<<
>>

16.3. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ОТКРЫТОЙ СИСТЕМЫ ЛЕОНТЬЕВА В ВИДЕ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ОТРАСЛЕЙ

Открытая форма статической модели межотраслевых связей Леонтьева описана в разделе 13.7. Пусть имеется п отраслей промышленности и хозяйства и видов товаров, в том числе один первичный фактор (труд).
Известными данными являются следующие характеристики Ьтих отраслей (г = 1, 2,..., п): А = 1-А*, где А* = [ars] есть матрица коэффициентов затрат

тг-го порядка (и принято, что элементы агг = 0); Ь = {Ьг} — вектор коэффициентов затрат труда;

х = {хг} — вектор конечного спороса на товары, выпускаемые отраслями промышленности и хозяйства; w = {wr} — вектор отраслевых издержек на заработную плату в расчете на единицу продукции.

Если w есть заданная ставка заработной платы за единицу первичного фактора (скалярная величина), то между Ь и w существует следующая связь:

w= wb

Переменными являются:

X = {Хг} — вектор валового выпуска отраслей; Р = {Рг} ~~ вектор цен на товары, выпускаемые отраслями. Матрица А — квадратная матрица w-го порядка, все векторы также п-то порядка.

Г А 1

Технологической матрицей системы Леонтьева является матрица . . .

размерности (п + 1) X п. Все элементы последней строки этой матрицы, или коэффициенты затрат труда, суть величины отрицательные. Остальную часть матрицы составляют строки и столбцы, каждая (или каждый) из которых имеет только один положительный элемент, а именно 1. Каждая отрасль (производство) выпускает только один товар, отличающийся от товаров, вырабатываемых другими отраслями; все товары, кроме выпускаемого, являются для данной отрасли затратами или вовсе не фигурируют в ней. Каждый товар производится в соответствующей отрасли единственным способом; в других отраслях он может быть затратами.

Для этой системы условия равновесия выражаются уравнениями: (I) АХ = х и (И) А'р = w, к которым следует добавить X > 0 и р > 0, поскольку неотрицательны и выпуск отраслей и цены.

Условие (II) есть транспонированное уравнение р'А = w' (в таком виде это условие было записано в разделе 13.7).

На основании переменных X и р можно вычислить две скалярные величины. Общие затраты первичного фактора труда равны У = Ь'Х. Обозначим общую сумму заработной платы через z = wY. Тогда: Общая сумма заработной платы z = wb'X = w'X есть линейная функция переменных, выражающих объемы выпусков X. Вектором переменных цен р можно воспользоваться для расчета общего конечного, спроса в стоимостном выражении.

Общая стоимость конечного спроса ? = х'р.

Теперь систему Леонтьева можно представить как частный случай прямой и обратной задачи линейного программирования:

(I) z = (II) ? = х'р

при условии АХ = х при условии A'p = w и Х>0; и р>0.

Следует подчеркнуть, что z и ? не максимизируются и не минимизируются — их просто выражают через векторы X и р. Причина отсутствия в задаче условий оптимизации выясняется при рассмотрении характера ее решения. Разгадкой является число переменных и число уравнений в сис- темах (І) и (II): как в прямой, так и в обратной задачах линейного программирования число переменных равно п; число ограничивающих уравнений также равно п. Следовательно, поскольку уравнения линейные, а матрицу А мы считаем неособенной, то в таком случае допустимое решение, если оно вообще существует (при Х>0, р > 0), является единственным. Значит, не остается места для максимизации или минимизации z или и не может быть оптимального допустимого решения. Из ограничивающих уравнений возможно получить единственное решение для X и р и вообще, в соответствии с этим, только одно значение z или Это совпадает с общими рассуждениями из раздела 16.1, если допустить, что при распределении ресурсов для удовлетворения конечного спроса в системе Леонтьева нет необходимости выбирать оптимальный вариант. В системе Леонтьева невозможен выбор или взаимозаменяемость производств; в формулировке задачи вовсе исключен вопрос, почему то, а не другое производство выбрано для изготовления данного продукта.

Однако зависимости (I) и (II) — это прямая и двойственная задачи линейного программирования; они имеют общее и единственное решение.

