17.6. ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ ДЛЯ ФИКСИРОВАННЫХ ФАКТОРОВ И ЗАДАННЫХ ЦЕН НА ПРОДУКТЫ

Коэффициенты затрат: Ресурсы:

А = Ы Ъ = {ЬГ}

Выручка

r' = [rs]

Вектор % = {Xs} (5 = 1,2, ... , п) характеризует уровни применяемых процессов, а вектор р = {pr} (г = 1, 2, ... , т) — расчетные оценки т фиксированных факторов. Рассматриваемая задача состоит в том, чтобы найти неотрицательные векторы % и р, удовлетворяющие условиям прямой и двойственной задач линейного программирования:

Максимизировать выручку z = r'i, Минимизировать издержки ? = b'pl при условии Ah < b. при условии А'р > г. j ' '

Прямая задача линейного программирования поддается непосредственному истолкованию: фирма выбирает такую комбинацию процессов, при которой максимизируется выручка от продажи продуктов (за вычетом затрат на закупку переменных факторов), при том условии, что затраты фиксированных факторов не превышают заданных их ресурсов. Тогда двойственную задачу получаем автоматически: существуют такие расчетные оценки фиксированных факторов, что подсчет имеющихся в распоряжении ресурсов по этим оценкам дает минимальную величину — при том условии, что прибыль (расчетная) не является положительной величиной ни в одном из процессов. Соотношения между такими оценками можно истолковать как нормы замены соответствующих факторов при заданном уровне выручки (см.

После того как из прямой и двойственной задач линейного программирования найдены значения переменных Xs и рг, столбцы матрицы А коэффициентов затрат можно умножить на элементы а строки — на элементы рг. В результате будет получена стоимостная матрица решения, пример которой приведен в разделе 17.5. Суммы элементов строк равны стоимости ограниченных ресурсов факторов (если эти ресурсы используются полностью), суммы элементов столбцов — выручке по различным процессам (если последние применяются, и получаемая в них прибыль равна нулю).

Легче всего разобраться в решении и получить его с помощью симплексного метода, если в задачу включим, как в разделе 15.6, ш «дополняющих переменных» и соответствующую совокупность фиктивных процессов, или «псевдопроцессов», или «имеющихся в распоряжении свободных процессов»^ Составим матрицу

В = ? A IJ размерности тх (т-\- тг),

где I — единичная матрица m-го порядка. Аналогичным образом к векторам ГІЇІ /г-го порядка соответственно прибавим т нулевых элементов и т новых переменных. Тогда

v = (г1э га, ..., гп, 0, .. ., 0) и х = (Xv ..., Хп, ..., pj

суть два вектора (т + и)-го порядка, причем первый вектор задан, а второй, характеризует переменные уровни для п первоначальных процессов и т «псевдопроцессов». |3адача состоит в том, чтобы найти неотрицательные векторы х и р, позволяющие:

(2)

Максимизировать z = v'x Минимизировать ? = b'p при условии Вх = Ь. при условии В'р>у.

Отметим, что в прямой задаче имеется ш ограничивающих уравнений относительно (т + п) переменных х, а двойственная содержит (т + п) ограничивающих неравенств относительно т переменных р. Если найдено решение прямой задачи (например, с помощью симплексного метода), то одновременно получается и решение двойственной задачи.

Остается истолковать найденное решение для х, то есть значения элементов X и р, вектора в их связи с расчетными оценками р. Рассмотрим 5-й процесс, уровень которого Х3ш Если оказалось, что Xs = 0, то в оптимальном варианте процесс не применяется; если Xs > 0, то процесс применяется.

В общем случае (см. 16.8) М = N, то есть число применяемых процессов равно числу дефицитных факторов, ресурсы которых используют до предела, по положительным расчетным оценкам. Как показано в разделе 17.5, возможны, однако, такие случайные сочетания заданных ресурсов, что число применяемых процессов окажется меньше числа дефицитных факторов. Первый случай — общий, или обычный, второй — «вырожденный».

