16.5. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ВОЗМОЖНОСТЕЙ

Пусть х = {xr} (г = 1, 2, ... , т) есть вектор выпуска, получаемого при комбинировании базисных производств, взятых с уровнями % = (5 = 1, 2, ... , п), где Я8>0. Тогда технологическое преобразование уровней h к выпуску х попросту описывается уравнением

х-Ah (h>0) (1)

или, в развернутом виде,

хг = а11%1 -f a12h2 + • • - + ain^n> Х2 = + 022^2 + • . . +

(2)

^m = amlK + am2^2 + - • ? + 0>тпК-

Любая технологическая возможность в рамках системы описывается уравнением (1) или системой уравнений (2). Они отображают всю совокупность допустимых распределений для задачи линейного программирования, ограничениями которой является соотношение (1).

Не надо забывать о результатах предположения линейности, или пропорциональности. Если увеличить вдвое уровень каждой из производственных отраслей, то в соответствии с уравнением (1) удваивается и выпуск каждого из товаров; это справедливо и для любого другого изменения уровней в одинаковой пропорции для всех способов.

лей можно характеризовать вектором ц = {fis}, где fis > 0 и 1;

* 8=1 соответствующий выпуск описывается уравнением х = Ац. С изменением элементов \is изменяется относительное распределение ресурсов, хотя всегда уровень остается единичным. Масштаб производства учитывается затем с помощью коэффициента х, одинакового для всех производственных отраслей. Тогда любое распределение или состояние производства будет задано уравнением

ь = х {hJ. х = Ah = хА {ц8}.

где h = (h^ 0, ... , 0).

В зависимости от того, производится ли товар (выпуск), потребляется ли он (затраты) или вовсе не участвует в рассматриваемой отрасли, коэффициенты ars могут быть положительными, отрицательными или нулевыми. Аналогичным образом в соответствии со своим знаком истолковываются элементы вектора выпуска х. В общем можно считать, что в любой реальной системе имеется один (или несколько) видов конечных продуктов, которые невозможно получить извне системы и для которых хг> 0, и один (или несколько) видов первичных факторов, поступающих извне системы, для которых хг < 0. Могут быть также и промежуточные продукты, для которых хг — 0; эти продукты не поступают извне системы и не производятся для потребления за пределами сис/гемы. С другой стороны, первичный фактор вполне может не только поступать извне системы, но и являться выпуском некоторых производственных отраслей, а • конечный продукт не только производиться для потребления за пределами системы, но и затрачиваться в некоторых отраслях. Это попросту означает, что любая строка матрицы А

Различие между относительным распределением (і и масштабом производства х проводится во всех случаях без исключения. Например, если эксплуатируется только первая базисная производственная отрасль, то относительное распределение задается постоянным вектором |ш = (1, 0, ... , 0), масштаб производства — уровнем Кг использования этой отрасли: может включать как положительные, так и отрицательные коэффициенты.

Указанные свойства технологической матрицы соответствуют частным случаям. Они удобны для применения матрицы А в реальных системах, но не требуются с математической точки зрения, и можно построить системы, для которых данные свойства не характерны. Для удобства и простоты (но не более того) сделаем здесь следующие допущения:

Допущение I. Должен существовать один товар (будем считать его первым), который в качестве конечного продукта направляется для потребления за пределы системы, не поступает в качестве первичного фактора извне системы и не является затратами ни в одном из производств, так что als>О и ^>0.

Допущение II. Должен быть один товар (будем считать его последним), который поступает в качестве первичного фактора извне системы и является затратами во всех производственных отраслях, так что ятз<0 и хт<0.

Во всех этих рассуждениях мы не принимаем во внимание тривиального случая к — 0, когда не эксплуатируется ни одно из производств; в противном случае хх и хттакже могли бы быть равны нулю. Следовательно, когда в (1) мы пишем к>0, это следует понимать следующим образом: все Х8>0, причем некоторые из Я3>0.

Более общий анализ, основывающийся на других и не столь строгих ограничениях, приведен в сборнике Купманса [11, гл. III]. Одно из таких частных допущений рассматривается и иллюстрируется упражнениями 4 и 5.

Графическое изображение технологических возможностей, возникающих при преобразовании (1), полезно во всех случаях, но особенно если число товаров т не превышает трех.

