<<
>>

17.1. ПРЕДЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ: ВЗАИМОЗАМЕНЯЕМОСТЬ ФАКТОРОВ В ПРОИЗВОДСТВЕ

Теперь мы располагаем математическим инструментарием для детального анализа процесса производства в рамках фирмы. Понятие «фирма» весьма простое, дело лишь в том, каким образом его определяют; в какой бы отрасли производства мы ни рассматривали фирму, она представляет собой некоторую организационную единицу, в рамках которой принимаются эффективные решения.

На практике «фирмой» может быть предприятие, завод, компания. Вместе с тем «фирмой» можно считать и некоторую группу предприятий или компаний, объединенную с целью эффективного управления, то есть организацию типа «Юнилевер» или национализированной отрасли промышленности. Однако, каковы бы ни были организационные формы, в настоящей главе мы предполагаем, что существует некоторая единица, принимающая решения относительно отдельного производства и рассматриваемого (короткого или длительного) периода времени, и что эту единицу мы условились называть фирмой.

Анализ деятельности фирмы следует противопоставить анализу производственной системы в целом, ибо это анализ «микроэкономического» типа. Можно попытаться анализировать деятельность некоторого сектора хозяйства, не охватывающего собой народное хозяйство в целом, но более крупного, чем одна фирма. Это вряд ли уместно; не существует самоочевидной промежуточной градации между фирмой и народным хозяйством в целом. Чтобы получить приближенное решение, фирмы обычно группируют (на статистической основе) в «отрасли промышленности». Но даже тогда вовсе не очевиден ответ на вопрос, «сколько фирм составляет отрасль промышленности?». Этот вопрос может не иметь значения (и даже смысла), если во всех фирмах ^организация и технология производства одинаковы, то есть если каждая фирма — это отрасль промышленности в уменьшенном масштабе. В то же время вопрос может быть поставлен таким образом, что на него будет чрезвычайно трудно ответить, для этого придется изучать ожидаемые результаты и условия доступа.

Как указывалось в разделе 9.8, теорию фирмы можно развивать либо с помощью предельных категорий, вытекающих из «классического» или традиционного подхода, либо в крупном плане с помощью линейного программирования и анализа производственной отрасли. Эти подходы являются скорее взаимодополняющими, а не взаимоконкурирующими; в зависимости от постановки задачи можно пользоваться любым из них. В настоящей главе используются оба метода. Однако, во всяком случае, анализ проводится применительно к короткому (или умеренно длительному) периоду времени, ибо организационная структура фирмы считается в известной степени стабильной, а принимаемые решения относятся к более или менее ограниченному отрезку времени.

При традиционном предельном анализе внимание в основном уделяется вопросам взаимозамены между собой факторов, или продуктов, или взаимозамены факторов и продуктов. Чтобы выделить проблему взаимозаменяемости факторов, рассмотрим сначала задачу, где фигурирует фирма с одним продуктом и несколькими факторами. Для иллюстрации большинства возникающих вопросов достаточно наличия двух факторов. Производственная

функция при этом такова:

У = /(«ц

где у есть продукт, а хг и я2 — используемые факторы. В графической форме эту функцию можно представить в виде семейства кривых постоянных объемов продукции (см.

9.7). Пусть частными производными в любой точке (х1ч х2) являются выражения fr = dyjdxr и fr$ = d2y/dxrdx8 (г, 5 = 1, 2). Построим симметрическую матрицу

О/1/2 F= /1/11/12 - /2 /12 /22.

Обозначим через величину определителя этой матрицы, а через Fr и Fn алгебраические дополнения соответственно элементов /г и /Г8.

Предположим, что в условиях чистой конкуренции фирма покупает факторы производства на соответствующем рынке по заданным ценам рх и р2 и продает продукт по заданной рыночной цене я. Тогда задача состоит в том, чтобы найти такую комбинацию (хг и х2) используемых факторов и такой объем производства (у), при которых максимизируется чистый доход:

R = л у — (рххх + р2х2), где у = / (хг, х2). Необходимым условием максимума будет dR/dxx = dRjdx^ = 0, откуда

л/і —Pi = ^/2-^2 последовательно, расходуемые количества факторов (хх и х2) получаются как функции цен (рг, р2 и jt) из уравнений

О

а масштаб производства (г/) —на основе функции г/ = /(ж1, х2).

