<<
>>

17.2. КОМБИНИРОВАННОЕ ПРОИЗВОДСТВО

До сих пор мы предполагали при анализе, что фирма производит только один вид продукта; комбинированное производство было исключено для того, чтобы можно было сконцентрировать внимание на взаимозамене факторов производства.
Рассмотрим теперь общий случай, когда фирма производит любое число видов продукции и потребляет любое число видов факторов. Здесь возможны всякие варианты взаимозамены факторов и продуктов. Как и ранее, мы предполагаем, что технологические условия отображаются одной непрерывной производственной функцией, имеющей непрерывные производные. Один из способов выражения производственной функции есть (как в разделе 9.7) уравнение

/ х21 .»., xf1 yv у2, ... уа) = О,

где г видов факторов (х) затрачивается на производство s видов продукции (у). В простом случае, рассмотренном в разделе 17.1, г = 2, s = 1. Но даже такой случай нельзя считать общим, так как он не учитывает той возможности, что один и тот же товар может затрачиваться в одних производственных комбинациях и выпускаться — в других. Так или иначе, желательно ввести единую систему обозначений товаров, при которой затраты рассматриваются как отрицательный выпуск. Запишем производственную функцию в виде

f х2, . • •, Хп) = О,

где выпуск каждого из п товаров равен хг (г = 1, 2, .. ., п). Если #г>0, то товар выпускается; если хг < 0, то это есть фактор производства или затраты. Обозначим частные производные через fr = df/dxr и frs=d2f/dxrdxs и построим симметрическую матрицу Го Л U •• fn ' fxfn fn • • fin /2 /12 /22 • • fin _ fn fin /21г • • fnn - Величина определителя этой матрицы есть F, a Fr и Frs суть алгебраические дополнения элементов /г и frs этого определителя.

Изложим теперь анализ Хикса [7].

Пусть в условиях чистой конкуренции цены товаров (разных видов продукции и факторов производства) задаются фирме извне и равны pr (r= 1, 2, ..., /г).

Фирма выбирает комбинацию затрат и выпуска различных товаров, максимизирующую прибыль:

R = 2 Ргхг

г

при условии f(xt,x2, ..., хп) = 0.

Отметим, что в форме R имеются как положительные члены (соответствующие продуктам), так и отрицательные (соответствующие факторам), то есть R — разность между выручкой и издержками. Состояние равновесия лучше всего определить, если использовать множитель Лагранжа X и максимизировать выражение

z = R — Xf

для п переменных хг (г = 1, 2, ..., п). Необходимые условия равновесия будут dz/dxr = 0, откуда

рг = П/г (г= 1,2, ..., п)%

f (ж1? х2, . .. > хп) = 0.

В этой системе имеется п -j-1 уравнений относительно /i-f-І переменных (хт и X).

Достаточные условия максимизации в отличие от минимизации чистого дохода R заключаются в том, что должно быть d2z < 0 при любом отклонении, удовлетворяющем уравнению производственной функции. Поскольку d'2z =- — Xd2f, то такие условия отображаются неравенством

о.

Г S

если

d/=S/rdrr = 0.

г

Этим условиям должны удовлетворять любые отклонения от состояния равновесия. Принятые здесь условия устойчивости должны гарантировать возможность существования некоторого состояния равновесия (максимального) при любой системе цен:

2 2/rsUs>0 ПРИ УСЛОВИИ 2 frlr = о,

Г S г

где не все ? равны нулю (они отображают отклонения от точки равновесия в .разных направлениях). Здесь применимы выводы, сделанные (в разделе 13.5) относительно определенных положительных квадратичных форм; значит, условиями устойчивости является отрицательность определителя F и всех его главных миноров F. Другой способ записи этих условий, который обычно более удобен, приведен в конце раздела 13.5 и связан с использованием обратной матрицы F"1:

Г S

Здесь не все у равны нулю; Frs — алгебраическое дополнение элемента frs в определителе F.

Состояние равновесия для фирмы описывается системой (1) при выполнении условий устойчивости (2). Значения переменных хт определяются как функции всех цен рг (как функции спроса для факторов производства и функции предложения для продуктов).

Можно изучить влияние заданного изменения цен, продифференцировав уравнения (1) по каждой из изменяющихся цен и учитывая условие (2). Это —задача из области сравнительной статики. Предположим, что изменяется только одна из цен (например, j^). Продифференцируем уравнения (1) по рх и расположим уравнения в следующем порядке:

2 (3)

j. +2,ц

х dPl J { jLJ 'Is dPl X '

s

+ = 0 с-2, З,...,»). Уравнения (3) представляют собой линейную систему относительно переменных (1 /Х)(дХ/др1) и dxjdpx (s= 1, 2, .. ., п), и решить ее можно с помощью правила Крамера. Значение первой переменной не требуется, а значения остальных переменных определяются из dxJdpL = (1Д) (Fls/F). Обобщим этот результат на случай изменения любой из цен (рг):

Fr. 2, ..., п). (4)

дрг XF

Это уравнение показывает влияние изменения одной из цен на спрос и предложение каждого из товаров.

