<<
>>

16.5. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ВОЗМОЖНОСТЕЙ

Приведенное выше понятие технологии (см. 16.2) является весьма широким. Задана матрица технологических коэффициентов А = [ars] размерности m X п. Имеется m товаров, отображаемых строками матрицы А, и п базисных производств, отображаемых ее столбцами.
Элементы строки матрицы А представляют собой различные количества некоторого товара, затрачиваемые или выпускаемые в соответственных производственных отраслях. Элементы столбца матрицы А показывают, какие товары затрачиваются и выпускаются при единичном уровне соответствующего базисного производства. Все сказанное в одинаковой степени относится к самым разнообразным системам, например к фирме, к некоторому сектору народного хозяйства, к народному хозяйству в целом (если оно рассматривается как открытая система). Матрица отображает специфические технологические возможности в рамках системы, что последняя собой ни представляла бы, и не более того.

Пусть х = {xr} (г = 1, 2, ... , т) есть вектор выпуска, получаемого при комбинировании базисных производств, взятых с уровнями % = (5 = 1, 2, ... , п), где Я8>0. Тогда технологическое преобразование уровней h к выпуску х попросту описывается уравнением

х-Ah (h>0) (1)

или, в развернутом виде,

хг = а11%1 -f a12h2 + • • - + ain^n> Х2 = + 022^2 + • . . +

(2)

^m = amlK + am2^2 + - • ? + 0>тпК-

Любая технологическая возможность в рамках системы описывается уравнением (1) или системой уравнений (2). Они отображают всю совокупность допустимых распределений для задачи линейного программирования, ограничениями которой является соотношение (1).

Не надо забывать о результатах предположения линейности, или пропорциональности. Если увеличить вдвое уровень каждой из производственных отраслей, то в соответствии с уравнением (1) удваивается и выпуск каждого из товаров; это справедливо и для любого другого изменения уровней в одинаковой пропорции для всех способов.

Поэтому целесообразно проводить различие между относительным распределением ресурсов и масштабом производства. Единичную комбинацию базисных производственных отрас-

лей можно характеризовать вектором ц = {fis}, где fis > 0 и 1;

* 8=1 соответствующий выпуск описывается уравнением х = Ац. С изменением элементов \is изменяется относительное распределение ресурсов, хотя всегда уровень остается единичным. Масштаб производства учитывается затем с помощью коэффициента х, одинакового для всех производственных отраслей. Тогда любое распределение или состояние производства будет задано уравнением

ь = х {hJ. х = Ah = хА {ц8}.

где h = (h^ 0, ... , 0).

В зависимости от того, производится ли товар (выпуск), потребляется ли он (затраты) или вовсе не участвует в рассматриваемой отрасли, коэффициенты ars могут быть положительными, отрицательными или нулевыми. Аналогичным образом в соответствии со своим знаком истолковываются элементы вектора выпуска х. В общем можно считать, что в любой реальной системе имеется один (или несколько) видов конечных продуктов, которые невозможно получить извне системы и для которых хг> 0, и один (или несколько) видов первичных факторов, поступающих извне системы, для которых хг < 0. Могут быть также и промежуточные продукты, для которых хг — 0; эти продукты не поступают извне системы и не производятся для потребления за пределами сис/гемы. С другой стороны, первичный фактор вполне может не только поступать извне системы, но и являться выпуском некоторых производственных отраслей, а • конечный продукт не только производиться для потребления за пределами системы, но и затрачиваться в некоторых отраслях. Это попросту означает, что любая строка матрицы А

Различие между относительным распределением (і и масштабом производства х проводится во всех случаях без исключения. Например, если эксплуатируется только первая базисная производственная отрасль, то относительное распределение задается постоянным вектором |ш = (1, 0, ... , 0), масштаб производства — уровнем Кг использования этой отрасли: может включать как положительные, так и отрицательные коэффициенты.

Вместе с тем характерным для реальной системы можно считать еще одно свойство: непременно имеется хотя бы один первичный фактор, который только потребляется (и никогда не производится). Таким фактором можно считать «труд» или, по крайней мере, «неквалифицированный труд», если «квалифицированный труд» рассматривается как продукт такого вида деятельности как «обучение». В соответствующей строке матрицы А все коэффициенты отрицательны. По аналогии предположим существование хотя бы одного конечного продукта, который может производиться, но не потребляется ни в одной отрасли, так что в соответствующей строке матрицы А все коэффициенты положительны (или равны нулю).

