16.9. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ; МОДЕЛЬ РОСТА НЕЙМАНА

Подобные задачи линейного программирования, а также задачи более общего вида, в которых допускаются непрерывные изменения, обобщены Данцигом [5]. Некоторый интерес представляют и применяемые в них вычислительные методы, потому что ограничения (2), взятые для различных t, приводят к очень большим матрицам, составленным, исходя из (1), для ? = 1, 2, ..., Т. Если в качестве начального условия приравнять BU1 нулю при ? = 1, то ограничения для kt в (2) выразятся в следующем виде:

— A2h2 ^ — B2h2 -j- A3h3 <С х3,

где все матрицы А и В размерности т X п. Если к представляет все множество к во времени, а х — все множество х во времени, то для большой разложимой матрицы (см. 12.9) вида

- Аг j 0 j О -ВХ| j а2 і 0 і 0 і — Ва j А3 j 32 р. А л лен ограничения выражаются так:

АХ<х.

Вычисления упрощаются благодаря тому, что ненулевые элементы сосредоточены вокруг главной диагонали. Обычно блоки ненулевых элементов переплетаются между собой по строкам и по столбцам, так что один и тот же товар появляется в различные периоды, а в одной производственной отрасли затрачиваются товары, выпущенные в разные периоды. По сути дела если такого переплетения не имелось бы, то задача динамического линейного программирования распадалась бы на ряд независимых задач для последовательных периодов.

Все это предусмотрено в модели экономического роста, разработанной Нейманом [16]. Эту модель нельзя назвать «применением» линейного программирования, так как она возникла (в 1937 г.) гораздо раньше, чем последнее. Однако Нейман первым использовал линейную модель производства с линейными неравенствами и подчеркнул важность двойственной задачи. Кемени, Моргенштерн и Томпсон [9] недавно обобщили эту модель, включив в нее, например, в качестве частного случая динамическую модель Леонтьева.

(I) Abt-BVi<0, ht>09 і (И) А'р,-В'рг_1>0, Ре >о.;

При истолковании задачи (3) применительно к народному хозяйству делаются следующие широкие и общие допущения: во-первых, народное хозяйство представляет собой замкнутую систему, где затраты пропорциональны выпуску; во-вторых, система располагает неограниченными первичными ресурсами (земля, неквалифицированный труд). Это влечет за собой ряд выводов. Например, трудовые услуги представят выпуск такой отрасли, затраты которой — потребление (в фиксированных пропорциях) товаров, нужных для поддержания существования (а если необходимо, и для обучения) рабочих. Далее, пропорциональность затрат выпуску и неограниченность ресурсов с технологической точки зрения означают (см. 16.6 и 16.7), что масштаб производства и уровень цен не поддаются определению. Отыскиваются лишь соотношения между элементами и р(.

Условия (I) задачи (3) гласят тогда, что затраты t-то периода не могут превышать выпуска предыдущего периода; это — технологические условия. Добавляем еще одно весьма знакомое нам условие: если неравенство (I) задачи (3) является строгим, то товар является свободным благом, и его оценка равна нулю. Условия (II) задачи (3) выражены в оценках (расчетных); и они устанавливают, что чистая прибыль каждого производства всегда неположительна. Добавляем знакомое уже нам условие: если прибыль для производственной отрасли s отрицательна, так что в условии (И) задачи (3) следует применить знак неравенства «>», а не знак равенства «=», то s-я отрасль не эксплуатируется, и = 0.

Введем теперь требования для расширяющегося хозяйства с постоянным темпом роста. Пусть а — постоянный коэффициент роста, где а = 1 + (г/100), a г есть постоянный прирост в процентах за каждый период (г%).

ная ставка на капитал. Пусть р — постоянный коэффициент роста капитала по формуле сложных процентов [Р = 1 + (Q/100)] И процентная ставка на капитал за один период равна Q. Тогда pt : рг_і= Р, так как проценты взимаются за время между началом и концом каждого периода.

Запишем задачу линейного программирования (3) в расширенной форме:

а) Технологические условия ah>0,

причем знак « < » для любого товара означает, что соответствующая оценка равна нулю.

б) Ценностные условия (ЗА'р> В'р, р>0, причем знак « > » для какого-либо производства означает, что его уровень равен нулю. В этих задачах уровни производственных отраслей И и оценок р задаются только в виде отношений. Исключим возможность тривиального случая И = р = 0; тогда неравенства П>0 и р>0 должны пониматься в смысле «все элементы неотрицательны, причем некоторые из них положительны». Условия можно записать в развернутом виде следующим образом: (I) Технологические условия

п п

а 2 arsh = 2 KsK> Рг>° ДЛЯ некоторых Г,

8=1

S= 1 a J1 arsHs<2 ^rs^s» Pr = 0 для остальных г.

(4)

8=1 S=1

(II) Условия оценок

т т

Р 2 ars/?r==2 Brspr, Hs>0 для некоторых SY

Т— 1

г= 1 т Р 2 arsPr> 2 brsprt Hs = 0 для остальных s.

