<<
>>

17.5. ДВЕ ИЛЛЮСТРАТИВНЫЕ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Первая намеченная к рассмотрению задача из области деятельности фирмы по существу принадлежит Дорфману [4]. Кроме технологической характеристики фирмы, представленной матрицей А, в задаче ставятся следующие условия: во-первых, фирма располагает т фиксированными факторами в заданных количествах; во-вторых, продукты (а также все остальные затрачиваемые факторы) могут покупаться и продаваться по заданным рыночным ценам.
Принимая решения, фирма не учитывает фиксированные факторы при сопоставлении выручки и издержек; принимается, что эти факторы представляются в распоряжение по тем ценам, какие могут быть получены при вышеуказанных условиях.

Факторы и продукты фигурируют в п процессах, характеризуемых столбцами матрицы А, которые считаются взаимонезависимыми, причем неэффективные процессы исключены. В настоящей задаче можно еще более упростить матрицу А. В этой матрице установлены затраты т фиксированных факторов при единичном уровне каждого процесса (каким бы образом ни выбирался этот уровень), а также соответствующие объемы выпуска и затрат переменных факторов. Эти объемы можно подсчитать по заданным ценам и суммировать для того, чтобы получить чистый доход для рассматриваемого процесса при единичном его уровне. Пусть вектор г = {rs} характеризует этот чистый доход для п процессов (s = 1,2, ... , п). Технологической матрицей А удобно пользоваться, предварительно переменив знаки элементов (чтобы затратам соответствовали положительные элементы). Матрицу можно ограничить т строками фиксированных факторов с добавлением строки чистых доходов

Г А ~ . « ? ,

г' .

Здесь А = [ars] есть матрица неотрицательных затрат т фиксированных факторов в п процессах (г = 1, 2, ... , т\ s = 1, 2 , ... , п).

Задача заключается в максимизации общей суммы чистого дохода фирмы при ограничении затрат т фиксированных факторов заданными количествами й при заданных значениях чистого дохода п процессов при единичном их уровне.

Приводимые ниже два примера иллюстрируют постановку задачи и ее решение. Хотя эти примеры относятся к сельскохозяйственным товарам (которыми обычно проще всего пользоваться для изложения), но они в равной мере применимы и к промышленным процессам.

Пример (а).

Два вида продуктов (зерно и свинина) производятся с использованием двух фиксированных факторов (труд и земля) в соответствии со следующей технологической характеристикой: Труд человеко-месяц " 50 25 75 Земля акр 5 50 60 Зерно 100 га 1

~2 -1 -1 Свиньи 100 голов -1 0 1

2 В первом процессе конечным продуктом являются свиньи, зерно используется в качестве промежуточного продукта для откорма свиней. Во втором процессе производится только зерно, в третьем продуктами являются и зерно и свиньи.

Имеющиеся в распоряжении ресурсы соответствуют следующим количествам фиксированных факторов: 50 человеко-месяцев труда и 52% акров земли. Цена зерна — 20 ф. ст. за 1 га, цена свиней — 20 ф. ст. за голову. Тогда чистая выручка для каждого из процессов (при выбранных здесь единичных их уровнях) соответственно равна 1000, 2000 и 3000 ф. ст. Изменим масштаб технологической матрицы, приняв такие единичные уровни процессов, чтобы выручка в каждом случае составляла 2000 ф. ст. Тогда задача может быть представлена в следующем виде95:

Коэффициенты затрат Ресурсы

[100 25 50"] 50 человеко-месяцев 10 50 40 52 у акров

Выручка (тыс. ф. ст.)

2 2 2 Пусть эти три процесса применяются с уровнями, характеризуемыми вектором = А,2, Х3). Задача состоит в том, чтобы найти такой неотрицательный вектор h, при котором максимизируется выручка (тыс. ф. ст.)

при условии

z = 2(Kl + K2+X3)

(1)

lOOXi+25А,2+50Х3 < 50, 10^ + 50Я2 + 40А,3 < 52 ~ .

Эту задачу линейного программирования можно решить графически (рис. 62).