Указанные свойства технологической матрицы соответствуют частным случаям. Они удобны для применения матрицы А в реальных системах, но не требуются с математической точки зрения, и можно построить системы, для которых данные свойства не характерны. Для удобства и простоты (но не более того) сделаем здесь следующие допущения:

Допущение I. Должен существовать один товар (будем считать его первым), который в качестве конечного продукта направляется для потребления за пределы системы, не поступает в качестве первичного фактора извне системы и не является затратами ни в одном из производств, так что als>О и ^>0.

Допущение II. Должен быть один товар (будем считать его последним), который поступает в качестве первичного фактора извне системы и является затратами во всех производственных отраслях, так что ятз<0 и хт<0.

Во всех этих рассуждениях мы не принимаем во внимание тривиального случая к — 0, когда не эксплуатируется ни одно из производств; в противном случае хх и хттакже могли бы быть равны нулю. Следовательно, когда в (1) мы пишем к>0, это следует понимать следующим образом: все Х8>0, причем некоторые из Я3>0.

Более общий анализ, основывающийся на других и не столь строгих ограничениях, приведен в сборнике Купманса [11, гл. III]. Одно из таких частных допущений рассматривается и иллюстрируется упражнениями 4 и 5.

Графическое изображение технологических возможностей, возникающих при преобразовании (1), полезно во всех случаях, но особенно если число товаров т не превышает трех. Пусть имеются два пространства, в которых могут быть отображены (соответственно) точки Них. /г-мерное пространство производственных отраслей содержит точки к = (кх, Я2, ... , кп), каждая из которых отображает определенную комбинацию производственных отраслей; так как к > 0, то мы должны взять только положительную область этого пространства. Еще более полезно иг-мерное пространство товаров, точки которого х = (агх, ••• » хт) отображают некоторую совокупность выпусков. Рассматривается все это пространство, так как элементы х могут быть как положительными (выпуск), так и отрицательными (затраты). Однако мы допускаем существование только положительных хх и только отрицательных хт, что является значительным упрощением. Тогда преобразование (1) оказывается «отображением» пространства отраслей на пространство товаров, и сразу же можно применить топологические приемы (см. 11.5). Однако в настоящем анализе мы стараемся избежать наиболее специальных математических вопросов; ограничимся рассмотрением случаев т = 2, 3 и графическим изображением двух- и трехмерного пространства товаров. Более общие результаты формулируются без доказательства по аналогии с полученными для случая т = 3.

Рассмотрим случай двух отраслей и двух товаров (т = п = 2):

д = [а11 аі2І

La2l fl22J Пусть два базисных производства описываются матрицами А(1)= Un 1

I «21 J

д(2)_ «12 По сделанному нами допущению, элементы ап и а12 неотрица- L «22 J

тельны, а а21 и а22 отрицательны. Поскольку единичной уровень каждой из производственных отраслей выбирается произвольно, весьма удобно принять а21= а22= —1, то есть единичным считать такой уровень производства, которому соответствует единица затрат «труда». Тогда неотрицательные элементы ап и а12 характеризуют выпуск конечного продукта х1 на единицу «труда» в двух базисных производствах. В пространстве товаров Оххх2 построим точки А(1>= (аи,—1) и А(2)= (а121). Эти точки отображают выпуск при единичном уровне первого или второго производств. Любая комбинация (тоже единичная) этих базисных отраслей, описываемая системой уравнений

x1 = a11\i + a12{ 1 —|и), Х2 — «21^+ «22 (1

отображается точкой Р, расположенной на отрезке прямой, соединяющей точки Аа) и Л(2) на рис. 51. Чтобы учесть масштаб производства, результаты для единичного уровня можно умножить на любой коэффициент к (к > 0). На рис. 51 это означает, что любая точка луча ОА(1) отображает выпуск первого производства при различных его уровнях и аналогично для луча ОАС2)— выпуск второго производства, а точки луча ОР — комбинацию этих двух производств. Таким образом, любой возможный выпуск х = Ah = хА{|и, 1 — [Lt} отображается некоторой точкой на луче ОР, который может вращаться относительно точки О в секторе, ограниченном лучами ОАа) и OAi2) и включающем эти лучи. Следовательно, все множество допустимых точек х = Ah лежит внутри или на гранях конуса OAa)Ai2\ В соответствии со сделанными предположениями, вершиной этого конуса является точка О, и расположен он в квадранте хг> 0, я2< 0. Этот конус — графическое отображение множества допустимых распределений ресурсов или допустимых производственных отраслей, причем допустимые решения понимаются так же, как и в линейном программировании.

