числом, и монотонно, если Хт вещественно. Предельная динамика Хг при бесконечно большом значении t приближенно описывается следующим уравнением:

Y" — 4 к p—kmt

если Хт — вещественное число; или же

Xr = Аткгте~а^ cos (com* — е),

если Хт — комплексное число, Хт = ат + шт. Отсюда следует, что (если Хт — вещественное число)

1 dX* a Xv krm •

У^Т- при

JXj. UL JX s nsm

Следовательно, в конечном счете относительные темпы прироста выпуска одинаковы для всех отраслей, причем соотношения между выпусками различных отраслей неодинаковы; темп роста и эти соотношения определяются структурой системы.

В статической системе (см. 13.7) решение, определяющее выпуски отраслей (в их соотношении) при состоянии равновесия, существует только в том случае, если матрица А является особенной, |А| = 0. Если это верна и для динамической системы, то (как в разделе 13.4) слагаемое, не зависящее от величины корня X уравнения (3), равно нулю, и 1 = 0 является одним из корней уравнения (3). В решении (4) примем Х1 = 0, так что первое слагаемое в уравнении, определяющем Хг, есть постоянная величина Ахкг1. Тогда динамика Хг будет представлять затухающее или взрывное колебательное изменение относительно постоянного уровня. Если процесс затухающий (наименьшее по абсолютной величине из остальных значений к— положительно), то предельное значение выпуска равно постоянной величине AJtrl. Очевидно, для этого параметры кг должны быть положительными.

Для динамического варианта открытой системы составляется та же система дифференциальных уравнений (1); к ней лишь добавляют в правой ее части вектор конечного спроса х = {яг}. Каждый из элементов хт является заданной функцией времени. И в этом варианте решение имеет вид уравнения (4), в котором добавлены частные решения, определяемые из специфической формы временной функции, принятой для вектора х. Например, пусть x = ce^f, где с = {сг} является вектором заданных постоянных элементов, и где р,— заданный скаляр, так что относительный темп прироста конечного спроса одинаков по всем отраслям (см. 10.9, вариант II). Тогда дифференциальные уравнения (1) примут вид:

АХ = В +

требуется отыскать частное решение этого уравнения. Испытаем, не является ли им решение Х = Се*и, где С = {Сг}—- вектор постоянных величин, который должен быть найден. Произведя подстановку, получим

АС = р,ВС + с,

или

С = (А-—рВ)_1с,

где заданную матрицу (А —рВ) мы считаем неособенной. Тогда общее решение имеет следующий вид:

S=1

и выпуск каждой отрасли изменяется с некоторым отклонением (затухающим или взрывным, колебательным или монотонным) относительно члена, выражающего тенденцию, которая возрастает с той же относительной скоростью, что и конечный спрос.

Задачи и упражнения 1.

Матрица [Л8Г], построенная на основе матрицы A=[«rs] и представляющая собой транспонированную матрицу алгебраических дополнений элементов матрицы А называется присоединенной к матрице А. Показать, что если А — особенная матрица (то есть | А | = 0), то произведение матрицы А на любой столбец присоединенной матрицы представляет собой нулевой вектор-столбец. 2.

Рассмотреть систему однородных линейных уравнений (A-fЛ8В)к = 0 относительно переменных к = {/:г} в том случае, если матрица (A-|-A,SB) особенная, то есть ее определитель равен нулю. Воспользоваться результатом предыдущей задачи, чтобы показать, что левая часть обращается в нуль, если элементы вектора к пропорциональны элементам любого столбца матрицы, присоединенной к (А + Я3В). 3.

Воспользоваться результатами двух предыдущих задач, чтобы показать, что ранг матрицы, присоединенной по отношению к особенной матрице, равен 1 и что лишь один столбец такой присоединенной матрицы является линейно независимым. 4.

Рассмотреть открытую динамическую систему АХ= В где с={сг} есть постоянный во времени конечный спрос. Найти частные решения, а затем написать и общее решение. 5.

Рассмотреть динамическую модель, основанную на акселераторе без запаздывания во времени, путем дискретного анализа (см. 10.8, упражнение 1). Показать, что возможна такая модель открытой системы, в которой вектор валового выпуска Xt задается системой разностных уравнений:

Xf = CXt.i+K,

где С —квадратная матрица постоянных коэффициентов затрат и структуры элементов капитала, а К — вектор, зависящий от конечного спроса. Исследовать, при каких условиях конечные выпуски равны Х= (I—С)"1 К.

<< | >>
Источник: Р. Аллен. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЭКОНОМИЯ. 1963

Еще по теме 13.9. ДИНАМИЧЕСКАЯ СИСТЕМА ЛЕОНТЬЕВА:

  1. |10.8. ДИНАМИЧЕСКАЯ СИСТЕМА ЛЕОНТЬЕВА
  2. 13.7. СТАТИЧЕСКАЯ СИСТЕМА ЛЕОНТЬЕВА
  3. 16.4. ЗАМЕНЯЕМОСТЬ В ОТКРЫТОЙ СИСТЕМЕ ЛЕОНТЬЕВА
  4. 10.7. ЗАМКНУТАЯ СИСТЕМА ВАЛЬРАСА — ЛЕОНТЬЕВА
  5. 16.3. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ОТКРЫТОЙ СИСТЕМЫ ЛЕОНТЬЕВА В ВИДЕ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ОТРАСЛЕЙ
  6. Динамические механизмы семиотических систем
  7. Динамическая модель социально-территориальной системы
  8. Теория «византизма» К. Н. Леонтьева
  9. ; Опосредствованное запоминание по Леонтьеву
  10. 87. Понятие о деятельности в трудах А. Н. Леонтьева
  11. 10.3. ОТКРЫТАЯ МОДЕЛЬ ЛЕОНТЬЕВА
  12. ПРОРОЧЕСТВО КОНСТАНТИНА ЛЕОНТЬЕВА. 1880-е
  13. Глава 9. Динамические модели
  14. Леонтьева Анна Алексеевна Психологическое консультирование людей с полиэтничной идентичностью
  15. 13.7. Динамические модели
  16. Статические и динамические описания
  17. 8. СТАТИСТИЧЕСКОЕ И ДИНАМИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕПРОЦЕССА РОМЕЛТ
  18. 2.4. ДИНАМИЧЕСКАЯ ДЕНЕЖНАЯ МОДЕЛЬ
  19. А. У. Блэкмен ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ПОСРЕДСТВОМ ДИНАМИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
  20. Динамическая артикуляционная диспраксия