<<
>>

16.7. ЦЕНЫ И ДВОЙСТВЕННАЯ ЗАДАЧА

В задаче, приведенной в разделе 16.6, эффективное производство зависело от существования положительного вектора р, удовлетворяющего условиям (6), в развернутой форме записанным в виде системы (4) или (5).
Такой вектор в пространстве товаров должен быть нормалью к эффективной грани конуса (А), отображающего технологические возможности, описанные уравнением х = АП. На следующем этапе мы должны интерпретировать вектор р уже как вектор цен и затем связать задачу раздела 16.6 с ее двойственной задачей.

Компоненты положительного вектора р считаются внутрипроизводственными или расчетными оценками; точно устанавливаются не их абсолютные значения, а только соотношения между ними. Эти оценки пока еще не связаны с рыночными ценами; в самом деле, понятие рынка не определено, и его может вовсе не быть. Рассмотрим случай трех товаров и предположим, что конус (А) имеет эффективную двумерную грань ОА^ Л(2>. Тогда существует единственное соотношение элементов рг: р2: р3, являющихся расчетными оценками, при котором выполняются условия (5) раздела 16.6. Выражение {рхап+р2а21-\- Рзазі) есть чистая прибыль при этих оценках при единичном уровне производства элементы а могут быть как положительными, так и отрицательными (это соответствует товарам, выпускаемым и расходуемым), так что при вычислении чистой прибыли выручка сопоставляется с издержками. Аналогично этому выражение (рха12 + р2а22 + р3а32) есть чистая прибыль для единичного уровня производства Л(2>. В соответствии с условиями (5) раздела 16.6 прибыль в обоих случаях равна нулю.Следовательно, обе отрасли (Л*1) и Л(2>) дают нулевую прибыль, так же как любая комбинация этих отраслей, то есть любое эффективное распределение на грани ОА^А^2К Остальные соотношения системы (5) раздела 16.6 показывают, что все другие производственные отрасли, то есть A(s\ A^k\ ..., или любая комбинация с участием этих способов, дают нулевую или отрицательную прибыль.

Полученный результат можно обобщить на случай т товаров.

Здесь эффективная грань имеет либо (т —- 1)-ю, либо меньшую размерность (в последнем случае система оценок не определяется однозначно). Для любой эффективной комбинации производств расчетные оценки таковы, что чистая прибыль равна нулю; для любой другой комбинации производств прибыль отрицательна (или в лучшем случае равна нулю). Следовательно, расчетные оценки можно определить следующим образом:

При системе расчетных оценок р (р > 0), которая может быть, а может и не быть единственной, ни одна из производственных отраслей, включенных в технологическую матрицу А, не дает положительной прибыли, а всякая эффективная отрасль дает по этим оценкам нулевую прибыль.

Расчетные оценки служат показателями эффективности распределения ресурсов. Вообще говоря, верно то, что при эффективных вариантах распределения прибыль равна нулю, а при других — отрицательна. Однако, поскольку могут быть многочисленные системы оценок, а значит, могут иметь место и различные варианты эффективных распределений, следует учитывать возможность существования не только отрицательной, но и нулевой прибыли, помимо рассмотренных возможностей эффективного производства. Вместе с тем во всех случаях можно утверждать, что убыточные отрасли {дающие отрицательную прибыль) не являются эффективными.

Теперь можно истолковать расчетные оценки с экономической точки зрения как нормы замены. Рассматриваемая здесь замена заключается в переходе от одного эффективного варианта распределения к другому, причем точки, отображающие оба варианта, расположены на одной и той же эффективной грани конуса (А). Для замены должна быть выбрана (яі--І)-мерная грань; так, если т = 3, возможность замены существует на двумерной грани, но не на одномерной грани; на последней возможны изменения только в масштабе производства, но не в относительном распределении. Пусть и суть два варианта эффективного распределения на грани (F), и пусть Х(П = F^1) и х(2> = Fh(2) суть соответствующие выпуски. Поскольку (F)— эффективная грань, то, в соответствии с условиями (6) раздела 16.6,

р'х(1) = p'Fh(1> = 0,

и

pV2> = p'Fb(2) = 0.

