<<
>>

16.9. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ; МОДЕЛЬ РОСТА НЕЙМАНА

Анализ, проведенный в предыдущих разделах, применим только при статических, или стационарных, условиях к хозяйству со свободной конкуренцией или к планируемому хозяйству. В этих разделах мы не рассматривали монополистическое хозяйство.
Что еще более важно, анализ не ставил задачей динамическую трактовку проблемы. Однако анализ можно провести шире, чтобы на его основе изучать любые аспекты состояния равновесия в развивающемся народном хозяйстве, а также осветить важнейшие особенности общей динамической модели.

Сама концепция технологической матрицы А является чисто статической; элементы ars отображают вневременные значения выпуска и затрат, то есть потоков в единицу времени в стационарном хозяйстве. Рассмотрим теперь частный случай последовательности временных интервалов равной продолжительности; t-й интервал длится от (? — 1)-го момента до ?-го момента времени (f = 1, 2, . . ., Г). При этом п базисных производственных отраслей (каждая для т товаров), составляющих матрицу А, необходимо приурочить к определенным моментам времени; это значит, что производственные отрасли должны обозначаться уже не A(s>, a A(s)(?), где 5 = 1, 2, и, ? = 1, 2, Т. Может случиться, что производство останется неизменным (то есть не изменятся коэффициенты затрат и выпуска) при переходе от одного периода к другому; или структура производств может изменяться во времени. В том и в другом случае теперь требуется

п

не вообще комбинация производственных отраслей вида 2 а комби-

s=l

п Т

нация всех этих отраслей во времени: 2 2 ПРИ всех

s=l t= 1

Коэффициент Xst — уровень 5-го производственного способа в t-й период времени.

Производственную отрасль Л<в>(?) удобнее всего представить себе следующим образом: на начало интервала, или в (? — 1)-й момент, производятся ряд затрат, вслед за чем, в конце интервала, или в t-й момент, происходит ряд выпусков товаров.

Тогда можно пользоваться только неотрицательными значениями коэффициентов затрат и выпуска, и каждый товар фигурирует и в числе затрачиваемых и в числе выпускаемых продуктов (причем не исключена возможность нулевых коэффициентов). Обозначим: r&isi

&2st bmst~

4&t a2st

\-amst

Затраты в момент А =

(t-l)

Выпуски в момент B = t где 5=1, 2, . . ., n; t= 1, 2, ..., T; arst> 0; brst>0. Из этих векторов можно составить две матрицы, характеризующие технологию ?-го периода:

затраты в момент (? — 1): Af = [arsf]; выпуски в момент t: Bf = [&rsJ. ^

Уровень 5-го производства в ?-м интервале задается коэффициентом Х8І. Составим вектор Xt = {Xst} п-й размерности (5 = 1,2, . . ., п). Задачу динамического линейного программирования можно сформулировать следующим образом: выбрать такой характер изменения Xt во времени, при котором максимизируется (или минимизируется) линейная целевая функция

z= 2 с'Др t

где вектор сt = {cst} п-й размерности (5 = 1, 2, .. ., п) является заданным. Кроме ограничения Xt>0, в этой задаче будут и другие ограничения. Последние представляют собой развитие соответствующих соотношений для стационарного состояния, подобных Ah = x. Очевидная система соотношений для каждого товара в отдельности, аналогичных (1), связывает затраты ?-го периода с выпуском (t — 1)-го периода, причем затраты и выпуск фиксируются в один и тот же момент времени (? — 1). Для г-го товара имеем:

п

затраты ?-го периода = 2 arst^st^

8=1

П

выпуск (t — 1)-ГО периода = 2 &rS,(f-l)4,(f-l)-

S=1

Следовательно, чистые затраты г-го товара к моменту начала ?-го интервала составляют

г = 1, 2, .. ., т\ ?=1,2, ..., Т) '

п п

2 arsAsf — 2 brs,(t-lfis,U~l) S= 1 S=1

TO ЄСТЬ

Ограничения определенным образом лимитируют этот вектор чистых затрат. Так, если максимальные чистые затраты (поступление извне системы), допустимые в течение каждого интервала, обозначить через xt = {xrt} (г = 1, 2, ..., т), то прямая и двойственная задачи линейного программирования динамического типа представятся в следующем виде:

Максимизировать z — 2 v't^t Минимизировать С = 2 Р* ]

t t І

при условии At%t — B<_1hf_1ct \ №

и и P*>0. j

Это —задача программирования во времени t = 1, 2, ..., Г.

