<<
>>

18.1. ПОЛЕЗНОСТЬ. ПОРЯДКОВАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ПОЛЕЗНОСТИ

Будем рассматривать поведение индивидуального потребителя. Пусть имеется п потребительских товаров (х1Ух2, ... и потребление индивидуума характеризуется вектором:

X = {х^, Х2у • • • 1

и, следовательно, точкой Р в /г-мерном пространстве товаров.

Примем, что уровень удовлетворенности индивидуума или полезности есть функция его потребления:

и = и(х1У Х2, ..., хп), (1)

где и — непрерывная функция, имеющая непрерывные производные первого и второго порядка. Вместе с тем связь между уровнем полезности и и вариантом потребления х здесь — порядковая, то есть рассматривается в порядковом (качественном, ordinal) смысле; иначе говоря, функция и(х19 х2л ... , хп) лишь одна из многих функций, характеризующих полезность, и для этого может быть использована любая другая функция, в которой элементы потребления] следуют в том же порядке. Это значит, что функция и определена с точностью до возрастающего (монотонно) преобразования:

Полезность = ф (и), (2)

где ф — любая функция, удовлетворяющая условию ф'(и) > 0. Например:

au + b; аи2\ a log и (а > 0).

Все эти функции могут описывать порядковую полезность.

Функция полезности (1) отображается гиперповерхностью в (п + 1)- мерном пространстве, то есть образованном из п измерений пространства товаров и одного дополнительного измерения, добавленного для уровней полезности, которое можно назвать «вертикальным». «Высоты» точек гиперповерхности характеризуют полезность каждого из сочетаний товаров при потреблении. Изогипсы («горизонтали») гиперповерхности — это п-мерные геометрические места точек Р заданных уровней полезности в пространстве товаров; совокупность их составляет карту безразличия индивидуума. Таким образом, если число товаров равно всего двум, то функция полезности и = и(хх, х2) отображается поверхностью в трехмерном пространстве, отнесенной к осям координат Оххх2и. Карта безразличия представит собой семейство двумерных кривых в плоскости Оххх2 пространства товаров:

и (хг, х2) — const

для различных параметров этих кривых — постоянных уровней полезности.

Форма порядковой функции полезности (2) в общем случае определяется выбранным типом функции ф.

Форма поверхности полезности (при п = 2) или гиперповерхности полезности (тг>2) также зависит от выбранного типаф; «высоты» точек поверхности можно менять как угодно произвольно, но всякое изменение потребления, которому соответствует увеличение «высоты» (полезности) на какой-либо одной поверхности или гиперповерхности, будет характеризоваться увеличением «высоты» и на любой другой поверхности. Поэтому форма «горизонталей» совершенно не зависит от порядкового места вариантов потребления: «горизонтали» одной поверхности или гиперповерхности (то есть геометрические места точек одинаковой полезности) будут «горизонталями» и любой другой поверхности или гиперповерхности. Изменяется лишь постоянный уровень полезности, сопоставленный каждой «горизонтали». Следовательно, карта безразличия индивидуума не зависит от свойства порядкового места полезностей; она не изменится, какую бы ф ни взяли в качестве функции (2). И обратно, если для индивидуума задана карта безразличия, являющаяся семейством геометрических мест точек, отображающих равноприемлемые (безразличные) сочетания товаров, то сразу же можно составить порядковую функцию полезности (2). Необходимо лишь сопоставить упорядоченную совокупность уровней полезности с семейством геометрических мест точек безразличия и описать эту совокупность некоторой функцией и = и(хъ х2, ... , хп); тогда одинаково хорошо можно воспользоваться любым возрастающим (монотонно) преобразованием <р(и).

Следовательно, понятие порядковой полезности можно выразить в двух альтернативных и равносильных формах: либо в виде функции полезности и = и(х1ч х2, ... , хп), подчиненной монотонному преобразованию <р(и), где ф'(гг) > 0; либо в виде карты безразличия, представленной и(хj, х2, ... , хп) = const или семейства кривых. Ограничения, налагаемые на тип функции и или на карту безразличия, могут быть добавлены в дальнейшем; например, обычно допускается, как мы укажем позднее, что кривые безразличия монотонно убывают вниз и выпуклы относительно начала координат, по крайней мере для относящихся к рассматриваемым областям изменения переменной х.

Карта безразличия таким же образом связана с полезностью, как геометрические места точек (кривые) постоянного объема производства связаны с производственной функцией.

При любом варианте потребления (хг, х2, . .., хп) существуют две первые производные функции полезности и: Йля г, s = 1, 2, . . ., п. Построим матрицу:

- д і \ - д2 ( \ Ur — д^гиКХ1> • • • » Хп) И urs — dxsU\XV Х2* • • • 1 Хп) ? 0 щ ?• Un ' ui и1г и12 .. ? ? "ш "21 и2ї щп -ип Unl Un 2 • • ипп. которая определена при любом варианте потребления (хг, х2, ..., хп)_ Так как urs — usr, то U есть симметрическая матрица. Ее можно считать неособенной, и значение определителя принять равным f/=|U|. Эта матрица (д+1)-го порядка; ее общий элемент можно обозначить через urs(r, 5 = 0, 1, 2, ..., п), если условиться, что

и00 = 0 и ur0 = u0r = ur.

Производные иг и urs, а значит и матрица U, зависят от типа функции ф, взятой в общем ее выражении (2). Важно изучить, каково влияние выбора функции ф. Первые частные производные равны:

^-ф(и) = ф'(иК, (3)

так что отношения между иТ не зависят от типа функции ф. Нельзя иг назвать «предельной полезностью» г-го товара. Однако соотношение ur: us есть величина определенная, не зависящая от характера функции ф, и ее*

можно назвать предельной нормой замены между г-м и 5-м товарами: .

dxs иг

dxy us

для любых изменений (дхт и dxs) при движении по кривой безразличия.