Г= 1 " Г=1

Пусть Пир суть векторы любых уровней производства и оценок,, не обязательно являющиеся решением задачи (4). Обозначим через ф соотношение билинейных форм m п _

2 2 brsKPr

ф(П, р):

г= 1 s=l

гп п _

2 2 ars^sPr

V— 1 S=1 Теперь векторы Пир мы используем только для решения задачи программирования (4), а функцию ф —для выбора решений Пир.

Рассмотрим технологические условия (I) задачи (4). Они устанавливают, что: 2

S=1

n

5= і

для некоторых r(pr>0) п

/j brsK s=l п

2 ars^s

s=l

<Х<

для остальных r(pr = 0), то есть что 2

S=1

а — Мін

n

ars^s

S=1 32*

499 n

2 brsxs

Обозначим = a + ar, где ar = 0 при pr > 0, ar > 0 при pr = 0.

2

Тогда

n m

2 MS 2 />r(a+ar)(2 «гл) 2 2 ararsXspr

цП p) = J^l ^ = = g-4- r=1 5=1

Г/ m ^ n m _ n ~mn

2 л (2 «гд.) 2 pr (2 2 2 arsKpr

T—\ S=1 r= і S— 1 Г—1 S=1

Второе слагаемое здесь неотрицательно; оно обращается в нуль при рг = рг, так как либо ar = 0 (рг > 0), либо рг = 0.

Следовательно, p)J>cp(h, p) = a, и функция ф(^, р) имеет минимальное значение (а) при р = р.

Аналогичным образом можно проанализировать условия (II), из которых следует, что:

Р)<ф(Ь, Р) = Р>

то есть функция ф(>о, р) имеет максимальное значение ф) при к = к.

Таким образом, решение (к, р) задачи (4) следует искать в седловой точке:

Ф (к, р) = a = р

функции ф(^, р) для любых неотрицательных к и р.

Отсюда следует также, что а есть максимально возможный с технологической точки зрения коэффициент роста, который определяется по тому товару, для которого коэффициент роста минимален. Ведь если а есть некоторый другой возможный коэффициент роста, которому соответствует любой другой вектор к, то:

а АХ<В к.

Почленно умножим это соотношение на соответствующие элементы вектора р и сложим полученные произведения:

т п т п

«22 «ГАРГ<2 2 Kshpr>

г—1 s=l r=l S=1

то есть

а<ф(?ц р)<ф(Х, р) = а.

Аналогично этому р есть соответствующий минимальной процентной ставке коэффициент возрастания капитала, возможный при системе оценок, приносящих отрицательную или нулевую прибыль в каждом из производств. Короче говоря, хотя для этой замкнутой системы равновесия развивающегося хозяйства и не установлены условия минимизации или максимизации, но получаемое решение соответствует мииимаксу в теории игр, где a — максимально возможный коэффициент роста, а Р — коэффициент, соответствующий минимально возможной процентной ставке.

Условия и свойства решения можно теперь суммировать в следующей последовательности (см. замечания Чемперноуна [3]). I.

Свободные товары, согласно технологическим условиям задачи, затраты любого товара не могут превысить выпуск этого товара в предыдущем периоде; однако если затраты последующего периода меньше, чем выпуск предыдущего периода, то товар является свободным благом, и его оценка равна нулю. II.

Неприменяемые (убыточные) производственные отрасли: согласно условиям, налагаемым на оценки (расчетные), ни одно из производств не может иметь положительной прибыли; однако если производство дает отрицательную прибыль, то оно не применяется. III.

Коэффициент роста системы во времени является максимально возможным с технологической точки зрения; он устанавливается по тому товару, темп роста производства которого является минимальным во всей данной системе. IV.

Процентная ставка для системы является минимально возможной при оценках, дающих неположительную прибыль для любого производства; зндчит эта ставка устанавливается по самым прибыльным отраслям системы. V.

Свойство равновесия заключается в том, что темп роста (максимальный) равен процентной ставке (минимальной); эта пара значений определяется единственным образом.

Здесь рассмотрена основная проблема длительного хозяйственного равновесия в условиях монотонного роста во времени. Мы анализировали замкнутую систему, где затраты пропорциональны выпуску и ресурсы первичных факторов неограниченны. Поэтому такой анализ можно считать не более как основой, на которой будет строиться анализ более «реальных» задач, например учитывающих предпочтение, оказываемое потребителем отдельным товарам, или возможность замены товаров, или задач, возникающих, в частности, при переходе к проблемам динамики отклонений от длительного состояния равновесия или изменений в рамках последнего.

Вместе с тем в настоящем анализе весьма рельефно отображены некоторые важнейшие особенности экономического равновесия, как-то: функция расчетных оценок и выбор производственной отрасли, в зависимости от того, является ли прибыль нулевой или отрицательной (см. [7], в частности, стр. 386—388). Если рассматриваемая модель представляется в виде задачи линейного программирования, то технологической задаче эффективного распределения ресурсов соответствует двойственная задача оценок и прибыли. Фон Нейман был первым исследователем в этой области (см. [12]). Оценки выполняют лишь расчетную функцию; они могут превратиться в рыночные цены при соответствующих условиях конкуренции или же могут быть использованы «плановиками» в централизованной или децентрализованной системе, направленной ко «всеобщему благосостоянию». Можно лишь сказать, что, какова бы ни была система, если таких расчетных оценок не существовало бы, то их следовало бы изобрести.