Остается использовать условия равновесия для определения или ограничения знаков выражений (4). Представим теперь уравнения (2) в виде

2 2-?*У.>0. (5)

Г S

где не все у равны нулю. Это можно сделать, потому что, в соответствии с (1), X есть величина положительная. В частности, если нулевыми являются все г/, кроме г/г, то

|J>0 (г=1,2, ...,»). (6)

Еще одно уравнение можно составить с помощью определителя F и условий равновесия (1), не используя условий устойчивости. Если элементы первой строки определителя F умножить на алгебраические дополнения элементов (г+1)-й строки и эти попарные произведения сложить, то в соответствии с правилом разложения определителя такая сумма равна нулю. Значит, на основании (1) и (4)

о =

S S S

S A-fr-О С-1.2, ?••?")

Отсюда следует, что

^ П дрг

S

или

2'а-?-Й(-?)<0, (7,

S

где 2' есть знак суммирования для всех вфг.

S

Истолкуем теперь полученные результаты. Во-первых, условия равновесия (1) показывают, что для любых двух товаров (например, г=1, 2)

dx2 __ /і _ Pi dx I f 2 P2 '

где &хА и dx2 суть отклонения затрат этих двух товаров (от состояния равновесия), соответствующие технологическим возможностям производственной функции. Соотношение цен двух продуктов (хх >0, х2 > 0) в состоянии равновесия равно предельной норме замены этих продуктов в процессе производства (при неизменных затратах факторов).

Соотношение цен двух факторов (хх <0, х2 < 0), как и прежде, равно предельной норме их замены (при неизменном выпуске продуктов). Соотношение цен фактора хх < 0 и продукта х2 > 0 равно соотношению между dx2, или изменением выпуска продукта, и d( — x1), или дополнительным расходом фактора; иными словами, в состоянии равновесия отношение цен соответствует предельному продукту единицы потребляемого фактора.

Во-вторых, неравенство (6) определяет непосредственное влияние изменения цены какого-либо товара на спрос или предложение этого же товара. Для продукта хг > 0 мы получаем дхг/дрг > 0, то есть при повышении цены предложение увеличивается. Для фактора хг < 0 получаем д( — хг)/дрг < 0, то есть при повышении цены спрос сокращается.

Наконец, «перекрестное» (взаимное) влияние отклонений цен определяется уравнением (4) при условии выполнения неравенств (5) и (7). Здесь выявляется влияние изменения цены одного из товаров на спрос или предложение других товаров. Так как F —матрица симметрическая и, таким образом, Frs = Fsr, то «перекрестные» влияния также симметричны, то есть dxjdpr = dxr/dps. Тогда неравенство (7) показывает, применительно к dxjdpr(s Ф г), что изменение цены одного товара рт влияет на спрос и предложение других товаров таким образом, что отрицательные величины превышают положительные. Значит, если рг возрастает, то в отношении других товаров94 либо уменьшается предложение (если товар —продукт), либо увеличивается потребление (если товар —фактор). Как показал Хикс, можно считать, что в общем случае продукты и факторы производства в основном оказывают взаимозаменяющее влияние: при повышении цены фактора уменьшается предложение продуктов, а при повышении цены продукта увеличивается потребление факторов. Этому можно противопоставить то обстоятельство, что в пределах группы продуктов и в пределах группы факторов более существенную роль играет взаимодополняемость: при росте цены продукта увеличивается предложение продуктов группы, при росте цены фактора сокращается потребление группы факторов.

В частном случае пропорциональности затрат выпуску объемы затрат и выпуска всех видов товаров могут быть увеличены л одно и то же число раз, так что если f(xx, х2, ..., хп) = 0, то f(\ixl9 ..., р?п) = 0 при любом \х > 0.

Функция /—однородная (нулевой степени), и, в соответствии с теоремой Эйлера,

2/гЯг = °- (8)

Следовательно, на основании (1) можно утверждать, что в состоянии равновесия

R = 2 Ргхг = 0.

г

Стоимость продуктов в точности равна стоимости факторов и распределяется между ними в соответствии с их предельной производительностью; максимизированный чистый доход равен нулю.

Вместе с тем уравнение (8) сохраняет силу для всех точек.