Поскольку продукты всех трех процессов выражены в одинаковых стоимостных единицах (равных 2000 ф. ст.), то геометрическое место точек постоянного объема производства, упомянутое в разделе 17.4, можно построить так, как это сделано на рис.

62, а. Если по осям коордииат отражаются затраты труда и земли, то геометрическое место точек единичного объема определяется точками Р\ с координатами (100, 10), Р2 (25, 50) и Р3 (50, 40). Из графика видно, что точка Р3 расположена выше прямой Р1Р2; значит, при указанных ценах на зерно и на свиней третий процесс не применяется. Тогда А,3 = 0, и задача упрощается: нужно выбрать лишь две величины Яі и Остается определить, в каком соотношении и при каком уровне применяется комбинация первых двух процессов. Это можно сделать на рис. 62, а, построив ряд геометрических мест точек постоянного объема продукции; здесь проведены две такие линии, а именно: P\P2, соответствующая единичному уровню (2000 ф. ст.), и, скажем, Q1Q2, соответствующая 1,25 единичного уровня (2500 ф. ст.). Пусть точка Q имеет координаты (50, 52%), то есть использование фиксированных факторов ограничено, согласно (1), областью заштрихованного на рисунке прямоугольника. Задача состоит в том, чтобы в пределах этого прямоугольника найти точку, лежащую на линии наибольшего объема производства. Это будет точка Q, которая делит отрезок Q1Q2 в отношении 4:1. Значит, решение задачи: А* = 0,25, Х2 = 1,0, получаемое из условий 100 А* + 25А,2 = 50 и ЮІі + 50 А, 2 = 52%; см. (1). Максимальная выручка равна z = 2(А,і + ta + А3) = 2500 ф. ст., что соответствует уровню постоянного объема производства Q1Q2•

Тем не менее если установлено, что Л,3 = 0, то можно (руководствуясь указаниями раздела 15.1) построить еще более простой график, показанный на рис. 62, б. По осям

координат откладываются уровни Л* и Я2 двух применяемых процессов. Прямые АР и BP, пересекающиеся в точке Р, отображают ограничения (1), представляемые уравнениями:

ЮОАа+25^50 и Ш,!+50Я2 = 52 у .

Положение точки, соответствующей решению, ограничено заштрихованным участком; требуется найти максимальное значение z = 2(A,i + Х2). Пунктирные линии на рис. 62, б отображают уравнения

= const

О)

для все возрастающих значений постоянной (максимизируемой) величины.

Решение ясно; ему соответствует точка Ру так что

Xx=0,25, Я2 = 1,0Д3 = 0, 2 = 2500 ф. ст.

Решение можно представить в общем виде (см. таблицу ниже).

Сразу же можно составить задачу линейного программирования, двойственную по отношению к задаче (1), введя в нее расчетные оценки (р\ и />2 в ф. ст.) двух фиксированных факторов— труда и земли. Снова исключаем третий процесс. Тогда задача представится в следующем виде: Минимизировать

(2)

С = 50Л+52І/іА при условии

100^! +Юл >2000, 25/?!+50/?2>2000.

Чтобы получить решение, ограничивающие соотношения будем считать равенствами. ;;Тогда

320 600

19

При этих расчетных оценках, то есть при 16,8 ф. ст. за человеко-месяц труда и 31,6 ф. ст. за акр земли, расчетная стоимость имеющихся в распоряжении ресурсов является минимальной (?=2500 ф. ст.), и каждый из процессов приносит нулевую при- Единица измерения Первый процесс Второй процесс Итого Распределяемые ресурсы: труд человеко-месяц 25

4 25 50

4 земля акр 50 Продукция:

