<<
>>

18.3. ВЛИЯНИЕ ДОХОДА И ВЛИЯНИЕ ЗАМЕНЫ

Функции спроса для индивидуума, то есть зависимость каждого из значений х от цен и дохода, задаются условиями равновесия:

иг = Крг и ^ргхг = М (г=1, 2, ..., п). (1)

Эти (гс + 1) уравнений мы можем продифференцировать по любой из переменных или по всем переменным М и рг (г= 1, 2 ..., п), определив таким образом отклонения спроса при.

изменениях цен и дохода.

Во-первых, рассмотрим случай увеличения дохода М при неизменных ценах. Продифференцируем уравнения (1) по М и расположим полученные уравнения в надлежащем порядке:

S

Произведем подстановку pr = (1/Х)иг\ тогда они приобретают следующий вид: *т

(2)

S Эту систему уравнений можно решить с помощью правила Крамера, относительно значений { — (1 /Х)(дХ/дМ)} и п переменных dxJdM. Для системы (2) матрицей коэффициентов будет U; величина ее определителя равна U = | U |, а алгебраические дополнения элементов последнего суть Ur и Urs. Решением системы (2) является дх8 __ . и8

дм~А и

(3)

($ = 1, 2, ..п) и аналогичное выражение для { —(1 /Х)(дХ/дМ)}, которое нам не требуется. В условиях устойчивости предыдущего раздела (см. 18.2) ничего не говорится о знаке величины Us. Следовательно, изменение спроса, вызванное увеличением дохода и определяемое уравнением (3), может быть как положительным, так и отрицательным. С возрастанием дохода спрос на некоторые товары увеличивается, на другие (малоценные) —уменьшается.

Далее, рассмотрим повышение одной цены (скажем, рг), причем остальные цены и доход остаются неизменными. Продифференцируем уравнения (1) по р± и произведем подстановку рг = (1Д) иТ:

(4) и,

, п). Из системы уравнений (4) с помощью правила Крамера можно определить значения п переменных dxjdpx и переменной ( — 1/Х)(дХ/др1), которая нам не требуется: (5=1, 2, .п).

U

дРх 1 U ^ Л Вместо рг можно выбрать любую цену рг\ тогда, произведя соответствующие подстановки в (3), получим результат в общем виде: (5)

^ = — хг щЛ-Xrs (г, s — 1, 2, ..., гс), где (6)

(г, * = 1,2,...,п). Согласно (5), изменение цены одного товара влияет на спрос, причем оно состоит из двух слагаемых: одно из них есть dxJdM, а второе обозначено через Xrs и определяется (6).

Этот результат впервые получил Слуцкий [29], а позднее —Хикс и Аллен [8].

547

35* Первое слагаемое в уравнении (5) —это влияние дохода. Увеличение цены рг соответствует снижению реального дохода, а следовательно — уменьшению спроса на все товары, для которых (dxJdM) > 0, и увеличению спроса на все малоценные товары, для которых (dxJdM) < 0. Чтобы исключить это влияние, а значит выделить только другое влияние (влия- ниє замены), рассмотрим увеличение dpr цены рг, сопровождаемое компенсирующим увеличением дохода dM = xTdpr. Спрос на любой товар при таком увеличении цены изменяется следующим образом:

Следовательно, в соответствии с (5), компенсированное изменение спроса равно:

dxs у

dPr rs*

Это — влияние замены; оно показывает результат относительных изменений цен, то есть вызванную ими взаимозамену товаров при потреблении. Направленность изменения спроса на товар xs при компенсированном изменении цены рг определяется знаком выражения Xrs, даваемым (6). Если Xrfe > 0, то с возрастанием цены рг спрос на xs увеличивается; два товара взаимозаменяемы. Если Xrs <0, то с ростом цены рг спрос xs уменьшается; товары взаимодополняемы.