Его можно продифференцировать:

« (2/г*г) = о,

dxs г

ТО есть 2*r/« = -fs {s= 1, 2, ...,#l). (9)

Для интерпретации этого уравнения можно воспользоваться определителем F. Если каждую из строк этого определителя (начиная со второй) умножить соответственно на хг, х2, ... , хп и почленно прибавить к элементам первой строки (0, /2, ... і /п), то, согласно (8) и (9), мы получим строку нулевых элементов. Значит, F = 0. Это очень важно: ведь условия устойчивости требуют, чтобы F Ф 0. При JF = 0 эти условия не удовлетворяются, и мы не сумеем определить на основании уравнения (4) влияния изменений цен. Цены должны принимать некоторые заданные значения, и ни одну из них нельзя изменить, не нарушив состояние равновесия. Это аналогично результату, полученному в конце раздела 17.1 для простого случая одного продукта. Если деятельность фирмы рассматривается применительно к небольшому периоду времени, то в течение этого периода какой-то элемент деятельности можно считать фиксированным, и не будет соблюдаться пропорциональность затрат выпуску. Можно определить и изменять положение равновесия (при выполнении условий устойчивости); будет существовать излишек (максимум) чистого дохода, являющийся доходом именно от фиксированных факторов. Если же деятельность фирмы рассматривается применительно к длительному периоду времени, то в том случае, когда все элементы изменяются и затраты пропорциональны выпуску, подобный анализ терпит неудачу или становится непригодным.

Задачи и упражнения 1.

Производственная функция / (xlt х2, а?п)=0 не является единственной; технология фирмы столь же хорошо описывается любой функцией от /, то есть ф{/(#і> х2> -••» ^пН^О» если только ф(/) = 0 при / = 0. Показать, что, если / заменить на ф(/), это не отразится ни на уравнениях равновесия (1), ни на условиях устойчивости (2). 2.

Показать, что в частном случае условий устойчивости (5)

т т

2 при т<п?

г— 1 s= 1

Воспользоваться уравнением ^ Ps-^- = 0, как в (7), и показать, что

s=l т п

2 2 ргр^<о.

т= 1 s=m-!-l

Если товары с индексом r= 1, 2, ..., ш суть факторы, а с индексом s = m + 2, ..., п — продукты, истолковать это соотношение в широком его понимании как условие увеличения предложения для группы продуктов при снижении цен для группы факторов. 3.

Фирма производит один вид продукта (г/), затрачивая при этом п различных факторов (хъ х2, ...» хп); производственная функция описывается уравнением / (хъ х2, ..., хп, у) — 0, где все переменные положительны. Пусть заданы цены факторов и выпуск продукта у (но не цена этого продукта). Найти необходимые условия равновесия (при минимальных издержках), истолковать их и сравнить с (1). 4.

В предыдущей задаче продифференцировать уравнения равновесия по одной цене, приняв остальные цены и объем выпуска (у) фиксированными. Составить выражение для дх8/дрг, то есть изменение спроса на 5-й фактор при увеличении цены г-го фактора. Найти условия устойчивости и показать, что они обеспечивают выполнение неравенства дхг/дрг < 0, но не решают вопросов, будет ли верным дх8/дрг > 0 (взаимозаменяемость факторов) или дх8/дрг<^ 0 (взаимодополняемость факторов). Сравнить с примером, рассмотренным в разделе 17.1.

<< | >>
Источник: Р. Аллен. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЭКОНОМИЯ. 1963

Еще по теме 17.2. КОМБИНИРОВАННОЕ ПРОИЗВОДСТВО:

  1. 11.2.6. География черной металлургии
  2. § 3.2.4. МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ ОСНОВ ХИМИЧЕСКИХ ПРОИЗВОДСТВ И ВОПРОСОВ ХИМИЗАЦИИ СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА В КУРСЕ ХИМИИ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ
  3. ГЛАВА VI. Экономические корни империализма.
  4. 9.2. РАВНОВЕСИЕ ПРИ НЕИЗМЕННЫХ КОЭФФИЦИЕНТАХ ПРОИЗВОДСТВА
  5. 9.7. ПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ
  6. 9.8. ПРОИЗВОДСТВЕННАЯ ФУНКЦИЯ КАК МАТРИЦА
  7. 17.2. КОМБИНИРОВАННОЕ ПРОИЗВОДСТВО
  8. Некоторые методологические проблемы исчисления показателей изменения капиталоемкости (фондоемкости) и материалоемкости производства в капиталистических странах 190
  9. 1. Начало революции. Ее причины, характер и особенности. Нарастание революции весной и летом 1905 года.
  10. 5.3. Создание негаваттных рынков — и дальше
  11. Глава 18 РОЛЬ НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКОГО ПРОГРЕССАВ ИЗМЕНЕНИЯХ ОТРАСЛЕВОЙ И ПРОСТРАНСТВЕННОЙСТРУКТУР МИРОВОГО ХОЗЯЙСТВА
  12. Электроэнергетика
  13. Черная металлургия
  14. КОМПЛЕКС ОТРАСЛЕЙ ЛЕГКОЙ ПРОМЫШЛЕННОСТИ
  15. СТРУКТУРА И ТЕРРИТОРИАЛЬНАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ ХОЗЯЙСТВА
  16. 4.4. Охрана литосферы
  17. Лекция 38. Факторы размещения производительных сил (продолжение)
  18. Принципы и показатели организации отраслевой экономики
  19. Сфера услуг