<<
>>

18.4. ГРАФИЧЕСКОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ

Если число товаров равно двум, то спрос потребителя определяется путем максимизации и(хг, х2) при условии выполнения уравнения бюджета рхх + х2 = М, где р — цена первого товара (относительно цены второго товара, принятой за единицу), а М — доход.
Условия равновесия состоят в следующем:

их — ри2 и рхх + х2 = М.

Здесь хх и х2 заданы как функции двух переменных: относительной цены р и дохода М. Для существования устойчивости должно быть d2u < 0 для любого изменения, при котором du — 0.

Карта безразличия — это семейство кривых (1и /2, /3, ...) в плоскости Оххх2; уравнение каждой такой кривой есть и(хх2) = const, причем постоянная принимает разные заданные значения. Уравнение бюджета pxt + х2 = М отображается прямой бюджета АХА2, имеющей наклон (—р) и отсекающей на осях координат отрезки

и ОА2 = М.

Р

Отрезок, отсекаемый на оси ординат, отображает доход потребителя; величина ОА1 увеличивается со снижением цены р. Условия равновесия состоят в том, что прямая бюджета касается кривой безразличия — наклоны (—р) и (—иг/и2) равны между собой —в точке Р, координаты которой — закупки товаров в состоянии равновесия. Для устойчивости должно выполняться условие d2u < 0 при любом движении от точки Р вдоль касательной к кривой безразличия (du = 0); это значит, что касательная пересекает более низкие кривые безразличия, и что кривая безразличия в точке Р выпукла относительно начала координат. Все это показано на рис. 66.

С изменением р и М изменяются и параметры линии бюджета АХА2— либо наклон (изменение р), либо точка пересечения с осью ординат (изменение М), либо обе величины. При этом точка равновесия Р изменяет свое положение на карте безразличия, и отклонения ее координат показывают соответствующие изменения спроса (хг и х2). Если М увеличивается (при фиксированной р), то АгА2 смещается параллельно самой себе, и Р движется по кривой дохода РВ, составленной из тех точек различных кривых безразличия, касательные в которых параллельны (имеют заданный наклон (—/?)).

Если р уменьшается (при фиксированномМ), то прямая А^2 поворачивается относительно точки А2 таким образом, что точка А1 смещается вправо. Точка Р движется по кривой цен PC, в точках которой вращающаяся прямая бюджета является касательной к кривым безразличия. Основным выводом, который удалось получить Слуцкому, является то обстоятельство, что движение точки Р вдоль кривой PC есть результат совместного действия двух смещений: смещения Р вдоль линии бюджета (влияние замены) и смещения Р вдоль кривой РВ (влияние дохода). Два товара должны быть взаимозаменяющими, так что (при снижении р) влияние замены должно вести к увеличению ^ик уменьшению х2. Однако рост дохода приводит обычно к увеличению и х1 и х2, и при движении по кривой PC в направлении возрастания хг возможно как увеличение, так и уменьшение х2.

Все это касается бесконечно малых изменений. Наряду с этим, целесообразно тем не менее графически изобразить характер изменений, и при конечных малых изменениях. Это сделано на рис. 67. Пусть цена изменяется от р до (р — Ар) при фиксированном М; тогда прямая бюджета поворачивается из положения А2Р В положение A2Q, точка равновесия смещается из Р в Q, то есть с кривой безразличия 1г на кривую безразличия /2. На рис. 67а прямая А'2Р параллельна прямой A2Q и проходит через точку Р. Поскольку прямая А'2Р является бюджетной, ей соответствует определенная цена товара (р—Ар) и доход, достаточный для покупки прежних количеств товаров (координаты точки Р) по этой цене. Сокращение дохода (по сравнению с М) равно А'2А2 — ххАр, где хг — количество первого товара, покупавшееся в точке Р. Прямая A'JP является касательной к какой-то промежуточной кривой безразличия 1[; касание происходит в точке R, координаты которой характеризуют покупки товаров после снижения цены на Ар, компенсированного соответствующим уменьшением дохода хгкр. Следовательно, изменение цены (при фиксированном доходе) приводит к изменению спроса, показанному в виде перемещения от Р к Q. Это перемещение (приблизительно) представляет собой сумму влияния замены (перемещение от Р к R) и влияния изменения дохода (перемещение от Я к Q), Такое истолкование выводов Слуцкого — применительно к конечным изменениям — является приближенным, но наглядным; оно совпадает с изложением как Слуцкого [29], так и Хикса (в его приложении к [9]).

Однако опасно пользоваться на чертеже конечными смещениями для отображения бесконечно малых изменений при предельном анализе. Как показал Мозак [18], Хикс в основном тексте своей книги, в противоположность упомянутому приложению к ней, воспользовался другим методом графического изображения.