Вторые частные производные равны:

дх*дха Ф (и) = ф' (u)urs + Ф" И urus. (4)

Их значения зависят от принятой формы функции ср; даже знак второй частной производной не инвариантен. В равной мере и матрица U зависит от принятой формы ф. Это не столь важно, если на величину определителя U| U | и различных миноров или алгебраических дополнений этого определителя не влияет выбор типа функции ф. При любом типе ф определитель принимает следующую форму:

Ф = |{ф>Кз + ф'>Ки8}| (г, 8 = 0, 1, 2, ...,п).

Это следует из (3) и (4), если принять по соглашению, что гг00 = 0. Такой определитель можно представить в виде суммы двух определителей, если каждый элемент расчленить на два его слагаемых, но единственная часть этой суммы, которая не обращается в нуль—это |ф'(и)иГ8|, ибо во втором определителе две строки или два столбца имеют пропорциональные элементы. Следовательно,

Ф = I ф' (и) urs I = {ср' И}п+11 игв |. (5).

Из (5) следует, что, если отвлечься от положительного множителя {ф' (и)}п+1, то определитель U = \urs\ будет одинаковым для всех типов порядковой функции полезности. Это же можно сказать и о любом миноро или алгебраическом дополнении определителя U.

В частном случае, если функция полезности в общем виде представляется выражением ф = + где а и Ъ — постоянные (а > 0), то,, согласно (3) и (4),

-^Ф (и) = аиг и^ф (к) = <шГ8.

Все соотношения между первыми и вторыми частными производными инвариантны; кроме постоянного (положительного) множителя а, задаются значения иг и urs. В этом случае можно говорить о «предельной полезности» иг и об определенных знаках ее производных urs; например, если игг < 0, то ит можно считать «убывающей предельной полезностью». Это — тот случай, когда и определено с точностью до линейного преобразования (аи + й), то есть можно выбирать только единичный и нулевой уровень и. Именно этот случай соответствует (см. 18.5) «измеримой» или «количественной» полезности. Это — весьма особый частный случай, не включаемый в понятие порядковой (качественной) полезности.

Это — основа теории поведения потребителя в условиях безденежного хозяйства. Здесь ничего не говорится о том, предпочитает ли потребитель (или предъявляет спрос) наличные деньги или облигации; данная теория не связана с теорией предпочтения ликвидности (см. гл. 2). Моришима [16] показал, что при определенных допущениях эту теорию можно распространить и на денежное хозяйство. Обычная, порядковая, функция полезности и(хи х2, ... , хп) для п потребительских товаров усложняется до вида: гДе Ри Ри ••• » Ра — цены товаров, М и В — количества наличных денег и облигаций, имеющихся у потребителя, ръ —цена облигаций и L — индекс будущего уровня жизни, желательного для потребителя. Здесь q — вероятность достижения в будущем уровня жизни L, зависящая от финансовых ресурсов потребителя в настоящий момент (М и В) и от существующих цен. В более широкой функции полезности ф, опять-таки являющейся порядковой, показатели, натуральные и денежные, разделяются. Важнейшее допущение состоит в том, что предельная натуральная норма замены между двумя реальными благами не зависит от денежных характеристик (цен, имеющихся количеств наличных денег и облигаций). Моришима развивает на этой основе теорию поведения потребителя, которая включает в себе традиционную (безденежную) теорию и связана с понятиями предпочтения ликвидности. Например, Моришима показывает, что если с увеличением процентной ставки возрастают сбережения, то уменьшается спрос на товары в вещественном их выражении (за исключением малоценных товаров) и возрастает спрос на наличные деньги и облигации (не говоря уже о влиянии замены).

Задачи и упражнения 1.

Показать, что U = | U | есть квадратичная форма относительно переменных иг, коэффициенты которой зависят только от значений вторых производных urs. Для случая двух товаров записать этот определитель в виде:

U = — (M22wI —2мі2м1м24-м11іг|). 2.

Приняв V2 и2 за мерило полезности, то есть <р(и) = 34 и2, причем функция и задана, покажите, что определитель Ф = мп+1?7. Написать это выражение в развернутом виде для случая двух товаров. 3.

Пусть в качестве другого показателя полезности принят log и. Показать, что при этом Ф = U/u71*1. Сравнить это с результатом, полученным для предыдущей задачи.

<< | >>
Источник: Р. Аллен. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЭКОНОМИЯ. 1963

Еще по теме 18.1. ПОЛЕЗНОСТЬ. ПОРЯДКОВАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ПОЛЕЗНОСТИ:

  1. РАЗДЕЛ 2. Полезность и предпочтения. Количественная и порядковая теории полезности
  2. Лекция 13. Порядковая полезность и спрос
  3. РАЗДЕЛ 3. От порядковой полезности к количественной
  4. 18.5. ИЗМЕРИМОСТЬ ПОЛЕЗНОСТИ
  5. РАЗДЕЛ 2. Полезность и спрос
  6. Теория предельной полезности.
  7. РАЗДЕЛ 1. Общая и предельная полезность
  8. Случайные полезности
  9. Лотерея как средство измерения полезности
  10. Лекция 12. Количественная полезность и спрос
  11. ЕЩЕ НЕСКОЛЬКО ПОЛЕЗНЫХ СОВЕТОВ
  12. Полезность богатства
  13. § II. Полезность правительства
  14. РАЗДЕЛ 1. Производство полезности
  15. РАЗДЕЛ 2. Полезность обмена