Теперь вступают в силу условия устойчивости (4) из раздела 18.2. Их можно записать в следующем виде:

Для любых значений у, из которых не все равны нулю,

22xrs^sг s v '

В частности, приравняв нулю значения всех у, кроме уг, получим:

Хгг<0 (г = 1, 2,...,п). (8)

Кроме того, имеет место еще одно соотношение, которое всегда соблюдается, независимо от выполнения условий устойчивости:

2 xrsPs=2 х ^?=4 ]>>s t/rs=о.

S S S

Здесь элементы первой строки определителя U умножены на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки (расположенной через г строк после первой) этого определителя, и, согласно правилу разложения определителей, сумма таких произведений всегда равна нулю. Следовательно,

2ХгзЛ = 0 (г = 1, 2, ..., п). (9)

S

Если условия устойчивости удовлетворяются, то значения слагаемых замены, Xrs, ограничены соотношениями (7) — (9).

Это позволяет сделать множество выводов, важнейшие из которых следующие:

Поскольку U есть симметрическая матрица, то Urs — Usr и, значит, Xrs = Xsr, то есть соотношения замены между двумя товарами симметричны. Согласно (8), непосредственное влияние компенсированного изменения цены суть (dxjdpr) = Xrr < 0, то есть спрос на товар уменьшается с увеличением цены на него. Это касается компенсированного увеличения цены, сопровождаемого соответствующим увеличением дохода. Отсюда не следует, что некомпенсированное повышение цены также вызывает сокращение спроса. И в самом деле, в соответствии с уравнением (5):

Здесь ( — Хгг) есть величина положительная, однако и ( — дХг/дМ) может оказаться положительной величиной: если товар малоценен и( преобладающим может быть влияние дохода, то (дхг/дрг)> 0. Это —хорошо известный парадокс Гиффена\ при повышении цены малоценного товара возможно увеличение, а не уменьшение спроса на этот товар (например, при низком уровне дохода).

Что же касается «перекрестных», взаимных влияний компенсированных изменений цен, то здесь можно сказать только одно: критерием взаимозаменяемости или взаимодополняемости двух товаров является знак выражения Xrs. Согласно (9):

2' Xrs Ps=( — xrr) Pr > О»

s

где 2' означает суммирование по вфг. Все Xrs (при заданном г, s Ф г)

S

могут оказаться положительными, но не все отрицательными. Все товары могут быть взаимозаменяющими, но исключено, чтобы все они были взаимодополняющими. В любой системе товаров существует предел взаимодополняемости.

Важное значение ограничений (7), в которых используются все условия устойчивости, становится очевидным при рассмотрении спроса на группу товаров, когда цены на все товары изменяются в одинаковое число раз. Рассмотрим в качестве одной группы товаров первые по порядку т товаров; пусть dp есть пропорциональное изменение цены, так что dp= (dpr/pr) 1,2, ..., т). Обозначим через vr = prxr расходы на г-й

т

товар и через г> = 2 vr расходы на все товары группы.

Тогда, если изме-

г= 1

няется цена только r-то товара [{dpr/pr)= dp], то dVs ^JiTdpr = P*WfrdPr = (с0гласн0 (5))>

= ( - PsXT Щ + PsXrs) Pr dp,

то есть

dvs dvs , y,

dp ~~ vr dM-TPrPs^rs-

Если цены на все товары изменяются пропорционально, то, суммируя все такие уравнения со значениями индексов г и s, пробегающими от 1 до гс, и обозначив через v = 2 vn можно написать:

m m

r= 1 S=1

Это есть уравнение для группы товаров; оно имеет в точности такой же вид, как уравнение для единичного товара, входящего в группу. Более того, слагаемое, представляющее замену для группы при пропорциональном повышении цен, равно:

ш m

2 2ргА*г.<О.

г—і S=1

Этот результат получим, если в неравенстве (7) считать значения m первых у-ов ценами, а остальные г/ — нулевыми. Слагаемое замены отрицательно, совершенно так же, как Хгг для одного товара, и совокупный спрос (в стоимостном выражении) по группе снижается, если имеет место пропорциональное (и компенсированное) повышение цен. Именно в этом смысле группу товаров можно рассматривать как один товар так, как это делал Хикс [9].