Такую задачу можно составить для распределения во времени инвестиций оборотного капитала, то есть стоимости затрат в течение какого-либо периода за вычетом стоимости выпуска за предыдущий период.

Подобные задачи линейного программирования, а также задачи более общего вида, в которых допускаются непрерывные изменения, обобщены Данцигом [5]. Некоторый интерес представляют и применяемые в них вычислительные методы, потому что ограничения (2), взятые для различных t, приводят к очень большим матрицам, составленным, исходя из (1), для ? = 1, 2, ..., Т. Если в качестве начального условия приравнять BU1 нулю при ? = 1, то ограничения для kt в (2) выразятся в следующем виде:

— A2h2 ^ — B2h2 -j- A3h3 <С х3,

где все матрицы А и В размерности т X п. Если к представляет все множество к во времени, а х — все множество х во времени, то для большой разложимой матрицы (см. 12.9) вида

- Аг j 0 j О -ВХ| j а2 і 0 і 0 і — Ва j А3 j 32 р. А л лен ограничения выражаются так:

АХ<х.

Вычисления упрощаются благодаря тому, что ненулевые элементы сосредоточены вокруг главной диагонали. Обычно блоки ненулевых элементов переплетаются между собой по строкам и по столбцам, так что один и тот же товар появляется в различные периоды, а в одной производственной отрасли затрачиваются товары, выпущенные в разные периоды. По сути дела если такого переплетения не имелось бы, то задача динамического линейного программирования распадалась бы на ряд независимых задач для последовательных периодов.

Все это предусмотрено в модели экономического роста, разработанной Нейманом [16]. Эту модель нельзя назвать «применением» линейного программирования, так как она возникла (в 1937 г.) гораздо раньше, чем последнее. Однако Нейман первым использовал линейную модель производства с линейными неравенствами и подчеркнул важность двойственной задачи. Кемени, Моргенштерн и Томпсон [9] недавно обобщили эту модель, включив в нее, например, в качестве частного случая динамическую модель Леонтьева.

Примем, что в задаче (2) х( = 0 и ct = 0; тогда условия максимизации (или минимизации) исчезают и заменяются — для растущего хозяйства — целевой функцией минимаксного типа. Предположим далее, что технология (матрицы At и Bt) не изменяется во времени, так что задача линейного программирования (2) преобразуется в следующую:

(I) Abt-BVi<0, ht>09 і (И) А'р,-В'рг_1>0, Ре >о.;

При истолковании задачи (3) применительно к народному хозяйству делаются следующие широкие и общие допущения: во-первых, народное хозяйство представляет собой замкнутую систему, где затраты пропорциональны выпуску; во-вторых, система располагает неограниченными первичными ресурсами (земля, неквалифицированный труд). Это влечет за собой ряд выводов. Например, трудовые услуги представят выпуск такой отрасли, затраты которой — потребление (в фиксированных пропорциях) товаров, нужных для поддержания существования (а если необходимо, и для обучения) рабочих. Далее, пропорциональность затрат выпуску и неограниченность ресурсов с технологической точки зрения означают (см. 16.6 и 16.7), что масштаб производства и уровень цен не поддаются определению. Отыскиваются лишь соотношения между элементами и р(.

Условия (I) задачи (3) гласят тогда, что затраты t-то периода не могут превышать выпуска предыдущего периода; это — технологические условия. Добавляем еще одно весьма знакомое нам условие: если неравенство (I) задачи (3) является строгим, то товар является свободным благом, и его оценка равна нулю. Условия (II) задачи (3) выражены в оценках (расчетных); и они устанавливают, что чистая прибыль каждого производства всегда неположительна. Добавляем знакомое уже нам условие: если прибыль для производственной отрасли s отрицательна, так что в условии (И) задачи (3) следует применить знак неравенства «>», а не знак равенства «=», то s-я отрасль не эксплуатируется, и = 0.

Введем теперь требования для расширяющегося хозяйства с постоянным темпом роста. Пусть а — постоянный коэффициент роста, где а = 1 + (г/100), a г есть постоянный прирост в процентах за каждый период (г%).

Тогда : а. Двойственной характеристикой в системе оценок будет процент

ная ставка на капитал. Пусть р — постоянный коэффициент роста капитала по формуле сложных процентов [Р = 1 + (Q/100)] И процентная ставка на капитал за один период равна Q. Тогда pt : рг_і= Р, так как проценты взимаются за время между началом и концом каждого периода.

Запишем задачу линейного программирования (3) в расширенной форме:

а) Технологические условия ah>0,

причем знак « < » для любого товара означает, что соответствующая оценка равна нулю.

