<<
>>

17.8. ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ ДЛЯ СЛУЧАЯ НЕИЗМЕННОЙ 3 СТРУКТУРЫ СПРОСА

В приводимой ниже задаче, отличающейся отфадачи раздела 17.6, исходными данными являются технология и имеющиеся в распоряжении фирмы ресурсы фиксированных факторов; при этом вместо условия продажи продуктов по заданным рыночным ценам ставится иное условие, а именно что продукты требуются рынком в определенных неизменных пропорциях.
Это условие определяет соотношения между объемами выпуска различных продуктов; в задаче же требуется максимизировать уровень производства.

Простейший способ решения такой задачи линейного программирования заключается в введении добавочного процесса или «псевдопроцесса», который распределяет продукцию по процессам в соответствии с технологией при соблюдении заданных пропорций. Технология фирмы дается матрицей А = [arJ размерности (к + т) X л, где первые к строк соответствуют к фиксированным факторам, а остальные т строк — т продуктам, и п столбцов соответствуют п альтернативным производственным процессам. В матрице А затраты удобнее представить положительными элементами. С добавлением «псевдопроцесса» получаем матрицу

В= [А [с],

где с есть вектор, состоящий из к нулевых элементов (первых) и следующих за ними т элементов. Он представляет неизменные пропорции спроса на продукты (например, шкала этих элементов может быть такова, что спрос на один из продуктов будет равен единице). Вектор Ь характеризует заданные ресурсы, то есть в нем имеется к заданных величин фиксированных факторов и т следующих за ними нулевых элементов. Если % есть вектор уровней п + 1 процессов, то задача линейного программирования будет состоять в том, чтобы максимизировать это можно представить как максимизацию выражения z = где ©п+1 — единичный вектор, последний элемент

которого равен единице. Следовательно, задача состоит в следующем: Максимизировать

Z — efn+i%,

при условии

ВХ<Ъ.

Что касается ограничивающих условий в задаче (1), то первые к ограничений суть неравенства, характеризующие пределы расхода фиксированных факторов; остальные т ограничений — уравнения, и они выражают факт полного размещения на рынке продукции при соблюдении заданных соотношений между их количествами.

т уравнений в задаче (1) определяют характерную особенность решения.

Каждое из этих уравнений есть линейная форма ОТНОСИТеЛЬНО At, А2, ... j А , приравненная какому-то числу, кратному А,п+1; множители — показатели кратности — суть элементы вектора с. Эти уравнения определяют A,ft+1 и т—1 элементов Я2,... , Хп через остальные (п—т + 1) элементов X. Если применяются все п процессов или если с самого начала исключены неприменяемые процессы, то п > т, то есть число процессов по меньшей мере равно числу продуктов. Тогда к неравенств в ограничивающих условиях, которые не содержат приводятся к к неравенствам относительно п—т + 1 элементов X. Чтобы максимизировать Яп+1, необходимо преобразовать в уравнения возможно большее число этих неравенств. Наибольшее число неравенств, которое можно преобразовать в уравнения надлежащим выбором значений переменной X, равно п—т + 1; остальные неравенства остаются неравенствами «меньше, чем». Однако каждое уравнение соответствует дефицитному фактору, а каждое неравенство «меньше, чем» — свободному фактору. Следовательно, в общем случае число дефицитных факторов равно п — (т—1), или на т—1 меньше числа применяемых производственных процессов.

Этот вывод очень важен. В предыдущей задаче (см. 17.6) число дефицитных факторов в общем случае было равно числу применяемых процессов. Уменьшение на т—1 числа дефицитных факторов в данной задаче вызвано ограничениями в рыночном спросе. Заданные иг—1 соотношений между т продуктами означают, что из числа применяемых процессов п—(т~ 1) являются взаимонезависимыми (их число равно числу дефицитных факторов), тогда как остальные т—1 процессов выполняют ограничивающие условия спроса. Чтобы практически использовать этот вывод, проще всего выразить его следующим образом: когда технологическая матрица сокращена путем исключения неприменяемых процессов и недефицитных факторов, то число строк равно [п — (т—1)] (число факторов) плюс т (число продуктов), то есть всего п + 1; число столбцов также равно п + 1, или числу применяемых производственных процессов п плюс один процесс потребления.

Следовательно, технологическая матрица, преобразованная в ходе решения, становится квадратной.

Двойственная задача составляется относительно k + т цен на факторы и продукты, образующих элементы вектора р: Минимизировать

(2)

при условии

В'р>ея+1.

