<<
>>

17.7. ПАРАДОКС РИКАРДО

В разделе 17.6 задача линейного программирования для фирмы представлена в простой форме; ее можно расширить в ряде направлений. При одном из этих направлений мы выделяем из фиксированных факторов и из продуктов фирмы группы переменных факторов, которые можно получить по заданным рыночным ценам, то есть факторов нанимаемых (арендуемых) в противоположность факторам фиксированным.
При этом налагается ограничение на количество нанимаемых факторов, например оно может быть ограничено суммой кредита, которым располагает фирма. Исходные данные задачи предоставляются в следующем виде.

Ресурсы Ь

С

Коэффициенты затрат

Фиксированные факторы Г Ах О Нанимаемые (арендуемые) факторы | О А2 Издержки по найму факторов: [0 с'] Выручка от продажи продуктов [г[ г'2]

В задачу входят тх фиксированных,факторов и щ процессов, или имеется матрица Ах размерности тх X щ. Далее, имеются т2 нанимаемых факторов, которые могут включать некоторые или все виды фиксированных факторов; нанимаемые факторы используются в разных комбинациях в п2 процессах, так что матрица А2 размерности т2 X п2. Строчные векторы издержек по найму факторов и выручки от продажи строятся на основе заданных рыночных цен. Фирма располагает кредитом, равным С. Матрица коэффициентов затрат (т1 + т2) X (пх + п2) относится к классу разложимых (см. 12.9). Один из частных случаев возникает тогда, когда фиксированные и нанимаемые факторы представляют собой одну и ту же совокупность т факторов, так что в п процессах, применяемых фирмой, могут использоваться как фиксированные, так и нанимаемые факторы в любом их сочетании. Тогда А1 = А2, и матрица коэффициентов затрат будет 2т X 2/г.

Задача линейного программирования заключается в следующем: найти неотрицательные уровни отраслей производства, характеризуемые вектором к = {X,!! размерности (щ + п2)-ой, максимизирующие

при условии

А1)^1< Ь, с 'к2<С.

Решение находится тем же способом, что и ранее.

Дальнейшее усложнение в том же направлении заключается в том, что рыночные цены нанимаемых факторов (или продаваемых продуктов) принимаются не неизменными, а изменяющимися заданным образом в зависимости от спроса на эти товары.

Одна из форм такой задачи, показывающая несовершенство конкуренции на рынке нанимаемых факторов, получается в следующем случае. Примем, что имеются т факторов, которыми фирма располагает в заданных количествах; определенное дополнительное количество этих факторов фирма нанимает по некоторым заданным ценам, второе дополнительное количество — по другим, более высоким ценам и т. д. Исчерпав имеющиеся у нее ресурсы факторов, фирма по-прежнему может полу- чить их дополнительно на рынке нанимаемых факторов, но в некоторых определенных количественных совокупностях — «блоках» и по все возрастающим ценам каждого блока. Задача линейного программирования в этом случае соответствует приведенному выше типу, ее матрица коэффициентов затрат имеет следующий вид:

ГА1°1°1 1 0 А 0 0 0 А Заданные п процессов мы можем выполнить с помощью фиксированных факторов, используя совершенно равносильно первый «блок» нанимаемых факторов и т. д. Матрица будет km X кпу где к — число «блоков» факторов; эта матрица относится к классу разложимых.

Главная особенность задачи линейного программирования, усложненной в соответствующих направлениях с тем, чтобы модель отвечала эмпирическим данным, заключается в том, что получающаяся технологическая матрица будет иметь большое число строк и столбцов. Увеличение размера матрицы до порядка, скажем, превышающего четвертый, вызывает трудности вычислительного характера. Если все же приходится производить вычисления, например с помощью симплексного метода, то разница здесь заключается только в неодинаковой трудоемкости и продолжительности расчетов для матрицы 20-го порядка и матрицы 100-го порядка. Поэтому некоторый практический интерес представляет разложимость матрицы, то есть наличие в ней нулевых блоков, ибо это облегчает вычислительную работу.