б) Ценностные условия (ЗА'р> В'р, р>0, причем знак « > » для какого-либо производства означает, что его уровень равен нулю. В этих задачах уровни производственных отраслей И и оценок р задаются только в виде отношений. Исключим возможность тривиального случая И = р = 0; тогда неравенства П>0 и р>0 должны пониматься в смысле «все элементы неотрицательны, причем некоторые из них положительны». Условия можно записать в развернутом виде следующим образом: (I) Технологические условия

п п

а 2 arsh = 2 KsK> Рг>° ДЛЯ некоторых Г,

8=1

S= 1 a J1 arsHs<2 ^rs^s» Pr = 0 для остальных г.

(4)

8=1 S=1

(II) Условия оценок

т т

Р 2 ars/?r==2 Brspr, Hs>0 для некоторых SY

Т— 1

г= 1 т Р 2 arsPr> 2 brsprt Hs = 0 для остальных s.

Г= 1 " Г=1

Пусть Пир суть векторы любых уровней производства и оценок,, не обязательно являющиеся решением задачи (4). Обозначим через ф соотношение билинейных форм m п _

2 2 brsKPr

ф(П, р):

г= 1 s=l

гп п _

2 2 ars^sPr

V— 1 S=1 Теперь векторы Пир мы используем только для решения задачи программирования (4), а функцию ф —для выбора решений Пир.

Рассмотрим технологические условия (I) задачи (4). Они устанавливают, что: 2

S=1

n

5= і

для некоторых r(pr>0) п

/j brsK s=l п

2 ars^s

s=l

<Х<

для остальных r(pr = 0), то есть что 2

S=1

а — Мін

n

ars^s

S=1 32*

499 n

2 brsxs

Обозначим = a + ar, где ar = 0 при pr > 0, ar > 0 при pr = 0.

2

Тогда

n m

2 MS 2 />r(a+ar)(2 «гл) 2 2 ararsXspr

цП p) = J^l ^ = = g-4- r=1 5=1

Г/ m ^ n m _ n ~mn

2 л (2 «гд.) 2 pr (2 2 2 arsKpr

T—\ S=1 r= і S— 1 Г—1 S=1

Второе слагаемое здесь неотрицательно; оно обращается в нуль при рг = рг, так как либо ar = 0 (рг > 0), либо рг = 0.

Следовательно, p)J>cp(h, p) = a, и функция ф(^, р) имеет минимальное значение (а) при р = р.

Аналогичным образом можно проанализировать условия (II), из которых следует, что:

Р)<ф(Ь, Р) = Р>

то есть функция ф(>о, р) имеет максимальное значение ф) при к = к.

Таким образом, решение (к, р) задачи (4) следует искать в седловой точке:

Ф (к, р) = a = р

функции ф(^, р) для любых неотрицательных к и р.

Решение этой задачи сводится к решению задачи теории игр. Нейман показал [16], что может быть несколько решений для отношений между элементами векторов к и р, но что все решения дают единственную пару равных значений а и р. Он предположил, что все элементы матрицы А + В положительны, то есть что каждый товар появляется (в виде затрат или в виде выпуска) в каждом производстве. Такое допущение налагает серьезные ограничения. Его несколько ослабили Кемени, Моргенштерн и Томпсон [9], допустив существование более одной пары одинаковых значений аир.

Отсюда следует также, что а есть максимально возможный с технологической точки зрения коэффициент роста, который определяется по тому товару, для которого коэффициент роста минимален. Ведь если а есть некоторый другой возможный коэффициент роста, которому соответствует любой другой вектор к, то:

а АХ<В к.

Почленно умножим это соотношение на соответствующие элементы вектора р и сложим полученные произведения:

т п т п

«22 «ГАРГ<2 2 Kshpr>

г—1 s=l r=l S=1

то есть

а<ф(?ц р)<ф(Х, р) = а.

Аналогично этому р есть соответствующий минимальной процентной ставке коэффициент возрастания капитала, возможный при системе оценок, приносящих отрицательную или нулевую прибыль в каждом из производств. Короче говоря, хотя для этой замкнутой системы равновесия развивающегося хозяйства и не установлены условия минимизации или максимизации, но получаемое решение соответствует мииимаксу в теории игр, где a — максимально возможный коэффициент роста, а Р — коэффициент, соответствующий минимально возможной процентной ставке.

Условия и свойства решения можно теперь суммировать в следующей последовательности (см. замечания Чемперноуна [3]). I.