Выражение, минимизируемое в задаче (2), есть стоимость фиксированных факторов по оценкам (расчетным); это условие нам уже знакомо. Первые п ограничений задачи (2) являются неравенствами, левые части которых «>0». Эти неравенства выражают то обстоятельство, что чистые издержки по каждому процессу (то есть издержки за вычетом выручки от продажи продуктов) не являются отрицательными, то есть что прибыли не являются положительными. Последнее ограничение носит чисто формальный характер; оно гласит, что стоимость набора продуктов, требующихся в определенных

? = Ь'р .

соотношениях, равна единице. Это условие попросту устанавливает масштаб цен р, и его обычно можно отбросить при рассмотрении только соотношений и^ежду ценами. Если расчетная оценка фактора в (2) оказалась нулевой, то это значит, что в ограничениях задачи (1) ресурсы фактора используются не до предела. Если же оказывается^ что в (1) процесс применяется, то в ограничениях (2) прибыль равна нулю.

Раз определены уровни процессов к и цены р, столбцы технологической матрицы А можно умножить на соответствующие Я, а строки — на соответствующие р; в результате получим стоимостную матрицу решения. Она показывает стоимость каждого фактора или продукта, израсходованного или произведенного в каждом процессе. Согласно ограничениям задачи (1), сложение элементов тех строк, которые характеризуют расход факторов, дает стоимость лимитирующих объемов соответствующих факторов (если они используются полностью), а строк продуктов — выручку от продажи соответствующих продуктов. Согласно ограничениям задачи (2), сумма элементов каждого столбца равна нулю, то есть в каждом из примененных процессах прибыль равна нулю.

Совершенно так же, как в разделе 16.7, соотношения между ценами, определяемые (2), равны нормам замены между факторами и продуктами, если только задача обладает достаточной гибкостью для необходимых изменений.

Теперь возможны три типа замены: между двумя факторами, между двумя продуктами, между фактором и продуктом. В общем случае для товаров г и s результат выражается следующим соотношением:

рг __ Увеличение xs ps ~~ Уменьшение ХТ

[прочие х (продукты и факторы) не изменены].

Здесь хг и xs — общий расход товаров (он положителен для факторов и отрицателен для продуктов). Проставив нужные знаки, получаем результаты для частных случаев. I.

Два фактора:

рг Увеличение расхода s-ro фактора тт Y —

= ^ - 1 — = Норма замены между факторами

ps Уменьшение расхода г-го фактора ^ ^ г

(прочие факторы и все продукты неизменны). II.

Два продукта:

рг Уменьшение выпуска s-то продукта тт —

- ———- = Норма замены между продуктами

ps Увеличение выпуска г-го продукта ^ r

(прочие продукты и все факторы неизменны).

(III) Один фактор и один продукт:

рг __ Увеличение выпуска s-то продукта _ ps Увеличение расхода г-го фактора

= Производительность г-го фактора при изготовлении 5-го продукта (прочие факторы и продукты неизменны).

В качестве иллюстрации приведем два простых примера.

Пример (а)

Технологию предприятия, производящего 'зерно и свинину с использованием двух фиксированных факторов (рабочая сила и земля), примем такой же, как в примере (а) раздела 17.5; введем лишь дополнительное условие, согласно которому рыночный спрос на зерно и на свинину характеризуется отношением с : 1.

Ьі

h

о

Технология Ресурсы Труд человеко-месяцы ~ 50 25 75 0^ Земля акры 5 50 60 0 Зерно 100 тп 1

2 -1 -1 с Свиньи 100 голов -1 0 1

2 1 Исходные данные следующие:

Задача линейного программирования состоит в максимизации Я,4 при условии: 50М- 25Я2-Ь 75Я3 &1, 5*1 + 50), 2-1- 60Я3 Ь2у Ч^і — А-2 -К 3 + ^4=0. Решить эту задачу можно, например, симплексным методом (см. 15.8). Если можно догадаться или предположить, что третий процесс не применяется (Я3 = 0), то доступно и простое графическое решение, аналогичное показанному на рис.

62, б. Решение должно * состоять из двух этапов. 2

Во-первых, ограничения, включающие предельные значения факторов, суть

50^ + 25^ и 5^+50^ <Ь2.

Область допустимых решений отображается заштрихованной площадью на плоскости (рис. 64). Прямая АР соответствует ограничению ресурсов труда, если это ограничивающее условие считать уравнением; прямая BP таким же образом ограничивает ресурсы земли. Любая точка на одной из этих прямых соответствует полному использованию соответствующего фактора. Координаты точки Р, в которой ресурсы обоих факторов используются до предела, определяются решением этой системы уравнений: Х1 = (2Ь1— &2)/95 и %2 = (10Ь2— Ьг)/475. Тогда наклон прямой ОР (тангенс угла с осью ОХг) равен х/5 (10&2 — &і)/(261 — Ь2).

'Во-вторых, остальные ограничения суть уравнения, из которых получаем

Следовательно, нужно максимизировать при условии = (1 /с) {к2 — 1І2Хі), то есть

—_ = const.