Известные данные задачи представляются либо в виде матрицы А и векторов Ь и г в (1), либо в виде матрицы В и векторов Ь и у в (2). Нетрудно так сформулировать условия построения матрицы и векторов, чтобы технология была правильно составленной (то есть чтобы в ней не было несамостоятельных или неэффективных процессов) и чтобы была бы исключена воз- можность «вырожденной» задачи. Для выполнения первого условия ранг

Г В1

матрицы В должен быть равен т, или числу строк, а матрицы • • • равен

L v' J

(/n+ 1), или тоже равен числу строк. Для выполнения второго условия, то есть для пресечения «вырожденного» случая, ранг матрицы В, в которой любой столбец замещен вектором Ь, также должен быть равен т. Это значит, что вектор имеющихся в распоряжении ресурсов Ь не должен быть зависим ни от одного из (т—1) столбцов матрицы В, в частности ни от одного из (т—1) столбцов матрицы А; таким образом, исключается случайное «совпадение» вектора ресурсов с вектором затрат в каждом из (т—1) процессов.

Решение задачи линейного программирования (1) дает как значения к для применяемых процессов (а следовательно, и для продуктов, продаваемых по рыночным ценам), так и р — расчетные оценки фиксированных факторов. Решение обычно меняется при каком-либо изменении исходных данных, то есть А, Ь или г. Возможны столь многообразные изменения исходных данных, что целесообразно попытаться классифицировать эти изменения.

Во-первых, могут пропорционально измениться наличные ресурсы всех фиксированных факторов (то есть элементы вектора Ь) или же все значения выручки процессов при единичном уровне последних (то есть г). Из (1) ясно, что при любом положительном множителе к влияние изменения характеризуется следующей таблицей: Данные (А, Ъ, г) изменены на Решение (А,, р) изменено на 1 1 кк, р 1 1 A, b, kr ее у А, —b, г к, кр 1

А, ЛЬ, /сг = — A, b, г

К кк, кр Пропорциональное увеличение ресурсов всех факторов приводит к возрастанию в такое же число раз уровней всех процессов (и выпуска всех продуктов). Пропорциональное увеличение выручки за единицу по всем продуктам (то есть в рыночных ценах) вызывает увеличение в такое же число раз расчетных оценок на все фиксированные факторы. Пропорциональное увеличение рыночных цен или расчетных оценок равносильно снижению в такое же число раз коэффициентов затрат в технологической матрице. Так, если ресурсы всех факторов удвоились, то тогда вдвое больше будет произведено всех продуктов; таким же будет результат, если имеющиеся в распоряжении ресурсы не изменились, но все коэффициенты затрат уменьшились вдвое.

Во-вторых, могут измениться ресурсы только одного фактора, например Ьг (первого фактора). В общем случае решение (к, р) изменится; это изменение затронет не только общий уровень производства, но и удельные веса применения отдельных процессов и соотношения между расчетными оценками.

В-третьих, возможны изменения относительных величин коэффициентов: затрат внутри какой-либо строки или какого-либо столбца матрицы А. Это не равносильно какому-либо изменению имеющихся ресурсов или выручки за единицу. Но в результате в общем случае опять-таки изменяются удельный вес применения отдельных процессов и соотношения между расчетными оценками факторов. Такое изменение можно назвать технологическим изменением. С экономической точки зрения изменение относительных затрат отдельных факторов в разных процессах происходит здесь в результате какого-то технологического сдвига, а не вызвано просто изменением наличных ресурсов или прибыльности различных процессов.

В.одном отношении результаты весьма схожи с результатами, получаемыми при предельном анализе: предложение продуктов фирмой изменяется в зависимости от заданных наличных ресурсов факторов производства и от рыночных цен на продукты. Разница в том, что теперь мы не только изменяем пропорции применения различных процессов, но полностью переключаемся от одного процесса к совершенно другому. Возможные варианты иллюстрируются простым примером. Пусть в примере (а) раздела 17.5 фирма выбирает только между двумя первыми процессами, причем ресурсы труда равны Ъх человеко-месяцев, земли — Ъъ акров, а рыночные цены составляют Я] ф. ст. за 100 m зерна и я2 ф. ст. за 100 голов свиней.

Коэффициенты затрат Ресурсы

А =

"50 251 Ь1

5 50J Ъ2

Выручка (^я2 — у я^ Яі

Задача линейного программирования состоит в том, чтобы найти неотрицательные ^ и максимизирующие выручку, при условии

z = (я2 1/2Jtl) + 1 50Х1 + 25Х2< 5Х1 + 50Х2< Ь2.