Рассмотрим случай двух отраслей и двух товаров (т = п = 2):

д = [а11 аі2І

La2l fl22J Пусть два базисных производства описываются матрицами А(1)= Un 1

I «21 J

д(2)_ «12 По сделанному нами допущению, элементы ап и а12 неотрица- L «22 J

тельны, а а21 и а22 отрицательны. Поскольку единичной уровень каждой из производственных отраслей выбирается произвольно, весьма удобно принять а21= а22= —1, то есть единичным считать такой уровень производства, которому соответствует единица затрат «труда». Тогда неотрицательные элементы ап и а12 характеризуют выпуск конечного продукта х1 на единицу «труда» в двух базисных производствах. В пространстве товаров Оххх2 построим точки А(1>= (аи,—1) и А(2)= (а121). Эти точки отображают выпуск при единичном уровне первого или второго производств. Любая комбинация (тоже единичная) этих базисных отраслей, описываемая системой уравнений

x1 = a11\i + a12{ 1 —|и), Х2 — «21^+ «22 (1

отображается точкой Р, расположенной на отрезке прямой, соединяющей точки Аа) и Л(2) на рис.

В упражнении 6 показано, что при сделанных предположениях невозможен случай двух товаров и трех или более производственных отраслей (т = 2, п > 2). Но так или иначе задача с двумя товарами не представляет большого интереса: ведь один из этих товаров — «труд», а второй — единственный конечный продукт. Более важен случай трех товаров (т = 3), который дает трехмерное графическое изображение пространства товаров. Количество производств при этом может быть равно двум и более.

В случае трех товаров и двух производств (т = 3, п = 2) мы имеем: ~aii «12~Ї «її "«12 А == «21 «22 I » А(1) = «21 , А(2) = «22 _«31 «32 J _«31_ _«32 _ где, согласно сделанным предположениям, яи> 0 и я12> 0, а31< 0 и aS2 < 0. Этот случай иллюстрируется на рис. 52, причем уровни производств и здесь считаются единичными при а31= а32 = —1.

В пространстве Оххх2х3 построим две точки Аа) и Ai2); тогда любое возможное распределение отображается точкой х внутри двумерного конуса ОА(1)А(2) или на его грани.

В случае трех товаров и трех производственных отраслей (т = п = 3): а,

а

х12

222

А<2) =

ал

11 #12 и13 #21 «22 «23

а.

L"32.

зз.

La3l и32

Аа) = j «21 I >

LosiJ

А==

А(3)= а,' L«33J Графическое изображение этого случая показано на рис. 53. И в этом случае ЯЦ, аі2, Яі3>0, и, согласно выбранным единичным уровням, а31= = —1. Три точки Аа\ Л(2) и Аіз\ находящиеся в пространстве

*зз

= йо на сечении конуса плоскостью —1, составляют двумерный треугольник. Ни одна из этих точек (например, А(3)) не может лежать на отрезке прямой, соединяющем две другие точки. В противном случае производственная отрасль А(3) оказалась бы комбинацией отраслей А(1> и А(2); она не была бы базисным производством и не заслуживала бы включения в матрицу А. Если не считать этого ограничения, точки Аа\ А{2) и Л(3) могут находиться в любом месте плоскости #з= —1, вправо от вертикальной оси (х2). Допустимые точки х = А% лежат внутри или на гранях трехмерного конуса ОАа)А(2)А(3) с вершиной в точке О.

Если число производств превышает три, так что в матрице А имеется более трех столбцов, или более трех базисных производственных отраслей А(1), А(2), А(3>, ... , то положение весьма сходно с изображенным на рис. 54. Чтобы учесть дополнительные базисные производства, необходимо лишь, чтобы точки А(1), А(2\ А(3\ ... в секущей плоскости #3= —1 представляли собой плоский многоугольник и были бы экстремальными точками выпуклого множества. Это требуется, если производственные отрасли должны быть базисными, и ни одна из них не является комбинацией остальных.