зерно

свиньи т голова -25 50 100 75 50 Выручка ф. ст. 500 2000 2500 быль, как это видно из ограничивающих уравнений задачи (2). Решение, представленное выше в табличной форме, можно в таком случае подсчитать по расчетным оценкам. При этом получаем стоимостную матрицу (фунты стерлингов): Затраты Оценка Первый процесс Второй процесс Итого Труд .... Земля .... 16,8 ф. ст. за человеко-месяц 31,6 ф. ст. за акр 421 79 421 1579 842 1658 Выручка . . 500 2000 2500 Более того, соотношение между этими расчетными оценками равно норме замены {в денежном выражении) двух факторов при постоянном объеме продукции. Для доказательства в приведенной выше таблице количественных показателей увеличим на 100 ф. ст. уровень первого процесса и уменьшим на эту же сумму уровень второго процесса. Тогда изменения в распределении ресурсов будут следующие: Единица измерения Первый процесс Второй процесс Итого Труд .... Земля .... человеко-месяцы акры +5,0 +0,5 -1,25 -2,5 +3,75 -2,0 Следовательно, норма замены труда землею равна 3,75 : 2,0, а это равно соотношению расчетных оценок (600 : 320).

Решение зависит как от конкретных лимитирующих объемов фиксированных факторов (50 человеко-месяцев, 5254 акров), так и от конкретных цен на продукты (20 ф.

ст. за 1 т зерна, 20 ф. ст. за одну свинью). Обычно решение изменяется при изменении ресурсов, цен, или тех и других одновременно. Более того, изменение решения не обязательно сводится'к сдвигам в удельном весе двух процессов (Лі : Лг) и к изменению уровня выручки (z). Вполне может потребоваться и отказ от того или иного процесса; в самом деле, третий процесс может стать эффективным и быть введен в действие.

Пусть, например, лимитирующие ресурсы факторов составляют 150 человеко-месяцев и 12% акров, а цены на продукты остаются без изменения. Тогда (см* рис. 62, а), точка Q переместится в Q', и решение отобразится точкой Qi:

А,1== 1,25, Я2=0, 2 = 2500 ф. ст.

Все ресурсы направляются в первый процесс (где экономится земля). Земля используется полностью (все 12У2 акров), но из имеющихся в распоряжении ресурсов труда {150 человеко-месяцев) расходуется только 125 человеко-месяцев. Продукт представляет собой 250 голов свиней, стоимость которых 5000 ф. ст., однако для их откорма придется закупить на рынке 125 т зерна, общей стоимостью 2500 ф. ст. Тогда решение двойственной задачи (2) в расчетных оценках будет:

/а=200, />2 = 0, ? = 2500 ф. ст.

Оценка дефицитного фактора (земли) возрастает до 200 ф. ст. за 1 акр, тогда как оценка труда становится равной нулю.

Возьмем другой пример: мы можем изменить соотношение между ценами на свиней и зерно; оказывается, что такое изменение приводит к еще более значительной ломке решения. Пусть цена зерна остается равной 20 ф. ст. за 1 га, а цена свиней упадет до 15 ф. ст. за голову. Тогда можно показать (см. упражнение 3), что ни один из трех процессов не исключается как неэффективный и что при тех же имеющихся в распоряжении лимитирующих ресурсах труда и земли выбирается в действительности вариант производства, представляющий собой комбинацию второго и третьего процессов. Снижение цены свинины приводит к тому, что по сравнению с приведенным выше решением производство зерна возрастает, а свинины уменьшается.

Важно, однако, что это достигается путем перехода от первого процесса к третьему, то есть к процессу, который ранее вообще не входил в число эффективных.

При изучении рассмотренных выше случаев, а также упражнений 2—5, обнаруживается связь между числом применяемых процессов и дефицитностью факторов производства (см. 16.8). Обычное решение приводит к тому, что применяется комбинация двух процессов из трех, а ресурсы обоих факторов используются до предела, то есть оба фактора являются дефицитными, и их расчетные оценки положительны. Однако может слу- читься, что ресурсы труда настолько велики, что (при заданных значениях цен на продукты) применяется лишь первый процесс, производство концентрируется только на свинине; или альтернативно может случиться также, что велики ресурсы земли и производится только зерно (применяется второй процесс). Эти варианты иллюстрируются выше и в упражнениях 2 и 5. Особенность этого положения в том, что применяется только один процесс и ресурсы только одного фактора расходуются до предела; другой же фактор не является дефицитным, и расчетная его оценка равна нулю. Наконец, имеется еще одна нерассмотренная возможность — своего рода «вырожденный» случай. Существуют некоторые сочетания имеющихся в распоряжении ресурсов факторов, когда оба эти ресурса расходуются до предела, но применяется только один из процессов, например, если точка Q будет расположена на рис. 62, а в Qi (см. также упражнение 5). Лучше всего считать это частным случаем, который возникает лишь тогда, когда наличные ресурсы факторов в точности соответствуют их затратам в одном из процессов.