Будем искать наивысшую точку области допустимых решений на прямой OQ (см. рис. 64), наклон которой равен с-\-1/2. Решением задачи являются Xi и Я2 координаты точки Q, которая расположена на прямой АР (труд дефицитен), если с+1/г < х!ъ (Ю&2—&і)/(2Ь1 — &2), и на прямой BP (земля дефицитна), если с-|-1/2 > > 1/5 (10&2 — &і)/(2Ьх — b2). Значит, применяются оба процесса, но только один из факторов используется до предела наличных ресурсов. Однако лишь один из процессов является независимым, ибо условия спроса устанавливают неизменное отношение %2 равное с-1-1/2; это соответствует дефицитности только одного фактора. Если с мало, дефицитным является труд; больший спрос предъявляется в таком случае на свиней, которые требуют значительных затрат труда. Напротив, если больший спрос предъявляется на зерно (с велико), то дефицитной является земля.

В примере, изображенном на рис. 64, bl = 50 человеко-месяцев, Ь2 — 521/2 акров,

с = 1.

Спрос на свиней достаточно велик по сравнению со спросом на зерпо, что делает труд дефицитным фактором.

Уровни производства равны = 4/7 и Х2 = 6/7.

Двойственная задача линейного программирования (относительно четырех расчетных оценок) представляется в следующем виде:

Минимизировать

?> = ЬіРІ+Ь2Р2

при условии

1

5°РІ + 5Р2+уРз—Рь > 0» 25/?!+50/?2—/?3>0.

Третье ограничение (относительно с, р3 и /?4) опущено, поскольку оно предназначается лишь для установления удобного масштаба цен. При решении числен- ного примера, иллюстрированного рис. 64, получаем следующее соотношение цев (см. упражнение 3):

Рі:Р2:Рз'- Р4= 1: о : 25:62,5.

Это решение снова показывает, что в данном случае ресурсы земли не используются до предела. Норма замены свиней на зерно определяется отношением 62,5 :25, или 5:2. Производительность труда при производстве зерна равна 1 :25 (то есть 4 т зерна за 1 человеко-месяц), а при откорме свиней 1 :62,5 (то есть 1,6 свиньи за 1 человеко-месяц). Если одна из цен установлена, то из приведенных соотношений можно получить остальные цены; так, если цена зерна определилась в 10 ф. ст. за 1 т, то свинья стоит 25 ф. ст., а рабочий получает 40 ф. ст. в месяц.

Яснее всего характер решения выявляется с помощью стоимостной матрицы в фунтах стерлингов (где выпуску соответствуют положительные элементы), построен ной с использованием расчетных оценок (цена зерна принята равной 10 ф. ст. за 1 т): Оценка единицы Первый процесс Второй процесс Итого Используемые факторы: труд 40 ф. ст./человеко- -1143 -857 -2000 месяц земля — 1 і і Продукция: зерно 10 ф. ст./т -286 857 571 свиньи 25 ф. ст./гол. -1429 — 1429 20 , 300 ,е 5 . со 1

і Не является дефицитной; используется -у Н—~ = 45-у акра < 52— акра.

4 6

- Уровни производства равны (см. выше): А, і = у, = у—Пргшеч. ред.

Пример (б). Следующий пример основан на задаче, составленной Камероном [2]. Имеется один фиксированный фактор (труд, имеющиеся в распоряжении ресурсы его- составляют 300 человеко-месяцев). С помощью трех процессов получаются три продукта (свежая и копченая рыба, дрова); спрос на эти продукты (в тоннах) определяется соотношением 2:1:1. Исходные данные следующие. Ресурсы

300

0

0 0

4 0 0 -1

ТРУД

Свежая рыба Копченая рыба Дрова

Технология

человеко-месяцы

т т т

1 ""J" 0

-1 2 0 -1 0 3 Следует подчеркнуть, что во втором процессе (копчение рыбы) потребляются! рыба и дрова, производимые в двух других процессах. Задача линейного программирования состоит в следующем: Максимизировать Я4

При УСЛОВИИ 7A,1-f-A,2-f--300

и — X1+2X2+2U=0; — Л2+Я,4 = 0; ЗХ2 —Х3+а,4 = 0.

Исходя из последних трех уравнений, определяем соотношения между К:

і

ввиду чего первое ограничение (неравенство) превращается в

30Л2 < 300.

Я4=Я,2 максимизируется при Я,2 = 10, когда ресурсы труда используются до предела.. Имеется один дефицитный фактор и один независимый процесс (и два зависимых процесса): = 40, Я2 = 10, Я3 = 40.