Для этой задачи можно построить диаграмму, аналогичною рис.

« 2&i — Ь2 « 10Ь2—Ъх

95 ' 475 ' W

Для отыскания максимального z воспользуемся семейством параллельных прямых

(я2 — 1/2я1) + пгХ2 = const. (4):

Чтобы применялись оба процесса и решение задачи соответствовало бы уравнению (3), должны выполняться два условия: (I)

Точка Р должна находиться в положительном квадранте (Хг и Х2. положительны), так что, согласно (3):

Г0

что ограничивает (хотя и в широких пределах) область изменения соотношения Ъ2 : &rjj (II)

Наклон прямых (4) должен быть промежуточным между наклонами прямых, представляемых ограничивающими уравнениями:

то < s: < Z'

или

3/*<-§-<5/*- (6>

Это — границы (причем довольно широкие) области соотношения n2:nv

Будем считать, что выполняются неравенства (5) и (6), так что применяются оба процесса; если уровни этих процессов соответствуют (3), то выпуск равен:

Зерно (единица = 100 т) К2 - = 25%~12&1 . 2 b Ъ

Свиньи (единица = 100 голов) = —^Т" 2

95

На объем выпуска влияют только наличные ресурсы и Ь2, отношение между которыми ограничено областью неравенства (5). Откорм свиней ведется в любом случае, а выпуск зерна может быть как положи-

12 Ъ \ ґ i. b

тельным ( 25 < < 2 J , так и отрицательным ( JQ < < 25 ) • Если участок земли велик (отношение Ь2: Ъх большое), то производится достаточное количество зерна как для откорма свиней, так и для продажи. Если избыточны ресурсы рабочей силы (отношение Ъ2 : Ьх мало), то производимого зерна недостаточно для откорма свиней, и зерно приходится покупать.

Пока соотношение цен на зерно и на свиней находится в пределах амплитуды (6) и пока применяются оба процесса, величина этого соотношения не имеет значения. Если же соотношение цен является критическим, то приходится решать, какой процесс применять. Если л2/л1 < 3/5, так что свинина продается по низкой цене, то применяется только второй процесс (производство зерна). Если л2/л1 > 5/2 (цена зерна относительно низка), то применяется только первый процесс (откорм свиней). При промежуточных значениях соотношения цен производятся и зерно и свинина. Более того, если существуют и другие процессы, например третий процесс [см. пример (а) раздела 17.5], то цены могут оказаться такими, что по сравнению с двумя рассмотренными процессами предпочтение будет , отдано этому третьему процессу.

Задачи и упражнения 1.

Фирма располагает лишь одним фиксированным фактором (например, трудом), и существует несколько процессов, включающих продукты и переменные факторы, которые продаются и приобретаются по рыночным ценам. Показать, что применяется только- один процесс — тот, в котором на единицу выручки используется наименьшее количество фиксированного фактора. 25 10- 50 100 -1 0 0 -1-І 2. Предприятие характеризуется следующей простой технологией:

Труд чеяовеко-месяцы

Земля акры

Пшеница 100 т

Сено 100 т

то есть имеются два независимых процесса — производство пшеницы и производство сена. Ресурсы составляют 50 человеко-месяцев труда и 260 акров земли, а цены за 1 m пшеницы и сена заданы и равны соответственно 20 и 10 ф. ст. Решить задачу графически и показать, что ресурсы обоих факторов используются до предела и что производятся и пшеница и сено. Во сколько раз цена пшеницы должна быть выше цены сена, чтобы производилась только пшеница? Насколько мала она должна быть, чтобы производилось только сено?

3. Показать, что для задачи производства зерна и свинины (в тексте) двойственной является следующая: найти неотрицательные оценки, при которых минимизируется ? = Ьі/?1 + Ь2/?2 при условии

1 '

50/?! -(- Ьр2 > л2 — у л j, 25/>1-f 50/?2>

Ютсюда определить зависимость расчетных оценок факторов от цен на продукты. При каких ценах иа продукты один из факторов имеет нулевую расчетную оценку, то есть один фактор используется неполностью и производится либо только зерно, либо только свинина?

4. В задаче линейного программирования (1) доказать, что в общем случае отношение расчетных оценок двух дефицитных факторов равно норме замены этих факторов (при постоянном уровне выручки).