<<
>>

18.2. СПРОС ПОТРЕБИТЕЛЯ

Пусть индивидуальный потребитель, порядковая функция полезности для которого есть и = и(хг, х2, ... , хп), имеет заданный денежный доход М и может купить на рынке п товаров по заданным ценам р2, ...
, рп. Задача состоит в определении такого варианта его спроса количеств (хи х2,... ,,#п), при котором полезность становится максимальной, то есть максимизируется и, или, в равной мере, ср(и). Решение является условным максимумом; значения переменных х определяются с целью максимизации и при условии

^ргхг = М.

г

Введя множитель Лагранжа Я, преобразуем это выражение: max [и — % (2 Ргхг — М)).

Следовательно,

иг = Хрг (г = 1, 2, ..., и), j

= (1) г /

Уравнения (1) суть условия равновесия для потребителя; их число достаточно для выражения К и п величин спроса на товары (хи х2, ... , хп) через заданные цены и доход потребителя.

Если цены и доход считать параметрами, то условия (1) определяют спрос на количества товаров как функции цен р и дохода М. Пропорциональное возрастание всех цен/? и дохода М (и уменьшение в такое же число раз величины Я) не изменяет (1), то есть спрос потребителя остается прежним. Функции спроса однородны (нулевой степени) относительно переменных. Это — характерная особенность задачи: рассматриваются только соотношения цен и дохода. Ничего не изменится, если, например, удвоить все цены, а также денежный доход потребителя. Рассмотрим альтернативный вариант задачи: примем один товар (n-й) за базисный (за единицу измерения) и приравняем рп единице. Тогда спрос потребителя будет выражаться функциями относительно (п—1) цен и дохода, и эти функции не являются однородными, так как рп = 1 определяет уже относительные значения цен (и дохода).

Выше мы для удобства математических расчетов ввели параметр К. Согласно условиям (1), при состоянии равновесия его значение равно единому (общему) значению соотношений иг : рг, то есть

^ и>1 ип

Pi Р2 * " Рп

В той же мере, в какой иг можно считать «предельными полезностями», которые пропорциональны ценам в состоянии равновесия, К можно назвать «предельной полезностью денег».

Она также является функцией цен и дохода. Говоря более строго, условие равновесия (для порядковой функции полезности) состоит в том, что всякая предельная норма замены (ur:us) равна соответствующему отношению цен (pr:ps). Тогда предельная норма замены одного из товаров и денег (иг: К) равна отношению цен

Уравнения (1) суть необходимые условия максимизации и. Достаточные условия заключаются в том, что:

d2u= 2 2 uradxrdxa <0

Г= 1 8= 1

при

2 prdxr = 0.

Г— 1

Последнее следует из условия 2 РгХт — М. Поскольку в состоянии равновесия рг пропорционально иг, приведенные выше условия представляются в следующем виде:

71 П

d2u = 22 urs dxs < 0

г=і s=l

при (2)

du = 2 ur d%r = r=i Это —условия «устойчивости» в том ее понимании, которое сформулировал Хикс [9]. Чтобы обеспечить во всех случаях нахождение истинного максимума вне' зависимости от заданных цен и дохода, эти условия должны соблюдаться для любых отклонений (dxr), из которых не все равны нулю, ОТ ВСЯКОГО положения х2, ..., хп).

Условия (*2) обусловливают определенную отрицательную форму для некоторой квадратичной формы при соблюдении ограничивающего соотношения, то есть

Г S

ДЛЯ всех (не все ИЗ которых равны нулю) при 2ггДг==0- Эти усло-

г

вия сформулированы в разделе 17.5. Они заключаются в следующем: (3)

<о, 0 ui Щ 0 и2 и3 И1 ип и12 >0, ui ип "іа и13 и2 U21 U22 и2 "21 и22 и23 Щ ^31 и32 изз то есть в том, что главные миноры определителя U = | U | будут знакочередующимися. Эти условия не зависят от того, какая выбрана форма функции полезности ф(и) (см. упражнение 3). 545

35 Р. Аллен Чтобы придать этим условиям более удобную форму, воспользуемся результатами, полученными в конце раздела 13.5. Они касаются связи соответствующей квадратичной формы с обратной матрицей U"1. При этом для любых значений ут и уs, из которых не все равны нулю, условия устойчивости выражаются следующим образом:

2 (4)

Г S

Здесь Urs — алгебраическое дополнение элемента urs в определителе (и + 1)-го порядка U = |U|.

Следует отметить, что выражения (3) и (4) — различные способы представления всей совокупности условий устойчивости.

Одно частное условие, выбранное из всей этой совокупности, может быть получено на основе двух последних неравенств (3):

^<0 (г = 1, 2, ..., п).

Его можно получить также из (4), приняв нулевыми значения всех у, кроме ут. Но это —только одно из многих условий, заданных в развернутом виде неравенствами (3), а также и (4).

Задачи и упражнения 1.

Показать, что если функция полезности есть м = 1/2 (a11xf-{-2a12x1x2-{-a22xl)1 то спрос определяется через цены (/?!, р2) и доход (М) с помощью следующих уравнений:

allxl-\-a12X2=kPl> «12^1 + ^22^2 = кр2; PlXx-\-p2X2=M.

Доказать, что линейной будет зависимость спроса от Му но не от рг и р2. Каким будет значение X для состояния равновесия? Рассмотреть условия монотонного убывания кривых спроса. 2.

Если функция полезности является такой же, как и в предыдущей задаче, показать, что условием устойчивости является выполнение неравенства а22р\— — 2ai2/>i7>2 + flll/?2<0 при любых Рх и р2. Вывести, ЧТО при ЭТОМ Яп<0, а22<0» аі2<Саііа22» Показать, что кривые спроса явятся тогда монотонно убывающими. Объяснить, почему условие отрицательности а1г и а22 вызывает «нереальность» квадратичной функции полезности. 3.

Показать, что условия устойчивости (3) не связаны с порядковым свойством полезности и.

<< | >>
Источник: Р. Аллен. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЭКОНОМИЯ. 1963

Еще по теме 18.2. СПРОС ПОТРЕБИТЕЛЯ:

  1. 18.7. ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ, КАСАЮЩАЯСЯ ТЕХНОЛОГИИ ПРОИЗВОДСТВА И ВКУСОВ ПОТРЕБИТЕЛЕЙ (СТРУКТУРЫ СПРОСА)
  2. Спрос. Кривая спроса. Факторы изменения спроса.
  3. РАЗДЕЛ 1. Индивидуальный спрос и спрос на рынке в целом.
  4. І. Методика обсуждения вопроса «Закон спроса. Эластичность спроса»
  5. РАЗДЕЛ 2. Кривая спроса
  6. РАЗДЕЛ 2. Полезность и спрос
  7. Лекция 2. Спрос
  8. Эластичность спроса и предложения.
  9. Спрос и предложение на рынке.
  10. РАЗДЕЛ 1. Понятие сдвига кривой спроса
  11. Лекция 5. Индивидуальный и рыночный спрос