<<
>>

16.4. ЗАМЕНЯЕМОСТЬ В ОТКРЫТОЙ СИСТЕМЕ ЛЕОНТЬЕВА

При построении открытой системы Леонтьева делаются два следующих допущения. Во-первых, мы считаем, что каждая отрасль производит единственный продукт, отличающийся от продуктов других отраслей, причем затраты пропорциональны выпуску. Изменить что-либо здесь невозможно; это — упрощение практического характера, которое помогает описать тип рассматриваемого хозяйства. Второе допущение имеет иной характер: оно состоит в том, что в каждой отрасли существует только один производственный способ. Каждая из отраслей отображается в технологической матрице только одним столбцом.
По-видимому, это исключает всякую возможность взаимозаменяемости производственных способов или по крайней мере изба- вляет от необходимости выяснения, почему выбран тот или иной процесс, а не другие возможные процессы.

Руководствуясь рис. 34 и 35, второе допущение мы можем сформулировать следующим образом: либо на процесс производства в отрасли наложено технологическое ограничение — соблюдения фиксированного соотношения между затратами и выпуском (рис. 34, б), либо из определенного и конечного числа имеющихся вариантов производственного процесса выбирается один вариант (рис. 35), либо, наконец, выбирается один вариант производства, для которого между затратами и выпуском сохраняется фиксированное соотношение, и прямая, отображающая этот процесс, пересекает кривые — геометрические места точек постоянного объема продукции, полученные из непрерывной (линейной и однородной) производственной функции (рис. 34, а). Поскольку нет необходимости в выборе варианта — и если затраты считаются пропорциональными выпуску,— то совершенно несущественно, что именно скрывается за понятием об единственном процессе, существующем в какой-либо отрасли. Вместе с тем этот вопрос можно исследовать при более четкой алгебраической его формулировке.

Рассмотрим прямую задачу линейного программирования для системы Леонтьева (о выпуске товаров), не принимая во внимание двойственную задачу (о ценах). Кроме того, запишем уравнения в виде, включающем общие затраты труда У, а не общую сумму заработной платы z. Тогда

АХ = х и -Ь'Х= -У (1)

ш

суть (п + 1) уравнений системы, технологическая матрица которой имеет

вид I ... I. Элементы этой матрицы являются коэффициентами левой части

уравнений. Если задан конечный спрос х = (х1У х2,..., хп), то эти уравнения позволяют определить вектор валового выпуска X и общие затраты труда У. В частности, У линейно выражается через х:

У = Ь/А"1х. (2)

Предположим теперь, что по-прежнему заданы ж2, х3, ... , хп, но не х1ч конечный спрос на первый товар. Тогда систему (1) можно записать в следующем виде:

(3)

~~ «„А — ап2%2 — • • • + — хт -МГх-&2 Х2 — ... -bnXn=-Y.

В этой задаче линейного программирования уже включено условие максимизации. В ней имеется п ограничений, которые позволяют выразить элементы вектора X через У. Следовательно, хх представляет максимизируемую функцию от У; если существует допустимое решение задачи, то максимум х1 ограничен лишь наличными ресурсами труда, в противном случае он мог бы возрастать до бесконечности. В конечном счете мы выражаем все элементы вектора X через заданные элементы конечного спроса х2Л х3, ... , хп; максимизируемая величина х1 также определяется через эти же заданные элементы.

Решение задачи (3) весьма сходно с решением системы (1). Разница в основном заключается в постановке задачи — в одном случае [задача (3)] х1 не задано, а максимизируется, а в другом [задача (1)] хг является заданным.

В частности, определяемая нами величина У совершенно так же, как и в (2), линейна относительно всех элементов конечного спроса; разница состоит в том, что х1 в качестве максимизируемой величины выражается через х2, х3, ... , хп, а не является заданной, как остальные элементы.

Максимизировать х1 = Х1 — а12Х2 — ... — а1пХп при условии — а21Хг + Х2 — ... — а2пХп = х2,

Форму (3) можно представить в более общем виде, для того чтобы ее применить к тому случаю, когда технологические коэффициенты ars= xrs/Xs и bs= xn+i,JXs не являются постоянными. Перепишем задачу (3), пользуясь переменными xrs, представляющими собой количество г-то товара, затраченное в 5-й отрасли. Приняв хгг= 0, получим:

Максимизировать

Х1 — — 2 Xls

s=l

при условии (4)

Хг —? 2 xrs — хг — 2,3, ..., п)

S=1 2 жп+і,в ~~ ^

s=l )

(п + 1)-й товар есть труд, являющийся затратами во всех отраслях; однако соответствующей отрасли не имеется, а значит, не имеется ни хп+1, ни ХЛ+1.

Если технологические коэффициенты постоянны, то задача линейного программирования (4) полностью совпадает с задачей (3). С другой стороны, задача (4) остается задачей на условный максимум даже в том случае, когда технологические пропорции между затратами и выпуском не являются постоянными. Этот вопрос следует рассмотреть более подробно.