481

31 Р. Аллен

Следовательно, для случая трех товаров (т = 3) все множество технологически возможных вариантов распределения ресурсов отображается точками в трехмерном пространстве, лежащими внутри или на гранях конуса с вершиной в точке О; этот конус «порожден» многоугольником в плоскости х3= —1. Плоский многоугольник (в секущей плоскости х3= —1) представляет собой выпуклое множество, экстремальные точки которого А<2\ Л<3>,... . Образованный этим многоугольником конус имеет почти те же пропорции, и его можно называть выпуклым конусом. Можно установить четкое различие между внутренними и граничными точками как выпуклого множества, так и выпуклого конуса. Поверхность конуса состоит из одной или нескольких граней, то есть плоских треугольников, аналогичных треугольнику и прямых вида разделяющих эти грани.

Совершенно ясно, что все эти рассуждения можно распространить на случай более чем трех товаров, и очевидно, что вся теория выпуклых множеств и соответствующих им выпуклых конусов может быть здесь применима (см. 15.7). Для случая т товаров технологически допустимые варианты распределения отображаются допустимыми точками х = АН, лежащими внутри или на гранях т -мерного выпуклого конуса. Обозначим этот конус череа (А); он имеет вершину в точке О и одну или более граней, которые в общем случае имеют (т—1) измерений, но могут иметь и меньшую размерность» Исследовать тип конуса (А) всегда можно с помощью секущей плоскости хт = —1; сечение является выпуклым (т—1)-мерным множеством.

Задачи п упражнения 1.

Рассмотреть более широкую область видов конуса (А), образующихся в том случае, если мы отказываемся от допущения (I), но по-прежнему сохраняем допущение (II). Показать, что если матрица А второго порядка, то конус может быть похож на изображенный на рис. 55 и что это влечет за собой «расточительные» производства (затраты имеются, а выпуск отсутствует). 2.

Распространить условия предыдущей задачи на случай матрицы А третьего порядка, пользуясь при этом рис. 53. Показать, что в таком случае будут существовать производственные отрасли, в которых для выпуска товара х± затрачивается (кроме труда) товар а?2, и обратно. Доказать, что и х\ и х2 могут быть копечными продуктами, но оба опи должны поступать извне такой системы. В каком смысле подобная система является4 «нереальной»? Рассмотреть альтернативную возможность такого ограничения множества точек X в пространстве производств, чтобы хотя бы один из товаров х\ или х2 нельзя было получить извне системы. 3.

Отказаться от допущений (I) и (II) и показать, что если матрица А второго порядка, то конус (А) может принимать всевозможные формы, в том числе «сплошную» форму (то есть охватывать собой всю плоскость) и три формы, изображенные на рис. 56. Распространить это доказательство на случай матрицы А третьего порядка. 4.

Вместо допущений (I) и (II) сделать два следующих допущения:

а) не существует такого вектора X > О, что х = АЛ, = 0;

б) не существует такого" вектора X > О, что х = Ак >- 0.

Здесь символ «>» исключает возможность равенства всех элементов вектора нулю. Показать, что эти допущения налагают менее строгие ограничения, чем допущения (I) и (II), а именно что они удовлетворяются в случае выполнения (I) и (II), но не наоборот. (См. сборник Купманса [И, гл. III].) 5.

Сделав те же допущения, что ив предыдущем упражнении, истолковать допущение (а) в предыдущей задаче как «производственный процесс необратим» и допущение (б) как «нельзя сделать что-либо из ничего». Показать, что если матрица А второго порядка, то допущение (а) исключает вариант рис. 56, б, а допущение (б) — вариант рис. 56, в, так что при выполнении обоих допущений возможен только вариант рис. 56, а. Сравнить с рис. 51 и 55. Х„ і 2 1

0 \ Ж, \ А« W -г N? \ Ч Рис. 55. 6.

Показать, что если размерность матрицы А есть 2 X 3, то невозможны ни допущения (I) и (II), ни допущения упражнения 4. 7.

Вычертить рисунки, аналогичные рис. 53, если а) А =

[\2 3 11 Г 1 2 1]

2 0 3 , б) А= 2 1 1 .

— 1 —1 — 1J L— і— 1— ij t иы {

а)

8. Вычертить конусы (А) и их сечения плоскостью х3 = —1, если 2 2 Г А=| 2 1 | , б) А = -1 — 1 —1 и сопоставить их с рисунками к предыдущему упражнению. В каком смысле можно утверждать, что первое базисное производство в этих матрицах явно более «эффективно», чем остальные базисные отрасли производства?