Двойственная задача состоит в минимизации рг при условии

—Р2 >0»

Рг+ —Рз + > о,

"Т Pi —Р4>0-

Последнее ограничение (определяющее масштаб цен) снова опускается. Соотношения между ценами получаем, рассматривая эти три выражения как уравнения (все процессы применяются с нулевой прибылью):

Рі: -Рг: : =4 : 28 : 63 :1.

Эти соотношения определяют производительность труда и нормы замены между продуктами. Если* задаться ценой дров, равной 5 ф. ст. за 1 т, то это обусловит значения цен остальных продуктов, что позволяет построить стоимостную матрицу в фунтах стерлингов: Оценка Первый процсес Второй процесс Третий процесс Итого Используемый фактор: труд 20 ф. ст./человеко-ме -5600 -200 -200 -6000 сяц Продукты: свежая рыба 140 ф. ст./т 5600 -2800 2800 копченая рыба 315 » » » — 3150 — 3150 дрова 5 » » » — -150 200 50 Задачи и упражнения 1.

В простой технологической матрице упражнения 2 из раздела 17.6 заданные ресурсы снова примем равными 50 человеко-месяцам и 260 акрам. Будем считать, что спрос на пшеницу и сено (в тоннах) выражается неизменным соотношением 1 : с. Показать, что ресурсы труда или земли используются неполностью, если соответственно с>5/з или с <6/8- Интерпретировать решение. Найти расчетные оценки и истолковать их. 2.

В примере (а) в тексте настоящего раздела рассмотреть случай с-{-1/2 — = 1/б (10Ь2 — 61)/(2&1 — 62); интерпретировать полученные результаты. Можно ли назвать этот случай нетипичным или «вырожденным»? 3.

Решить задачу, двойственную по отношению к примеру (а), то есть определить оценки, если 6Х = 50, = 521/а, с=1. Приняв р^— 1, исключим р3 и получим:

минимизировать g = 50 (/>х -)-1,05 /?2)

при условии 62,5jp1 + 30/>2> 1.

Построить графическое решение на плоскости Opip2 и установить, что Pi: Р2 : Рз : Pi =1: 0 : 25 : 62,5. 4.

В примере (б) в тексте настоящего раздела показать, что норма замены рыбы равна 28 т копченой за 63 т свежей и что производительность труда составляет примерно 0,14 т свежей рыбы и 0,06 т копченой рыбы за 1 человеко-месяц.

<< | >>
Источник: Р. Аллен. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЭКОНОМИЯ. 1963

Еще по теме 17.8. ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ ДЛЯ СЛУЧАЯ НЕИЗМЕННОЙ 3 СТРУКТУРЫ СПРОСА:

  1. 10.6. РЕШЕНИЕ ДЛЯ СЛУЧАЯ ТРЕХ ОТРАСЛЕЙ
  2. ГЛАВА 15 ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
  3. 15.1. ПРОСТОЙ ПРИМЕР ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
  4. 15.3. ПРИВЕДЕНИЕ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ К РЕШЕНИЮ ИГРЫ
  5. 15.4. ОБЩАЯ ПРЯМАЯ И ДВОЙСТВЕННАЯ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
  6. 15.5. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ОБЩИХ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ И ИГРЫ С ДВУМЯ УЧАСТНИКАМИ И НУЛЕВОЙ СУММОЙ
  7. 15.6. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ ДЛЯ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ ОПЕРАЦИЙ
  8. 15.9. РЕШЕНИЕ СИМПЛЕКСНЫМ МЕТОДОМ ПРОСТОЙ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
  9. 16.3. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ОТКРЫТОЙ СИСТЕМЫ ЛЕОНТЬЕВА В ВИДЕ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ОТРАСЛЕЙ
  10. 16.4. ЗАМЕНЯЕМОСТЬ В ОТКРЫТОЙ СИСТЕМЕ ЛЕОНТЬЕВА
  11. 16.7. ЦЕНЫ И ДВОЙСТВЕННАЯ ЗАДАЧА
  12. 16.9. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ; МОДЕЛЬ РОСТА НЕЙМАНА
  13. 17.3. ПРЕДЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ И ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ФИРМЫ
  14. 17.4. ТЕХНОЛОГИЯ ФИРМЫ
  15. 17.5. ДВЕ ИЛЛЮСТРАТИВНЫЕ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
  16. 17.6. ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ ДЛЯ ФИКСИРОВАННЫХ ФАКТОРОВ И ЗАДАННЫХ ЦЕН НА ПРОДУКТЫ
  17. 17.7. ПАРАДОКС РИКАРДО
  18. 17.8. ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ ДЛЯ СЛУЧАЯ НЕИЗМЕННОЙ 3 СТРУКТУРЫ СПРОСА
  19. 18.6. СПОСОБЫ ПОТРЕБЛЕНИЯ И ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