Свободные товары, согласно технологическим условиям задачи, затраты любого товара не могут превысить выпуск этого товара в предыдущем периоде; однако если затраты последующего периода меньше, чем выпуск предыдущего периода, то товар является свободным благом, и его оценка равна нулю. II.

Неприменяемые (убыточные) производственные отрасли: согласно условиям, налагаемым на оценки (расчетные), ни одно из производств не может иметь положительной прибыли; однако если производство дает отрицательную прибыль, то оно не применяется. III.

Коэффициент роста системы во времени является максимально возможным с технологической точки зрения; он устанавливается по тому товару, темп роста производства которого является минимальным во всей данной системе. IV.

Процентная ставка для системы является минимально возможной при оценках, дающих неположительную прибыль для любого производства; зндчит эта ставка устанавливается по самым прибыльным отраслям системы. V.

Свойство равновесия заключается в том, что темп роста (максимальный) равен процентной ставке (минимальной); эта пара значений определяется единственным образом.

Здесь рассмотрена основная проблема длительного хозяйственного равновесия в условиях монотонного роста во времени. Мы анализировали замкнутую систему, где затраты пропорциональны выпуску и ресурсы первичных факторов неограниченны. Поэтому такой анализ можно считать не более как основой, на которой будет строиться анализ более «реальных» задач, например учитывающих предпочтение, оказываемое потребителем отдельным товарам, или возможность замены товаров, или задач, возникающих, в частности, при переходе к проблемам динамики отклонений от длительного состояния равновесия или изменений в рамках последнего.

Вместе с тем в настоящем анализе весьма рельефно отображены некоторые важнейшие особенности экономического равновесия, как-то: функция расчетных оценок и выбор производственной отрасли, в зависимости от того, является ли прибыль нулевой или отрицательной (см. [7], в частности, стр. 386—388). Если рассматриваемая модель представляется в виде задачи линейного программирования, то технологической задаче эффективного распределения ресурсов соответствует двойственная задача оценок и прибыли. Фон Нейман был первым исследователем в этой области (см. [12]). Оценки выполняют лишь расчетную функцию; они могут превратиться в рыночные цены при соответствующих условиях конкуренции или же могут быть использованы «плановиками» в централизованной или децентрализованной системе, направленной ко «всеобщему благосостоянию». Можно лишь сказать, что, какова бы ни была система, если таких расчетных оценок не существовало бы, то их следовало бы изобрести.

<< | >>
Источник: Р. Аллен. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЭКОНОМИЯ. 1963

Еще по теме 16.9. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ; МОДЕЛЬ РОСТА НЕЙМАНА:

  1. 1.9. ЗАПАЗДЫВАНИЯ В ДИНАМИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ
  2. 2.4. ДИНАМИЧЕСКАЯ ДЕНЕЖНАЯ МОДЕЛЬ
  3. 3.6. ТЕОРИЯ РОСТА ХАРРОДА — ДОМАРА В ДИСКРЕТНОЙ ФОРМЕ
  4. 5.6. ЭКОНОМИЧЕСКИЕ ИЛЛЮСТРАЦИИ
  5. 6.1. ПРОСТАЯ МОДЕЛЬ МУЛЬТИПЛИКАТОРА-АКСЕЛЕРАТОРА С КОНЦЕНТРИРОВАННЫМИ КАПИТАЛОВЛОЖЕНИЯМИ
  6. 16.9. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ; МОДЕЛЬ РОСТА НЕЙМАНА
  7. ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
  8. О НЕГАТИВНЫХ ЯВЛЕНИЯХ В МЕЖДУНАРОДНОЙ ТОРГОВЛЕ И МЕЖДУНАРОДНОМ РАЗДЕЛЕНИИ ТРУДА
  9. А. Краткое содержание темы
  10. 1.1. Введение
  11. 1.2 Основные понятия и предпосылки появления баз данных
  12. 1. Система экономико-математических моделей, используемых в прогнозировании синтетических показателей экономического и социального развития Грузинской ССР
  13. 8.2. Динамическая математическая модель процесса
  14. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
  15. §3.8. Что же мы узнали о прошлом, и есть ли у истории «законы»?
  16. Глава 5 ПРОЦЕСС ВЫДЕЛЕНИЯ ТЕХНИЧЕСКОЙ СФЕРЫ. СТУПЕНИ РАЦИОНАЛЬНОГО ОБОБЩЕНИЯВ ТЕХНИКЕ
  17. Методы оценки интенсивности техногенных нагрузок на окружающую среду