Пример (б). Производится один вид продукта (зерно), для чего три фиксированных фактора (труд, земля и тракторы) используются в соответствии со следующей технологической матрицей: Труд человеко-месяц 25 5 4- Земля акр 50 100 125 Тракторы тракторо-месяц 20 4 0 Зерно 100 т _-1 -1 Первый процесс высоко механизирован, высока и его трудоемкость. В двух других процессах мала трудоемкость и меньшие затраты рабочего времени тракторов.

Заданная цена зерна равна 10 ф. ст. за 1 т, так что при единичном уровне каждого процесса выручка составляет 1000 ф. ст. Имеющиеся в распоряжении фиксированные ресурсы факторов определяются следующими данными: Ресурсы 10 человеко-месяцев 110 акров 10 тракторо-месяцев г(тыс. ф. ст.) 1

Коэффициенты затрат Г 25 5 4" А= 50 100 125

20 3V2 0_

Выручка

1 1 1

Если применяемый уровень в

трех процессах характеризуется вектором A, = (A,!, Я3), то задача линейного программирования состоит в том, чтобы отыскать неотрицательное значение А,, при котором максимизируется выручка

2 = Лі -j- А-2 -f- А/3

при условии

25Я,1+5Я2+4Яз<10, , 50A,i + 100A,2 + 125A,3<110, } (3>

20^+3 у А* <10. j

С помощью симплексного метода (см. 15.8) получаем следующее решение:

А»! = 0,2, Я2 = 1,0, Я3 = 0, z=1200 ф. ст. Максимальную выручку, или 1200 ф. ст., дает сочетание первых двух процессов Итого

Первый процесс

Второй процесс

Единица измерения

5 10

5 100

10 110

Распределение ресурсов

труд

4

земля

тракторы ....

120 1200

20 200

100 1000

Продукция:

зерно

Выручка

человеко-месяц акр

тракторо-месяц

т

ф. ст. Для этого решения характерно то обстоятельство, что применяются лишь два* процесса из трех. При этом только два фактора из трех являются дефицитными, и их ресурсы используются до предела: третий фактор (тракторы) не является дефицитным, затрачивается лишь 71/2 тракторо-месяцев из имеющихся в распоряжении 10. Этот вопрос еще более разъясняется с помощью задачи, двойственной для [3]. Ее можно записать следующим образом:

Минимизировать g = 10/?х 110/?2-f-10/?3

при условии 25/?! + 50/?2 + 20/?з > 1000,

5Pl + Ю0р2 + 31 Рз > 1000, | (4>

4/?! +125^2 > 1000. J

Расчетные оценки (ф. ст. за единицу) трех факторов таковы, что стоимость имеющихся в распоряжении ресурсов этих факторов минимизируется при том условии, что* по каждому из процессов издержки должны быть не меньше, чем выручка. Решив задачу (3) с помощью симплексного метода, одновременно получаем и решение двойственной задачи (4): '

200 80 С\ У л опп ж

/?!=—, л=-д, />з = 0, ? = 1200 ф. ст.

Нулевая расчетная оценка тракторов отражает то обстоятельство, что они представляют собой свободный фактор, то есть ресурс, используемый не до предела. Расчетные оценки таковы, что первые два ограничения системы задачи (4) превращаются в уравнения, то есть при этих расчетных оценках два применяемых процесса дают нулевую прибыль. Третье ограничение выражается неравенством 4/?i -f- 125/? 2 > 1000, и третий процесс, который не применяется, является убыточным. Подсчет по этим оценкам одновременно позволяет выявить и тот фактор, который не является дефицитным, и убыточный процесс, который не применяется.