Остается лишь найти решения обеих задач и показать их тождественность. Решение получаем с помощью матрицы А"1, обратной матрице А:

(I) X = А"1х, (И) р= (A')"1 w или же р' = w'A"1.

Таким образом, вектор переменного валового выпуска X выражается через вектор конечного спроса х, а вектор переменных цен р—через вектор отраслевых издержек на заработную плату в расчете на единицу продукции w. Связующим элементом обоих решений является то обстоятельство, что общая сумма заработной платы z и суммарная стоимость конечного спроса ? равны между собой. Это и выражает тот факт, что (I) и (И) суть прямая и двойственная задачи линейного программирования. Найдем значение целевой функции, общее для обоих решений:

Общая сумма заработной платы z = w'X = w'A_1x. Общая стоимость конечного спроса ? = х'р = р'х = w'A-1x.

Первичный фактор — это труд, конечный спрос — это спрос потребителей, предоставляющих свой труд; в состоянии равновесия доходы потребителей и их расходы равны между собой.

Здесь впервые иллюстрируется мысль, высказанная в конце раздела 16.1. Открытую систему Леонтьева можно представить и в виде только одной задачи линейного программирования — задачи (1). При этом весь валовой выпуск выражается через конечный спрос (X = А_1х), а общая сумма заработной платы равна z = w'A_1x. Здесь вовсе не принимаются во внимание рыночные цены или расходы потребителей. Однако эти элементы используются при составлении двойственной задачи; так оно всегда и бывает. В этом случае также задаются и значения рыночных цен р = (A')_1w. Эти цены таковы, что результаты между собой уравниваются, то есть общая стоимость конечного [спроса равна w'A_1x или общей сумме заработном платы.

<< | >>
Источник: Р. Аллен. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЭКОНОМИЯ. 1963

Еще по теме 16.3. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ОТКРЫТОЙ СИСТЕМЫ ЛЕОНТЬЕВА В ВИДЕ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ОТРАСЛЕЙ:

  1. Специфика научной деятельности
  2. Синергетика как новая парадигма: самоорганизация, открытые системы, нелинейность
  3. Самоструктурирование возможно в открытых системах.
  4. 10.3. ОТКРЫТАЯ МОДЕЛЬ ЛЕОНТЬЕВА
  5. 10.6. РЕШЕНИЕ ДЛЯ СЛУЧАЯ ТРЕХ ОТРАСЛЕЙ
  6. |10.8. ДИНАМИЧЕСКАЯ СИСТЕМА ЛЕОНТЬЕВА
  7. 13.7. СТАТИЧЕСКАЯ СИСТЕМА ЛЕОНТЬЕВА
  8. 13.8. МАТРИЦЫ МЕЖОТРАСЛЕВЫХ ПОТОКОВ
  9. 13.9. ДИНАМИЧЕСКАЯ СИСТЕМА ЛЕОНТЬЕВА
  10. 15.5. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ОБЩИХ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ И ИГРЫ С ДВУМЯ УЧАСТНИКАМИ И НУЛЕВОЙ СУММОЙ
  11. 16.1. ВВЕДЕНИЕ. ОБЩЕЕ ЭКОНОМИЧЕСКОЕ РАВНОВЕСИЕ
  12. 16.3. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ОТКРЫТОЙ СИСТЕМЫ ЛЕОНТЬЕВА В ВИДЕ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ОТРАСЛЕЙ
  13. 16.4. ЗАМЕНЯЕМОСТЬ В ОТКРЫТОЙ СИСТЕМЕ ЛЕОНТЬЕВА
  14. 16.5. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ВОЗМОЖНОСТЕЙ
  15. 16.9. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ; МОДЕЛЬ РОСТА НЕЙМАНА
  16. 17.3. ПРЕДЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ И ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ФИРМЫ
  17. 1.1 ИНФОРМАЦИОННАЯ СИСТЕМА В ОБЩЕМ ВИДЕ
  18. Другие критерии: междисциплинарность, институты, эволюция и открытые системы
  19. 1.1. Политическая психология: место в системе наук, предмет и задачи
  20. Модель Динкельбаха и ее анализ