На рис. 676 то же перемещение от точки Р к точке Q расчленено на две части: от Р к Q по кривой безразличия (влияние замены), а затем от R к Q по кривой дохода (влияние дохода). Это перемещение можно с таким же успехом изобразить при обратной последовательности влияний: вначале от Р к S по кривой дохода, а затем от S к Q по кривой безразличия. Здесь суть дела в том, что эти два перемещения различны, и каждая из частей нового перемещения отличается от истолкования, данного выше (см. рис. 67а). Приближенное изображение конечных отклонений вносит неясность. В пределе же для бесконечно малых величин все изображения дают одинаковые результаты. В частности (см. упражнение 2), влияние замены на рис. 67а, отражаемое смещением по линии бюджета Л'2Р> в пределе будет таким же, как на рис. 676 смещение точки Р по кривой безразличия; компенсированное изменение цены равносильно изменению цены при постоянном и.

Если число товаров равно трем, то изображение в трехмерном пространстве возможно, но его трудно истолковать. Картой безразличия при этом будет семейство поверхностей в пространстве, отнесенных к осям координат Ох iX2x3. Уравнение бюджета (если цена третьего продукта принята равной единице) есть ргхг + р2х2 + х3 = М; оно отображается плоскостью бюджета в трехмерном пространстве. Эта плоскость отсекает на осях координат отрезки ОАх = М/ри ОА2 = М/р2 и ОА3 — М; они позволяют определить влияние изменений двух относительных цен (р± и р2) и дохода (М). Спрос потребителя характеризуется координатами точки Р, в которой плоскость бюджета является касательной к поверхности безразличия. Если М изменяется (рг и р2 фиксированы), то Р движется по трехмерной кривой дохода, являющейся геометрическим местом точек на поверхностях безразличия; касательные плоскости в этих точках параллельны между собой. Если изменяется одна относительная цена рх (р2 и М фиксированы), то Р движется по кривой цен — геометрическому месту точек касания плоскости бюджета, вращающейся вокруг прямой А2А3, и поверхностей безразличия. Именна эту кривую, а также соответствующую кривую для цены р2, трудно зрительно представить и истолковать. Трудность заключается не только в том,, каким образом отделить влияние замены от влияния дохода, но и втом, чтобы учесть зависимость взаимодополняемости, которая (как и взаимозаменяемость) может возникнуть при переходе от двух к трем товарам.

Задачи и упражнения

1. Если число товаров равно двум, а функция полезности есть и (хх, а^), то условия устойчивости (d2u < 0 при du=0) представляются в виде

0 и2 >0.

Ml и ц м12 U2 Ui2 и22

Если тангенс угла наклона касательной к кривой безразличия численно равен

—dx2fdx1)= иг/и2, выразить —dx2/dxx) через производные от и и объяснить

знак этого выражения с помощью условий устойчивости. Отсюда показать, что для существования устойчивости кривая безразличия должна быть выпуклой относительно начала координат. 2.

Применить метод, изложенный в разделе 18.3 (для случая п товаров), для нахождения изменения спроса, если одна цена изменяется пр|і и = const. Показать, что (dxs/dpr) = Xrs и что это изменение эквивалентно компенсированному изменению цены. (См. [18].) 3.

Если число товаров равно двум, показать, что парадокс Гиффепа возникает при (—дх1/др) < 0 и дх1/дМ < 0, то есть если на рис. 66 обе кривые РВ и РС направлены вверх и влево. Вычертить карту безразличия, форма которой соответствует этому (необычному) случаю.

<< | >>
Источник: Р. Аллен. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЭКОНОМИЯ. 1963

Еще по теме 18.4. ГРАФИЧЕСКОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ:

  1. ПРИМЕЧАНИЯ (к книге С.Максуди «Тюркская история и право») 1.
  2. РАЗДЕЛ 1. Понятие равновесия
  3. РАЗДЕЛ 2. Существование и единственность равновесия
  4. Закон убывающей производительности.
  5. РАЗДЕЛ 4. Кривые безразличия
  6. РАЗДЕЛ 4. Расшифрованная статистика
  7. Аналитические статьи
  8. 3.6.3. Подготовка иллюстраций
  9. 3.6.4. Верстка и дизайн оригинал-макета
  10. 4.5. представление отдельных видов иллюстративного материала
  11. Радио и Интернет
  12. 3.1. Возникновение СЖ как специальной социологической теории
  13. І. Методика обсуждения вопроса «Закон спроса. Эластичность спроса»
  14. 2.7. МОДЕЛЬ С ДИНАМИЧЕСКИМ МУЛЬТИПЛИКАТОРОМ
  15. 3.5. МОДЕЛЬ ФИЛЛИПСА С МУЛЬТИПЛИКАТОРОМ-АКСЕЛЕРАТОРОМ
  16. 4.3. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
  17. 18.4. ГРАФИЧЕСКОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ
  18. Глава 2 Краткая история графического изображения и начало психологического анализа рисунка
  19. МОЖНО ЛИ ОБУЧИТЬ ОБЕЗЬЯНУ ГРАФИЧЕСКОМУ ИЗОБРАЖЕНИЮ?
  20. 2.3 Графическое представление данных