В упражнении 6 показано, что при сделанных предположениях невозможен случай двух товаров и трех или более производственных отраслей (т = 2, п > 2). Но так или иначе задача с двумя товарами не представляет большого интереса: ведь один из этих товаров — «труд», а второй — единственный конечный продукт. Более важен случай трех товаров (т = 3), который дает трехмерное графическое изображение пространства товаров. Количество производств при этом может быть равно двум и более.

В случае трех товаров и двух производств (т = 3, п = 2) мы имеем: ~aii «12~Ї «її "«12 А == «21 «22 I » А(1) = «21 , А(2) = «22 _«31 «32 J _«31_ _«32 _ где, согласно сделанным предположениям, яи> 0 и я12> 0, а31< 0 и aS2 < 0. Этот случай иллюстрируется на рис. 52, причем уровни производств и здесь считаются единичными при а31= а32 = —1.

В пространстве Оххх2х3 построим две точки Аа) и Ai2); тогда любое возможное распределение отображается точкой х внутри двумерного конуса ОА(1)А(2) или на его грани. Допустимые точки х = Ah опять лежат внутри или на грани двумерного конуса с вершиной в точке О, размещенного уже в трехмерном пространстве. Сечение конуса плоскостью х3= —1 (что соответствует единичному уровню производства, или выпуску при затрате единицы «труда») также показано внизу на рис. 52. Это сечение — отрезок прямой, соединяющей точки А{1) я А(2), которые в соответствии со сделанными допущениями лежат где-то правее вертикальной оси (х2).

В случае трех товаров и трех производственных отраслей (т = п = 3): а,

а

х12

222

А<2) =

ал

11 #12 и13 #21 «22 «23

а.

L"32.

зз.

La3l и32

Аа) = j «21 I >

LosiJ

А==

А(3)= а,' L«33J Графическое изображение этого случая показано на рис. 53. И в этом случае ЯЦ, аі2, Яі3>0, и, согласно выбранным единичным уровням, а31= = —1. Три точки Аа\ Л(2) и Аіз\ находящиеся в пространстве

*зз

= йо на сечении конуса плоскостью —1, составляют двумерный треугольник. Ни одна из этих точек (например, А(3)) не может лежать на отрезке прямой, соединяющем две другие точки. В противном случае производственная отрасль А(3) оказалась бы комбинацией отраслей А(1> и А(2); она не была бы базисным производством и не заслуживала бы включения в матрицу А. Если не считать этого ограничения, точки Аа\ А{2) и Л(3) могут находиться в любом месте плоскости #з= —1, вправо от вертикальной оси (х2). Допустимые точки х = А% лежат внутри или на гранях трехмерного конуса ОАа)А(2)А(3) с вершиной в точке О.

Если число производств превышает три, так что в матрице А имеется более трех столбцов, или более трех базисных производственных отраслей А(1), А(2), А(3>, ... , то положение весьма сходно с изображенным на рис. 54. Чтобы учесть дополнительные базисные производства, необходимо лишь, чтобы точки А(1), А(2\ А(3\ ... в секущей плоскости #3= —1 представляли собой плоский многоугольник и были бы экстремальными точками выпуклого множества. Это требуется, если производственные отрасли должны быть базисными, и ни одна из них не является комбинацией остальных.

481

31 Р. Аллен

Следовательно, для случая трех товаров (т = 3) все множество технологически возможных вариантов распределения ресурсов отображается точками в трехмерном пространстве, лежащими внутри или на гранях конуса с вершиной в точке О; этот конус «порожден» многоугольником в плоскости х3= —1. Плоский многоугольник (в секущей плоскости х3= —1) представляет собой выпуклое множество, экстремальные точки которого А<2\ Л<3>,... . Образованный этим многоугольником конус имеет почти те же пропорции, и его можно называть выпуклым конусом. Можно установить четкое различие между внутренними и граничными точками как выпуклого множества, так и выпуклого конуса. Поверхность конуса состоит из одной или нескольких граней, то есть плоских треугольников, аналогичных треугольнику и прямых вида разделяющих эти грани.

Совершенно ясно, что все эти рассуждения можно распространить на случай более чем трех товаров, и очевидно, что вся теория выпуклых множеств и соответствующих им выпуклых конусов может быть здесь применима (см. 15.7). Для случая т товаров технологически допустимые варианты распределения отображаются допустимыми точками х = АН, лежащими внутри или на гранях т -мерного выпуклого конуса. Обозначим этот конус череа (А); он имеет вершину в точке О и одну или более граней, которые в общем случае имеют (т—1) измерений, но могут иметь и меньшую размерность» Исследовать тип конуса (А) всегда можно с помощью секущей плоскости хт = —1; сечение является выпуклым (т—1)-мерным множеством.