Следовательно,

р' {х(1) —x(2)}-F = 0.

Рассмотрим случай, когда изменяется выпуск лишь двух первых товаров.

Тогда

ИЛИ

р2 —' * '

В соответствии с определением эффективности, если X™ > Х{*\ ТО X™ < х(22> и наоборот. Поэтому соотношение в правой части уравнения (1) положительно и является показателем нормы заменяемости выпуска двух товаров. В случае небольших изменений соотношение оценок можно считать предельной нормой заменяемости, однако вовсе нет необходимости рассматривать предельные категории. Отсюда соотношения оценок рг: р2:.. .: рт суть нормы замены выпусков различных товаров на эффективной грани (F). Если число эффективных граней равно двум или более, то при переходе от одного варианта эффективного распределения к другому возможны разрывы. Расчетные оценки для одной грани одинаковы, но изменяются (прерывно) при переходе с одной грани на другую, так что не существует установленной нормы замены при переходе от совокупности эффективных значений выпуска на одной грани к аналогичной совокупности на другой грани.

Следовательно, если задана технологическая матрица А и критерий эффективности распределения, то при решении технологической задачи распределения ресурсов мы получаем системы расчетных оценок, которые позволяют отличить эффективный вариант распределения от неэффективного. Может существовать либо единственное соотношение между оценками, либо несколько таких соотношений. Если окажется, что произведено неэффективное распределение (не были приняты во внимание выводы расчетных оценок), то в хозяйстве возникает «чистый убыток», который поддается измерению. (По этому вопросу см. [6].)

При вычислении оценок приходится строить обратную матрицу. Рассматриваемая эффективная грань (F) описывается подматрицей матрицы А, то есть матрицей F ягх(яг — 1). Транспонированная матрица F' будет (яг — 1) х яг, и ее ранг можно принять равным (яг — 1). Эту матрицу всегда можно представить в виде- [8:0], где В — неособенная квадратная матрица (яг — 1)-го порядка, а 0 —вектор-столбец. Например, если матрица F строится на основе первых (яг—1) производственных отраслей матрицы А, то "«и «21 ? • «т-1, 1 «ті F' = «12 «22 • ' «тн—1» 2 «т2 = [В|0]. -«1, т-1 «2, т-1 • • ' «т-1, т-1 «т, т-1- Соотношения между оценками находятся из уравнения p'F = 0, то есть F'p = 0, что соответствует системе (яг —1) линейных уравнений относительно (яг —1) соотношений между оценками. Обозначим через q вектор

Ґ Pi Jh_ Pm-i\

4 \Рт ' Рш ' * " ' рт J '

так что уравнение F'p = 0 превращается в

Bq = (-P)

и, значит, (2)

q = B-i(-p).

Следовательно, для вычисления соотношений между оценками требуется построить матрицу, обратную по отношению к В.

Например, в случае трех товаров (яг = 3) и эффективной грани OA(VAi2\ для определения соотношения между оценками р1: р2: р3 мы воспользуемся двумя уравнениями системы (5) раздела 16.6:]

Ріап + Р2«2і + Рзазі — °f

Pl«l2 + Ръа22 "Г />3«32 = 0.

Тогда уравнения (2) превращаются в следующие:

Яіаі1 + Я2«21 = — «31» Яіаі2 + ?2«22 = — «32

И

a32g21—а31а22 а __ aZlal2— а32а11

а11а22— а12а21 ' а11а22 — а12а21 '

Отсюда вычисляем соотношение рг:р2' Рз- Знаки оценок следует подобрать таким образом, чтобы выполнялись неравенства системы (5) раздела 16.6.

Теперь можно рассмотреть решение этой задачи с помощью линейного программирования. Необходимо подчеркнуть одно обстоятельство. Если принять два допущения, а именно: 1) технологическая матрица А обусловливает пропорциональность затрат выпуску, 2) имеются неограниченные ресурсы первичных факторов, то это означает, что можно найти относительное распределение ресурсов и соотношения между оценками, но не масштаб производства и не абсолютный уровень оценок. Определяются лишь относительные значения элементов И и р, а не масштаб производства. Отсюда следует, что если эту задачу рассматривать как задачу линейного программирования, то в ней не будет условия максимизации или минимизации в обычном понимании, ибо для максимизации линейной функции типа z = b'H потребуется определить не только относительное распределение ресурсов между производственными отраслями, но и масштаб производства.