Первая часть уравнения (1) показывает, что для достижения состояния равновесия соотношение между расходуемыми количествами факторов должно быть таким, чтобы предельная норма замены (соотношение предельных продуктов : /2) была равна заданному соотношению цен. Тогда объем производства, то есть уровень затрат хх и я2, а значит, и уровень выпуска y = f(xх2)ч определяется с помощью второй части уравнения (1), записанной в следующем виде:

Pi = nfi, р2 = я/2. (2)

Это значит, что объем производства продолжает увеличиваться до тех пор, пока стоимость каждого из предельных продуктов93 при расчете его по заданной цене не окажется равной цене соответствующего фактора.

Достаточные условия максимизации R, или так называемые условия устойчивости, заключаются в том, что для любого отклонения, при котором d*R = /п dx\ + 2/la dxx dx2 + /22 dx\ < 0,

если

dR = fx dxx + /2 dx2 = 0.

На основании выводов, полученных для квадратичных форм (см. раздел 13.5), это условие выражается следующим образом: 0 Л U /і /її /12 /2 /12 /22

F =

> 0. (3) Состояние равновесия, характеризуемое уравнениями (1) и (2) при условии выполнения неравенства (3), может быть достигнуто за два этапа. Во-первых, пусть наряду с ценами факторов рг и р2 задан и объем выпуска у. Тогда расходуемые количества факторов (х1 и х2) устанавливаются таким образом, чтобы минимизировать издержки производства С =^рххх-\-р^с2 при условии выполнения f{^x2) = y (где у задано). С помощью множителей Лагранжа (см. упражнение 1) хх и х2 представляются в виде функций переменных г/, рх и р2:

= f = k и f(x1,x2) = y. (4)

Тогда издержки производства С также будут функцией переменных г/, рг и р2. И в этом случае на основе уравнения (4) предельная норма замены приравнивается соотношению цен рх: р2. На втором этапе на основе заданной цены продукта я выпуск у определяется так, чтобы максимизировать чистый доход (лу —С). Сравнение уравнений (1) и (4) показывает, что нужно лишь в (4) принять значение множителя К равным я. Тогда условие устойчивости снова будет описываться неравенством (3).

Преимущество анализа, проводимого в два этапа, заключается в том, что можно составить выражение для функции издержек и для соответствующих предельных и средних издержек, а также определить их отклонения при изменении значений у, рг и р2. Мы получаем нужные выражения, поочередно дифференцируя уравнение (4) по рх и р2 (см. упражнения 2 и 3). Во- первых, мы находим, что дС/ду = К = я при оптимальном выпуске. Следовательно, при состоянии равновесия предельные издержки равны цене продукта. Однако нет необходимости, чтобы эта одинаковая величина предельных издержек и цены продукта была также равна и средним издержкам (см. упражнение 4).

Далее, по мере изменения рх (при фиксированных у и р2), спрос на факторы изменяется в соответствии со следующими нормами замены:

дРі ~ К F KF

_ 1 Fхг _ /і/а . п

дрг К F~%F

Это — следствие того, что выполняются условия устойчивости (3). Значит, по мере снижения цены одного фактора его потребление увеличивается, а потребление второго фактора уменьшается. В процессе производства эти два фактора являются взаимозамещающими; факторы могут быть взаимодополняющими лишь в том случае, если их имеется более двух.

На рис. 59 изображен первый этап определения состояния равновесия. Кривая производственной функции для постоянного объема продукции f(xx, х2) = у строится на основе условий задачи. Имеется ряд параллельных прямых ПОСТОЯННЫХ издержек р2х2 = С для различных уровней С),

и требуется найти самую нижнюю из них (где С является минимальным). Если кривая постоянного объема продукции выпукла относительно точки Оу то расход факторов в состоянии равновесия отображается координатами точки Р — точки касания прямой постоянных издержек А1А2 и кривой постоянного объема продукции. Условие касания состоит в том, что предельная норма замены равна соотношению цен. На рис. 59 показан также результат увеличения выпуска у (точка касания перемещается из Р в Q), снижения цены фактора (точка касания перемещается из Р в R) и обоих изменений сразу (точка касания перемещается из Р в 5). Соответствующие изменения спроса на каждый из факторов (хг и #2) определяются непосредственно по чертежу.

Представляет интерес частный случай пропорциональности затрат выпуску. Производственная функция в этом случае описывается линейной однородной формой, так что, согласно теореме Эйлера1, как она приведена в [1], соотношение

У — fixi + /2^2

удовлетворяется для любой точки. Следовательно, на основе (2) в точке равновесия:

л у = р1х1 + р2х2,

и стоимость продукта в точности равна стоимости затрат обоих факторов. Значит, максимизированная величина чистого дохода R равна нулю. При любом другом расходе факторов, не отвечающем их отношению в точке равновесия, получается отрицательная прибыль. Такой результат, а именно

«совмещение» предельных продуктов и нулевой прибыли, всегда имеет место в состоянии равновесия, если затраты пропорциональны выпуску. При других формах производственной функции этот результат сохраняет силу только для некоторых особых точек равновесия.