Приводимый ниже простой пример иллюстрирует задачу линейного программирования с технологической матрицей разложимого типа. В нем проводится разделение факторов на фиксированные и нанимаемые; при дальнейшем усложнении учитывается также расчленение периода производства на меньшие периоды.

На основе этой задачи можно показать (как в разделе 17.6), каким образом изменение заданных рыночных цен влияет на характер решения. Этот пример — вариант задачи, рассмотренной Мейкоуэр [9]. Возьмем следующие исходные данные для фирмы (все цифры годовые):

Ресурсы:

Процессы

Аг Вх Л2 В 2

Коэффициенты затрат ах а2

Собственные факторы

12 2

0 0

Рабочая сила (чело- р

100 60

век) 10 12 10

Машины (штук) 5 2 5

Наемные факторы

12 2

10

5

10 5

12 2.

0 6750 6700 6750 6700J

33 500

Рабочая сила (человек) ООО Машины (штук) L О О О Издержки по найму факторов (ф. ст.) [О О О Выручка от продажи продуктов (ф. ст.) [6500 6500 6400 6400 6500 6500 6400 6400]

529

34 р. Аллен

Продукт изготовляется посредством двух процессов; первый из них (а или А) является капиталоемким96, а второй (Ъ или В) — трудоемким. Процессы изготовления продукта различаются также своей продолжительностью (при сохранении соотношений между затрачиваемыми факторами): в краткосрочном процессе, обозначенном нижним индексом 1», выпуск продукта происходит в том же году, что и затраты, в длительном (нижний индекс «2») — в следующем году. Наконец, все четыре процесса дублируются с учетом использования наемных факторов, причем имеющийся в распоряжении кредит ограничен суммой 33 500 ф. ст. Цены наемных факторов заданы: 500 ф. ст. за человеко-год и 350 ф. ст. за машино-год. Цена продукта, а также выбор единичных уровней процессов таковы, что выручка краткосрочного процесса равна 6500 ф. ст. В длительном процессе продукта производится больше, его стоимость по ценам реализации составляет 7040 ф. ст., но получение этих денег состоится только в будущем году. Эквивалентная сумма для текущего года при учете (дисконтировании) этой стоимости из 10% годовых равна 6400 ф. ст.; эта сумма и проставлена в строке «выручка».

При таких исходных данных и с помощью уже описанного графического' метода решения мы определяем, что все производство следует вести с применением первого способа (краткосрочный, капиталоемкий, при использовании собственных ресурсов фиксированных факторов).

Уровень процесса равен 10 единицам, так что рабочая сила используется полностью, а машины — неполностью. Это уже знакомый нам частный случай одного дефицитного фактора и одного применяемого процесса. Выручка фирмы (максимизированная) равна 65 000 ф. ст. Следует обратить внимание на то обстоятельство, что способ построения модели (наем факторов в твердом соотношении.— Ред.) исключает возможность использования избыточных собственных машин с помощью наемных рабочих.

Рыночными ценами (заданными) являются цены продукта, наемного- рабочего (500 ф. ст.), машины (350 ф. ст.) и процентная ставка (10%). Если изменяется любая из этих величин, то меняется и решение задачи линейного программирования; можно ожидать, что тогда вместо первого процесса производство будет переключено на один из других процессов или на какую-либа их комбинацию. Изменение решений фирмы в отношении выбора процессов может быть исследовано на различных примерах. Изменение цен на факторы рассматривается в упражнении 3; сейчас же мы сосредоточим внимание на влиянии изменения цены продукта и процентной ставки. I.

Увеличение цены продукта на 10%. Вектор выручки от продажи приобретает следующий вид:

[7150 7150 7040 7040 7150 7150 7040 7040].