Задачи и упражнения

1. Представить уравнение (5) в виде уравнения эластичности:

рг дх& = ргъг / М dxs\ pr х xs дрт М \ xs дМ J xs r'

Показать, что коэффициент слагаемого, учитывающего влияние дохода, является здесь долей дохода, затраченной на приобретение рассматриваемого товара (после изменения цены), и рассмотреть следствия, связанные с парадоксом Гиффена. 2.

Если имеются только два товара, показать, что единственный член «перекрестной» замены Х12 является положительным и, следовательно, взаимодополняемость товаров невозможна. В какой степени возможна взаимодополняемость в случае трех товаров? 3.

На основе ограничения (7) показать, что при любых ценах (из которых не

т п

все равны нулю) и при любом т <; п справедливо неравенство 2 2 ^rsPrPs <С

г= 1 s=i

т п

Затем воспользоваться уравнением (9) и доказать, что 2 2 Xrsprp8>0.

Объяс-

r= 1 s=m+l

пить, каким образом полученный вывод показывает, что если все товары разбить на две группы, то одна группа заменяет другую, и взаимодополняемости между группами быть не может. 4.

Рассмотреть задачу питания (для двух продуктов и двух показателей питательности), сформулированную в разделе 15.3 и иллюстрированную рис. 50, а именно:

минимизировать z = p1x1-\-p2x2

при условии «11^1 +«12^2 >

Показать, что количества покупаемых продуктов (хг и #2) ПРИ изменении цен остаются неизменными (оба положительны) до тех пор, пока (ац/а12) > (pi/p2) > (а21/а22) (если для удобства рассуждений считать, что а11а22^> а12а21). Минимальное значение z зависит от цен. Показать, что при уменьшении рг (р2 фиксировано) z уменьшается, но х1 не изменяется, пока р1 не достигнет критического значения, затем хг скачком изменяется до более высокого значения. Истолковать это как влияние замены при одном критическом значении [pi = {a2i/a22) р2]\ см. [17].

<< | >>
Источник: Р. Аллен. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЭКОНОМИЯ. 1963

Еще по теме 18.3. ВЛИЯНИЕ ДОХОДА И ВЛИЯНИЕ ЗАМЕНЫ:

  1. РАЗДЕЛ 0. У БАРБОСА ЕСТЬ ВОПРОСЫ.Что можно еще увидеть на кривой спроса?
  2. РАЗДЕЛ 1. Уравнение Слуцкого
  3. РАЗДЕЛ 2. Случай разнонаправленного влияния эффекта замены и эффекта дохода
  4. РАЗДЕЛ 3. Приглашение к историческому поиску
  5. РАЗДЕЛ 1. Индивидуальное предложение труда
  6. РАЗДЕЛ 3. Эффективность и конкурентное ценообразование
  7. 18.1. ПОЛЕЗНОСТЬ. ПОРЯДКОВАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ПОЛЕЗНОСТИ
  8. 18.3. ВЛИЯНИЕ ДОХОДА И ВЛИЯНИЕ ЗАМЕНЫ
  9. 18.4. ГРАФИЧЕСКОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ
  10. 3.2. ИНФЛЯЦИЯ, ЕЕ ВИДЫ, ВЛИЯНИЕ НА ДОСТОВЕРНОСТЬ И НАДЕЖНОСТЬ ПОКАЗА ТЕЛЕЙ ФИНАНСОВОЙ ОТЧЕТНОСТИ
  11. Краткое описание диссертации по разделам
  12. 4.4. Влияние замены анодов на физические поля и устойчивость алюминиевого электролизера
  13. Выводы по разделу 4
  14. 1.2. Новые тенденции развития международной жизни под влиянием глобализации в оценках российских и монгольских исследователей
  15. Математическое моделирование процесса РОМЕЛТ с целью исследования влияния технологических параметров на показатели процесса