Однако при более глубоком рассмотрении оказывается, что случай пропорциональности затрат выпуску вряд ли применим к теории фирмы. На первом этапе анализа мы обнаруживаем, что (см. упражнение 5) функция издержек обладает следующим свойством:

дС С *

—- = = А,

дУ У

то есть предельные издержки и средние издержки равны между собой и постоянны при различных значениях выпуска. Когда же на втором этапе анализа мы вводим цену продукта л (равную Я), то оказывается возможным только один вариант — величина л должна быть задана равной общему и постоянному значению средних и предельных издержек. Если заданное значение л отвечает этому условию, то любое значение выпуска у удовлетворит задаче, то есть объем производства фирмы (при пропорциональности затрат выпуску) оказывается неопределенным.

Задачи и упражнения

1. Если выражение С = р1х1-\-р2х2 минимизируется при] условии / (хъ х2) = у (где у задано), то, составив форму Z — C — А, {/0*1» — 2/Ь будем минимизировать Z. Показать, что условия минимизации являются следующими:

Pi—fik=P2 — fzk = 0.

1 Теорема Эйлера гласит, что если f(zi, х%) есть однородная форма п степени, то есть /(XI, X2) = а0хп aixin~1x2 + ... + то имеет место формула

+ X2(dfz/dx2) = nf. Эта формула получается непосредственно путем дифференцирования формы f(xi9 Х2) по xi и затем по а?2.— Прим. ред.

2. Дифференцируя по у уравнения (4), получаем

(1 w )+/l2 ^г+/а2 Ж=0'

Решение этой системы с помощью правила Крамера дает дхг/дуIFи дх2/ду = = F2JF. Использовать первое из уравнений этой системы и условия равновесия и показать, что дС/ду = Х. 3.

Продифференцировав уравнения (4) по ръ получим систему уравнений, аналогичную системе предыдущей задачи. Решить эту систему и показать, что дх1/др1 = = (1/X)(F11/F) И DX2/DPL = (IIX)(F12!F). 4.

Показать, что средние издержки равны п — R/yt где R есть максимизированный чистый доход; доказать, что средние издержки равны предельным только в том случае, если максимизированный чистый доход равен нулю. 5.

Если производственная функция есть линейная однородная форма, показать, что при состоянии равновесия должно быть

1

y=fl*l + f2X2 = YC*

Доказать, что предельные издержки равны средним при любом значении выпуска г/, а значит, что каждая из этих величин постоянна и не зависит от изменения у.

<< | >>
Источник: Р. Аллен. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЭКОНОМИЯ. 1963

Еще по теме 17.1. ПРЕДЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ: ВЗАИМОЗАМЕНЯЕМОСТЬ ФАКТОРОВ В ПРОИЗВОДСТВЕ:

  1. 17.3. ПРЕДЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ И ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ФИРМЫ
  2. Лекция 31. Факторы производства
  3. ЧАСТЬ IV. РЫНКИ ФАКТОРОВ ПРОИЗВОДСТВА
  4. Тема 15. ЦЕНООБРАЗОВАНИЕ НА ФАКТОРЫ ПРОИЗВОДСТВА
  5. 2.9. РЫНКИ ТОВАРОВ И ФАКТОРОВ ПРОИЗВОДСТВА
  6. Тема 4. ПРОИЗВОДСТВО: СУЩНОСТЬ, ФАКТОРЫ, РЕЗУЛЬТАТЫ, ЭФФЕКТИВНОСТЬ
  7. Совокупная производительность факторов производства
  8. 3.1. Анализ объема производства и реализации продукции
  9. § 11.3.1. Выбор приоритетных направлений обновления и повышения отдачи факторов производства*
  10. § 1. Анализ ритмичности производства буровых работ на воду
  11. Тема 10 АНАЛИЗ КАЧЕСТВА ОРГАНИЗАЦИИ ТРУДА НА ПРОИЗВОДСТВЕ
  12. § 12.2. КОНКУРЕНТОСПОСОБНОСТЬ И ИННОВАЦИОННАЯ АКТИВНОСТЬ § 12.2.1. Взаимозаменяемость количества и качества продукции в удовлетворении потребностей
  13. Тема 1 МЕСТО И РОЛЬ ОРГАНИЗАЦИИ ТРУДА В СИСТЕМЕ ФАКТОРОВ РАЗВИТИЯ ПРОИЗВОДСТВА
  14. Глава I Анализ технологий производства зерновых культур и использование незерновой части урожая