Здесь по-прежнему применяется первый процесс с максимальным использованием ресурсов труда. Но, кроме того, прибыльными являются и процессы с наемными факторами; их можно применять в пределах предоставляемого кредита. Чистая выручка от применения четырех процессов с наемными факторами при единичном их уровне соответственно равна 400, 450, 290 и 340 ф. ст.97. Очевидно, и это можно проверить на графическом решении, что применяется второй из этих процессов, то есть процесс Вг. Следовательно, решение будет следующее: применять процесс а1 при уровне 10 до исчерпания собственных ресурсов труда (собственные машины используются неполностью) и процесс Вх при уровне 5, до предела используя кредит, имеющийсяу фирмы. Тогда выручка от реализации составит 107 250 ф.

ст., а стоимость найма факторов 33 500 ф. ст.; чистый доход (максимизированный) равен 73 750 ф. ст. Это более чем на 10% превышает ранее указанный размер прибыли 65 000 ф. ст., так как теперь фирма применяет наемные факторы и пользуется представляемым кредитом. Новый введенный процесс является краткосрочным, трудоемким, использующим наемные ресурсы и присоединяется дополнительно к старому процессу (краткосрочному, капиталоемкому и использующему собственные ресурсы). II.

Уменьшение процентной ставки с 10 до 4%. Вектор выручки от реализации приобретает следующий вид:

[6500 6500 6769 6769 6500 6500 6769 6769], ибо приведение (дисконтирование) стоимости продукта длительного процес- са (7040 ф. ст.) к эквивалентной сумме текущего года теперь производится из процентной ставки 4%; поэтому эквивалентная сумма текущего года будет равна 6769 ф. ст. Решение теперь предусматривает полное использование собственных ресурсов труда (машины по-прежнему используются неполностью), однако уже с помощью процесса а2, а не Из-за снижения процентной ставки становится более прибыльным длительный процесс (но, как и ранее, капиталоемкий). Однако, кроме того, становятся прибыльными два процесса с использованием наемных факторов, а именно два длительных процесса, Л2 и В2, чистая выручка по которым соответственно равна 19 и 69 ф. ст. Решение состоит в применении процесса В2 в полном размере предоставляемого кредита. Следовательно, решение заключается в применении процесса а2 при уровне 10 до полного исчерпания ресурсов труда и процесса В2 при уровне 5, при котором имеющийся кредит используется полностью. Выручка равна 101 535 ф. ст., издержки 33 500 ф. ст., прибыль 68 035 ф. ст. Увеличение прибыли по сравнению с исходной (65 000 ф. ст.) частично объясняется использованием фиксированных факторов для более прибыльного длительного процесса, частично — использованием представляемого кредита. Новое решение представляет комбинацию двух процессов: один — длительный, капиталоемкий, использующий собственные факторы, второй — длительный, трудоемкий, использующий наемные факторы.

Это является полным уходом от старого процесса (краткосрочного, капиталоемкого, использующего собственные факторы). См. также упражнение 2.

Нужно отметить следующую главную особенность полученных результатов. Первоначальное положение фирмы характеризовалось высокой процентной ставкой, что вызывало применение краткосрочных процессов, и низкой ценой машин относительно цены труда (см. упражнение 5), что соответственно приводило к выбору капиталоемких процессов. Более того, цена продукта не оправдывала пользование доступным фирме кредитом, при найме факторов фирма только проиграла бы. Поэтому применялся лишь один процесс — краткосрочный, капиталоемкий, использующий собственные факторы. При снижении процентной ставки мы можем ожидать переключения производства на длительный процесс. Как при росте цен на продукцию, так и при снижении процентной ставки можно ожидать, что окажется возможным использование наемных факторов в пределах предоставляемого фирме кредита. К первоначальному процессу, использующему собственные факторы, добавляется новый процесс, включающий наемные факторы. Не является самоочевидным лишь один вариант, показанный здесь, по крайней мере в качестве возможного, а именно, что дополнительный процесс может оказаться трудоемким, а не капиталоемким, как первоначальный процесс.