Будем искать такую подматрицу F технологической матрицы А, чтобы уравнение x = FИ представляло эффективные варианты распределения в рамках более широкой области возможных вариантов распределения х = АП при И>0. Если матрица А размерности тхп, то F обычно тх{т — 1). Значит, допустимые векторы распределения И размерности п, но эффективные И —только размерности (т — 1); не все базисные производства включаются в эффективное распределение. Матрицу F находим на основании некоторого положительного вектора оценок р размерности т и уравнения F'p = 0 (при одновременном выполнении условия А'р<0). Прямая и двойственная задачи линейного программирования заключаются в нахождении векторов Пир, удовлетворяющих условиям:

FH = x и F'p = 0,

п > о, р > 0. (3)

Это частный (сокращенный) случай более обычной задачи линейного программирования:

Минимизировать z = b"k Максимизировать ? = х'р

при условии FH>x, при условии F'pП> 0. р > 0. J

Здесь Ь —некоторый заданный вектор в пространстве производственных отраслей; в настоящем контексте истолковать его значение нельзя. Однако достаточно в (4) приравнять Ь = 0, и мы получим задачу (3); см. также упражнение 4. 12 1" 2 1 і — і —1 — 16.6). Записать

Задачи и упражнения 1.

Конус (Л), построенный на основе технологической матрицы А =

имеет одну эффективную грань ОАа\4(2) (см. упражнение 2 раздела систему соотношений (5) раздела 16.6 в виде

pi+2p2—p3 = 0, 2p1+p2 — p3 = 0t рі+р2—р3<0.

Показать, что из первых двух уравнений следует рг: р2 : р3 — 1 :1: 3 и что для удовлетворения третьего неравенства знаки ръ р2 и pz должны быть положительными. Г 2 3 11 2.

Матрица А— 2 0 3 1. Найти оценки для эффективных граней ОА{1)А(2)

L-i —і —її

и ОА{1)А™. 3.

Какая система или какие системы оценок могут быть установлены для эффективного распределения, если

4. Истолковать задачу линейного программирования (4), приняв х за вектор минимально требующегося выпуска, a b за вектор чистой прибыли, которая не может быть превышена в различных базисных производственных отраслях. Показать, что при этом z и ? следует считать совокупной чистой прибылью. Почему (4) лишено смысла при сделанных допущениях пропорциональности затрат выпуску и неограниченности ресурсов, кроме одного случая, а именно Ь=0?

<< | >>
Источник: Р. Аллен. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЭКОНОМИЯ. 1963

Еще по теме 16.7. ЦЕНЫ И ДВОЙСТВЕННАЯ ЗАДАЧА:

  1. І. Методика обсуждения вопроса «Закон спроса. Эластичность спроса»
  2. ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
  3. 15.2. ПРОСТОЙ ПРИМЕР: ДВОЙСТВЕННАЯ ЗАДАЧА
  4. 15.3. ПРИВЕДЕНИЕ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ К РЕШЕНИЮ ИГРЫ
  5. 15.4. ОБЩАЯ ПРЯМАЯ И ДВОЙСТВЕННАЯ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
  6. 15.6. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ ДЛЯ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ ОПЕРАЦИЙ
  7. 15.9. РЕШЕНИЕ СИМПЛЕКСНЫМ МЕТОДОМ ПРОСТОЙ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
  8. 16.1. ВВЕДЕНИЕ. ОБЩЕЕ ЭКОНОМИЧЕСКОЕ РАВНОВЕСИЕ
  9. 16.3. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ОТКРЫТОЙ СИСТЕМЫ ЛЕОНТЬЕВА В ВИДЕ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ОТРАСЛЕЙ
  10. 16.4. ЗАМЕНЯЕМОСТЬ В ОТКРЫТОЙ СИСТЕМЕ ЛЕОНТЬЕВА
  11. 16.7. ЦЕНЫ И ДВОЙСТВЕННАЯ ЗАДАЧА