Для валового выпуска Хг первого товара требуются затраты хт1 остальных товаров (г = 2,3,... , п) и затраты труда xn+lt Допустим, что существует производственная функция, линейная и однородная:

= /і (^21' ^31» • • • » Snl, Яп+Ь І

так что I (5)

КХ1 = Д (Хх21, Хх31, ..., Ххп1, Xxn+lt j

при всяком к > 0. В частном случае примем. Х = 1/Хг, так что получим ХШ

X

JT, '

>1 Хп +1, л то есть Д (а21, а31, ..., ап1, Ьг) = 1, где а и Ь, как и ранее, суть технологические коэффициенты. Разница состоит в том, что эти коэффициенты —переменные, а не постоянные величины. В системе Леонтьева, где технологическая матрица имеет вид » коэффициенты— величины постоянные,

они являются элементами первого столбца матрицы: элемент первой строки—это «1», далее следуют ( — а21), ( — а31), ..., ( — ап1), ( — Ьг). Теперь же становится возможной взаимозаменяемость затрат, тогда как в системе Леонтьева она не допускалась.

Перепишем задачу (4), используя производственные функции типа (5) для всех п товаров. Максимизировать

xi — /і (жц» Х2\' • • •» Хп+1, і) 2 Х1S

s=i

при условии

п

/г (Х1П Х2г' • ? • » ^п+1, г) 2 — = 2, 3, . . . , /і)

s=l

2 ^n+i, S=1

где, чтобы упростить запись, хгг (равный нулю) также представляется в производственной функции в виде «переменной». Нужно определить значения п(п + 1) переменных xrs, где г = 1, 2, ... , (п + 1) и s = 1, 2, ... , п. Функция этих переменных максимизируется при условии выполнения п ограничений. Заданными являются ивеличин, значения элементов хт{г = 2, 3 ,... , п) и У.

Решая задачу с помощью методов дифференциального исчисления, можно показать, что для максимизации хг нужны не значения п(п + 1) переменных xrs, а значения га2 соотношений crs = xrs/xn+lis (для г = 1, 2, ... , п, s = l,2, ... , и). Далее, величины этих соотношений определяются независимо от заданных значений х2, ... , хп и У. Доказательство этого можно найти в статье Самуэльсона в сборнике под ред. Купманса [И, гл. VII].

Отсюда следует, что, какие бы ни задавались значения х2, х3, ... , хп и У, и какое бы максимальное значение ни принимала величина х19 соотношения

Г 92Г8 ATS

lrs т h

хп+1, s °s

в оптимальном решении задачи (6) остаются постоянными. При решении этой задачи мы исходим сначала из переменных технологических коэффициентов. Однако, когда достигнуто оптимальное решение, технологические коэффициенты становятся постоянными, какие бы значения ни принимали величины хТ и У. Следовательно, задача (6) имеет то же решение, что и система Леонтьева, которая с самого начала считает технологические коэффициенты постоянными.

Наконец, хотя в задаче (6) мы считаем У заданным, так же как х2, х3, ... , хп, в оптимальном решении мы можем исключить это допущение с помощью соотношения зависимости, которое, как и в системе Леонтьева, должно существовать между значениями У и х19 х2, ... , хп (первая величина максимизируется, остальные заданы). Это соотношение — линейное уравнение (2).

Значит, можно сделіать вывод, что в системе Леонтьева и в ее решении допустима взаимозаменяемость затрат в соответствии с непрерывной производственной функцией, линейной и однородной (при пропорциональности между затратами и выпуском). Тот же вывод получается и в случае единственно возможного заданного способа (технологические коэффициенты которого постоянны), и в случае, если этот процесс есть один из числа многих возможных. Суть дела в том, что в системе Леонтьева не рассматривается необходимость принятия решений (например, фирмой) и, таким образом, заменяемость является случайной.

<< | >>
Источник: Р. Аллен. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЭКОНОМИЯ. 1963

Еще по теме 16.4. ЗАМЕНЯЕМОСТЬ В ОТКРЫТОЙ СИСТЕМЕ ЛЕОНТЬЕВА:

  1. 16.3. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ОТКРЫТОЙ СИСТЕМЫ ЛЕОНТЬЕВА В ВИДЕ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ОТРАСЛЕЙ
  2. 10.3. ОТКРЫТАЯ МОДЕЛЬ ЛЕОНТЬЕВА
  3. 13.7. СТАТИЧЕСКАЯ СИСТЕМА ЛЕОНТЬЕВА
  4. 13.9. ДИНАМИЧЕСКАЯ СИСТЕМА ЛЕОНТЬЕВА
  5. |10.8. ДИНАМИЧЕСКАЯ СИСТЕМА ЛЕОНТЬЕВА
  6. 10.7. ЗАМКНУТАЯ СИСТЕМА ВАЛЬРАСА — ЛЕОНТЬЕВА
  7. Лекция 8. Заменяемость и дополняемость
  8. 20 ОТКРЫТЫЕ И ЗАКРЫТЫЕ СИСТЕМЫ.
  9. Самоструктурирование возможно в открытых системах.
  10. ОТКРЫТЫЕ И ЗАКРЫТЫЕ СИСТЕМЫ (ПРОДОЛЖЕНИЕ).
  11. Другие критерии: междисциплинарность, институты, эволюция и открытые системы
  12. Синергетика как новая парадигма: самоорганизация, открытые системы, нелинейность
  13. Теория «византизма» К. Н. Леонтьева
  14. ; Опосредствованное запоминание по Леонтьеву