Следовательно, мы показали, что если фирма работает при ограниченном кредите, получаемом для найма факторов, то вследствие повышения цены продукта возможно более интенсивное применение трудоемких процессов. Для устранения этого цены арендуемых машин должны быть снижены, а не повышены, как это можно было бы предположить, учитывая повышение цены продукта. Это и есть парадокс Рикардо, который исследоваЛ Хайек [6]. Аналогично этому снижение процентной ставки может привести к увеличенному использованию ресурсов труда и к относительно меньшему использованию машин, а не к повышенному применению Оборудования* как это могло бы показаться ввиду снижения процентной ставки.

Анализ таких случаев, как парадокс Рикардо, может производиться и с помощью предельного анализа [8]. При предельном анализе должны быть учтены ограниченность ресурсов фирмы и, особенно, предел доступного кредита, ибо это необходимо для возникновения парадокса Рикардо. Однако весь этот анализ гораздо естественнее и легче провести с помощью линейного- программирования. Парадокс Рикардо связан не столько с предельными изменениями, сколько с выбором между различными вариантами производственных процессов, при котором учитываются ограничения, например кредита, открытого фирме. Здесь мы имеем пример надлежащего применения линейного программирования, когда этот метод проявляет себя с наилучшей стороны.

Задачи и упражнения 1.

Пусть в первоначальном варианте задачи фирмы, приведенном в тексте, возможность выбора ограничена двумя первыми процессами. Применить графический метод решения задачи линейного программирования и показать, что выбор следует остановить на первом процессе. 2.

Показать, что в (II) снижение процентной ставки с 10 до 6% приводит к переключению с процесса а\ на длительный процесс аг. Почему все еще невыгодно использование предоставляемого кредита? Насколько должна снизиться процентная ставка, чтобы вызвать переход к длительному процессу или чтобы стало прибыльным производство с помощью наемных; ресурсов? 3.

Решить задачу, если цена аренды машины снизилась до 300 ф. ст., а цена наемного рабочего не изменилась. Какое влияние окажет при этом увеличение на 10% цены продукта? 4.

Пусть в первоначальном варианте задачи имеется 50 собственных машин. Показать, что при этом ресурсы машинного времени используются до предела. Составить двойственную задачу линейного программирования (включив в нее только два первых процесса) и решить ее относительно цен факторов. 5.

Показать, что в первоначальной постановке задачи производительность труда в 1,5 раза выше производительности машин, что превышает соотношение между ценами труда и машин (1,43). Показать также, что отношение обоих показателей обратно тому, которое имеет место в задаче 3. Истолковать решение настоящей задачи. 6.

Любое изменение цены продукта, цен факторов и процентной ставки приводит к изменению соотношения между элементами двух строк матрицы задачи: строки «издерж- ои по найму, факторов» и строки «выручка от продажи продуктов» (стр. 528). На этой гснове показать, каким образом возникает решение о переходе от одного процесса к дру- кому. Показать'также, что изменение процентной ставки влияет на соотношения между элементами столбцов матрицы; определить влияние этих изменений на решения фирмы.

<< | >>
Источник: Р. Аллен. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЭКОНОМИЯ. 1963

Еще по теме 17.7. ПАРАДОКС РИКАРДО:

  1. Добавление II: О логических парадоксах
  2. 9.5 Парадокс познаваемости и кризис антиреализма
  3. Парадоксы и противоречия отечественной теории познания
  4. РАЗДЕЛ 2. Парадоксы коллективного выбора
  5. 17.7. ПАРАДОКС РИКАРДО
  6. Глава четвертая Лакан: парадоксы познания бессознательного
  7. О некоторых парадоксах психоаналитической теории
  8. «ПАРАДОКС ЛИДЕРА»
  9. О ТАК НАЗЫВАЕМОМ ПАРАДОКСЕ СВОБОДЫ
  10. Глава 8. Парадоксы рациональности
  11. Парадокс Аллайса
  12. Парадокс Эллсберга
  13. ПАРАДОКС ОЛСОНА
  14. Заключение. Парадоксы Просвещения