Расчетные оценки таковы, что соотношение между ними соответствует норме замены труда и земли при постоянном объеме продукции (см. упражнение 7). С помощью расчетных оцёнок решение, приведенное выше в количественной форме, можно записать в виде стоимостной матрицы (в ф. ст.): Затраты Оценка Первый процесс Второй процесс Итого Труд 22,2 ф. ст. (человеко-месяц) 111 111 222 Земля 8,9 ф. ст. (акр) 89 889 978 Тракторы .... і і і Выручка 200 • 1000 1200 і Ресурсы не используются до предела, поэтому расчетная оценка этого фактора равна нулю.

На плоскости нельзя графически решить задачу линейного программирования (& или двойственную ей задачу (4), если только мы не догадываемся о характере решения или не знаем что-либо о нем заранее. В качестве разумной догадки примем, что тракторы являются недефицитным фактором; исключим их из задачи линейного программирования (3), отбросив третье ограничение.Тогда можно построить на графике геометрические места точек постоянного объема производства и нанести пределы имеющихся ресурсов двух факторов (труда и земли). Результаты этого показаны на рис. 63, а, где ломаная Р\Р2Р3 есть линия единичного уровня продукции (1000 ф. ст.), a Q1Q2Q3—линия выпуска при уровне 1,2 единицы продукции (1200 ф. ст.). Решение, при котором выручка максимизируется и равна 1200 ф. ст., соответствует точке Q — сочетанию первых двух процессов в соотношении 1:5. Это совпадает с полученным ранее решением. Можно сделать и другое также разумное предположение, что третий процесс не применяется; тогда в задаче (3) запишем = 0. Здесь снова можно воспользоваться графическим методом решения, предложенным в разделе 15.1; полученный результат показан на рис. 63, б. Из него видно, что третий фактор (тракторы) не используется до предела; как и ранее, находим, что к± = 0,2, А,2=1>0 и решение отображается точкой Р.

Влияние изменений заданных наличных ресурсов трех факторов на решение в общем случае определяем следующим образом: в ограничения задач (3) и (4) вносим'новые заданные значения ресурсов, а затем снова решаем эти задачи симплексным методом. Если, однако, третий фактор (тракторы) можно сразу исключить как свободный или же если третьим процессом можно пренебречь как неприменяющимся, то характер возникающих изменений можно проследить и по рис. 63. Рассмотрим сначала только два первых процесса, то есть предположим, что в задаче (3) А,3=0, и отобразим их уровни на рис. 63, б. Имеются три прямые, изображающие ограничения (если последние представляются уравнениями); они перемещаются параллельно самим себе вверх и вправо, по мере того как возрастают объемы факторов. Так, если заданные ресурсы труда возрастают с 10 до,' скажем, 15 человеко-месяцев, то линия АР смещается вправо, за линию А'Р\ представляющую заданные ресурсы третьего фактора (10 тракторо- месяцев). Тогда новое решение отображается точкой P'. Труд становится свободным благом, а земля и тракторы— дефицитными факторами. В соответствии с (3) значения Xi и %2 определяются уравнениями

50Х1 + 100А,2=110 и 20X,+3V2^a==10, откуда

Яі = 0,35, ^2 = 0,93, 2=1270 ф. ст.

Прибыль несколько увеличивается, если тракторы используются до предела, а ресурсы труда имеются в избытке.

Другой пример: пусть заданная площадь земельного участка равна не 110 акрам, а больше, так что линия BP смещается вверх. Если площадь участка составляет 200 акров, то прямая BP ^настолько сместится, что точка Р пересечения прямых BP и АР будет расположена на оси ординат; ресурсы труда и земли по-прежнему будут использоваться до предела, но будет применяться уже только второй процесс. Его уровень будет равен 2 единицам, и z = 2000 ф. ст. Это — «вырожденный» случай использования двух дефицитных факторов и применения только одного процесса. Если площадь земельного участка увеличить еще более, то дефицитным останется только труд, и по-прежнему применяется исключительно второй процесс с уровнем 2 единицы при 2 = 2000. Этот случай снова является иллюстрацией общего положения, что, за исключением отдельных или «вырожденных» случаев, число применяемых процессов равно числу дефицитных факторов—здесь соответственно один процесс и один фактор или два процесса и два фактора из трех возможных.