Задачи п упражнения 1.

Рассмотреть более широкую область видов конуса (А), образующихся в том случае, если мы отказываемся от допущения (I), но по-прежнему сохраняем допущение (II). Показать, что если матрица А второго порядка, то конус может быть похож на изображенный на рис. 55 и что это влечет за собой «расточительные» производства (затраты имеются, а выпуск отсутствует). 2.

Распространить условия предыдущей задачи на случай матрицы А третьего порядка, пользуясь при этом рис. 53. Показать, что в таком случае будут существовать производственные отрасли, в которых для выпуска товара х± затрачивается (кроме труда) товар а?2, и обратно. Доказать, что и х\ и х2 могут быть копечными продуктами, но оба опи должны поступать извне такой системы. В каком смысле подобная система является4 «нереальной»? Рассмотреть альтернативную возможность такого ограничения множества точек X в пространстве производств, чтобы хотя бы один из товаров х\ или х2 нельзя было получить извне системы. 3.

Отказаться от допущений (I) и (II) и показать, что если матрица А второго порядка, то конус (А) может принимать всевозможные формы, в том числе «сплошную» форму (то есть охватывать собой всю плоскость) и три формы, изображенные на рис. 56. Распространить это доказательство на случай матрицы А третьего порядка. 4.

Вместо допущений (I) и (II) сделать два следующих допущения:

а) не существует такого вектора X > О, что х = АЛ, = 0;

б) не существует такого" вектора X > О, что х = Ак >- 0.

Здесь символ «>» исключает возможность равенства всех элементов вектора нулю. Показать, что эти допущения налагают менее строгие ограничения, чем допущения (I) и (II), а именно что они удовлетворяются в случае выполнения (I) и (II), но не наоборот. (См. сборник Купманса [И, гл. III].) 5.

Сделав те же допущения, что ив предыдущем упражнении, истолковать допущение (а) в предыдущей задаче как «производственный процесс необратим» и допущение (б) как «нельзя сделать что-либо из ничего». Показать, что если матрица А второго порядка, то допущение (а) исключает вариант рис. 56, б, а допущение (б) — вариант рис. 56, в, так что при выполнении обоих допущений возможен только вариант рис. 56, а. Сравнить с рис. 51 и 55. Х„ і 2 1

0 \ Ж, \ А« W -г N? \ Ч Рис. 55. 6.

Показать, что если размерность матрицы А есть 2 X 3, то невозможны ни допущения (I) и (II), ни допущения упражнения 4. 7.

Вычертить рисунки, аналогичные рис. 53, если а) А =

[\2 3 11 Г 1 2 1]

2 0 3 , б) А= 2 1 1 .

— 1 —1 — 1J L— і— 1— ij t иы {

а)

8. Вычертить конусы (А) и их сечения плоскостью х3 = —1, если 2 2 Г А=| 2 1 | , б) А = -1 — 1 —1 и сопоставить их с рисунками к предыдущему упражнению. В каком смысле можно утверждать, что первое базисное производство в этих матрицах явно более «эффективно», чем остальные базисные отрасли производства?

<< | >>
Источник: Р. Аллен. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЭКОНОМИЯ. 1963

Еще по теме 16.5. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ВОЗМОЖНОСТЕЙ:

  1. 1.3 Технологические возможности пароконвектоматов
  2. 3.5.2. СТОРОНЫ СТАНОВЛЕНИЯ: ВОЗМОЖНОСТЬ, ДЕЙСТВИТЕЛЬНОСТЬ 352.1. ВОЗМОЖНОСТЬ 3521.1. Общая характеристика возможности
  3. Общеметафизический аспект понятия представления Функция представления в самосознании абсолюта по Гегелю
  4. Информационно-технологическая парадигма
  5. 3.4. ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
  6. ^ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ПРОЦЕСС ИЗГОТОВЛЕНИЯ СТЕРЖНЕЙ
  7. КЛАССИФИКАЦИЯ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
  8. ПРОЕКТИРОВАНИЕ ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО ПРОЦЕССА ИЗГОТОВЛЕНИЯ ОТЛИВКИ
  9. Г. ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЕ ПАРАМЕТРЫ
  10. ОСНОВНЫЕ ЭТАПЫ РАЗРАБОТКИ ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО ПРОЦЕССА