Задачи и упражнения 1.

В примере (а) текста принять имеющиеся в распоряжении ресурсьГфакторов равными 150 человеко-месяцами 12У2 акрам. Вычертить рисунок, аналогичный рис. 62, б, и найти решение новой задачи. 2.

В примере (а) принять имеющиеся в распоряжении ресурсы факторов равными 311/4 человеко-месяцев и 75 акров. Показать на рис. 62, а, что точка Q смещается за линию ОАч и что решение отображается точкой Q2. Доказать, что применяется только один производственный процесс и что только один фактор (труд) является дефицитным. 3.

Цены на продукты, заданные в примере (а), изменяются и будут следующие: 20 ф. ст. за 1 т зерна, 15 ф. ст. за свинью. Имеющиеся в распоряжении ресурсы остаются без изменения. Показать, что третий процесс уже не придется отбрасывать как неэффективный и что решением является комбинация второго и третьего процессов. Показать, что, несмотря на снижение цены на свинину, откорм некоторого количества свиней все же продолжается. Проверить это на рис. 62, а. Какой вид принимает рис. 62, б? 4.

Примем цены такими же, как в предыдущей задаче, наличные ресурсы труда установим в 50 человеко-месяцев, но будем изменять площадь имеющегося в распоряже- нии земельного участка. Сколько земли потребуется, если применять только третий процесс (производство зерна и откорм свиней)? Сколько земли потребуется, если применять исключительно второй процесс (производство только зерна)? 5.

Если цены приняты такими же, как в примере (а), то показать, что «вырожденный» случай двух дефицитных факторов и одного применяемого процесса возникает при наличии ресурсов, равных 125 человеко-месяцам и 12У2 акрам земли. 6.

Решить задачу (3) примера (б) в тексте данного раздела с помощью симплексного метода. В процессе этого же решения получить и решение двойственной задачи (4). 7.

При решении вышеприведенного примера (б) показать, что норма замены труда и земли (при постоянном объеме продукции) равна соотношению оценок факторов (то есть 2:5). 8.

Исключим третий фактор в примере (б) и воспользуемся рис. 63, а. Рассмотреть различные варианты, возникающие при изменении заданных ресурсов труда и земли. Показать, что в общем случае имеют место либо два применяемых процесса и два дефицитных фактора, либо один применяемый процесс и один дефицитный фактор. При каких сочетаниях возникает «вырожденный» случай одного процесса и двух дефицитных факторов?

<< | >>
Источник: Р. Аллен. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЭКОНОМИЯ. 1963

Еще по теме 17.5. ДВЕ ИЛЛЮСТРАТИВНЫЕ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ:

  1. ГЛАВА 15 ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
  2. 15.1. ПРОСТОЙ ПРИМЕР ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
  3. 15.2. ПРОСТОЙ ПРИМЕР: ДВОЙСТВЕННАЯ ЗАДАЧА
  4. 15.3. ПРИВЕДЕНИЕ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ К РЕШЕНИЮ ИГРЫ
  5. 15.4. ОБЩАЯ ПРЯМАЯ И ДВОЙСТВЕННАЯ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
  6. 15.5. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ОБЩИХ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ И ИГРЫ С ДВУМЯ УЧАСТНИКАМИ И НУЛЕВОЙ СУММОЙ
  7. 15.6. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ ДЛЯ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ ОПЕРАЦИЙ
  8. 15.7. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ВЫПУКЛЫХ МНОЖЕСТВ
  9. 15.8. СИМПЛЕКСНЫЙ МЕТОД
  10. 15.9. РЕШЕНИЕ СИМПЛЕКСНЫМ МЕТОДОМ ПРОСТОЙ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
  11. 16.3. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ОТКРЫТОЙ СИСТЕМЫ ЛЕОНТЬЕВА В ВИДЕ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ОТРАСЛЕЙ