<<
>>

18.5. ИЗМЕРИМОСТЬ ПОЛЕЗНОСТИ

Вышеприведенный анализ был основан на том предположении, что решения индивидуума имеют целью максимизировать порядковую функцию полезности,' или достигнуть как можно более высокой кривой на его карте безразличия в пространстве товаров.
Здесь обойден один вопрос, представляющий некоторый интерес. Порядковое понятие полезности можно обосновать на какой-либо единственной аксиоме, например, на том, что любую совокупность вариантов потребления можно расположить в единственном и непротиворечивом (совместном) порядке возрастающего предпочтения. Предположим, что индивидуум предпочитает вариант В варианту А, вариант С — варианту В, что он отдает равное предпочтение вариантам D и С, что он предпочитает вариант Е варианту D, и т. д. Для совместности требуется, чтобы варианту С отдавалось предпочтение перед вариантом А, варианту D— перед вариантом А и В и т. д. Уровни полезности будут следующими:

uabЕсли будем рассматривать соответствующие точки в пространстве товаров, то точки С иВ окажутся расположенными на одном и том же геометрическом месте точек (гиперповерхности, поверхности или кривой) безразличия, которое ниже того, на котором расположена точка Е, но выше того, на котором расположена точка В (и еще выше того, на котором расположена точка А).

Однако из этой основной аксиомы еще не следует, что существует функция полезности и, по отношению к которой может производиться только монотонное преобразование ср (и), то есть что в пространстве товаров действительно имеется система геометрических мест точек безразличия (кривых, поверхностей, гиперповерхностей). Это есть вопрос «возможности суммирования», возникающий при таком подходе к порядковой полезности, как у Слуцкого [29] или Хикса и Аллена [8]. Основная аксиома позволяет определить безразличное направление отклонения от любой точки (сочетания товаров), характеризуемой предельной нормой замены; эта аксиома дает построение всего геометрического места точек безразличия только в том случае, если направления для отдельных точек можно «объединить» в такое геометрическое место.

Для этого предельные нормы замены должны отвечать некоторому «условию суммируемости»: не существует явной экономической причины, почему они должны — или не должны — отвечать этому условию. Тем не менее свойство транзитивности для предпочтения или безразличия, представленное выражением (1), можно сформулировать в виде аксиомы, обеспечивающей «суммируемость» и, следовательно — существование упорядоченной функции полезности и карты безразличия. По этому вопросу см. [6].

При другом подходе, которому следовали Самуэльсон [25], [26] и Хаут- эккер [11], пользуются понятием «выявленного предпочтения», основывающимся (в идеальном случае) на наблюдениях за поведением потребителя при смене вариантов потребления. Для обеспечения «суммируемости» формулируется «усиленная аксиома» транзитивности: если выявлено предпочтение А по сравнению с J5, В по сравнению с С, ... , У по сравнению с Z, то в таком случае выявлено и предпочтение А по сравнению с Z. Z, находящемуся в конце цепочки предпочтений, не может быть отдано предпочтение по сравнению с А, находящимся в начале этой цепочки. Корлетт и Ньюмэн

ЛЗ] обобщили это положение. Понятие выявленного предпочтения представляет полезное дополнение простого допущения порядковой функции полезности и карты безразличия.

Гораздо более значителен вопрос о том, можно ли считать порядковую полезность также и измеримой и, если да — то при каких условиях. По этому вопросу имеется обширная литература, математический характер которой все более усиливается. Нижеследующее изложение представляет не более чем набросок в простейшей математической трактовке одного из направлений его разработки. Оно основано на беседах с д-ром Г. Мортоном, д-ром С. А. Озга и другими коллегами по работе в Лондонской школе экономики и на изложении этой проблемы в соответствующих работах [1, 5, 15 и 21].

Вопрос ставится следующим образом: можно ли соответственным образом расширить основную аксиому упорядоченных предпочтений, чтобы порядковая полезность стала измеримой? В своем предварительном докладе («Interim Report») по этому вопросу Робертсон [23] спрашивает: почему слово «порядковый» не может влечь за собой «не только идею наличия упорядоченности, но и сопутствующее значение наличия упорядоченности методичного вида, то есть такой, при которой между каждыми двумя упорядоченными точками имелось бы делимое пространство?» (стр.

129 его работы). Несомненно, априори нет основания для согласия с такой точкой зрения или поспешного отказа от нее.

Согласно основной аксиоме упорядоченных предпочтений совокупность вариантов потребления располагается в соответствии с их возрастающей полезностью, как это сделано в (1). Добавим теперь вторую аксиому: приращения полезности, или ступени предпочтения, также могут быть упорядочены, то есть (иь — иа), (ис — иь), ... могут быть, как и на, иь, ис, ... , расположены в порядке возрастания разности предпочтения. В частности, можно выбрать такой вариант В, находящийся в списке упорядоченных предпочтений между вариантами А и С, что приращение (иь — иа) оценивалось бы наравне с приращением (ис —• иъ):

= или иъ = ^-(иа + ис). (2)

Когда мы к основной упорядоченности (1) добавляем положение, подобное (2), то полезность становится измеримой, при условии только, что начальная точка и единица измерения произвольны. Ибо равенством (2) утверждается, что В находится точно посредине, а не где-то в промежутке между і и С, и уровень полезности иь является средней арифметической между иа и ис.

Описанное положение можно иллюстрировать на численном примере гипотетических вариантов потребления индивидуумом чая и кофе: Комбинация товаров Потребление, фунтов в неделю Порядковая полезность Показатель (мера) полезности, полученный на основании: чай кофе оценки приращений оценки вариантов, связанных с риском і 2 3 4 5 6 А 2 1 1 1,5 В 2 1 2 2 2 С 2 2 1 2,5 D 3 1 3 2,5 Е 2 3 4 3 3 F 4 2 5 4 5 Применяя только упорядочение предпочтений (на основе первой аксиомы), предположим, что все шесть комбинаций потребления расположены, как это показано, в порядке возрастания предпочтений, причем вариантам С ш D оказывается одинаковое предпочтение. Один ряд уровней полезности (порядковых) приведен в четвертом столбце таблицы. Это — только одна из многих возможных систем, другой может быть следующая (вместо и берется In и):

О 0,69 0,92 1,10 1,39.

Предположим теперь, что можно упорядочить и приращения полезности (вторая аксиома).

Чтобы определить шкалу измерения, произвольно выберем для этой цели два варианта В и Е и примем иь = 2 и ие = 3. Сделаем следующие допущения: I.

Увеличение потребления на 1 фунт кофе против варианта В (2 фунта чая и 1 фунт кофе) оценивается одинаково с таким же увеличением потребления кофе против варианта С (2 фунта чая и 2 фунта кофе). Это значит, что два последовательных приращения полезности (от В к С и от С к ?) равны:

Uc — ub = ue — uc, или = у (иь + ц) = 2,5. Следовательно, ис = ud = 2,5. II.

Увеличение потребления на 1 фунт кофе против варианта А (2 фунта чая) оценивается одинаково с увеличением потребления на 2 фунта кофе против варианта В (2 фунта чая, 1 фунт кофе). Приращения от А к В и от В к Е оцениваются одинаково:

иъ — иа = ие — иь, или иа = 2иь — ие = 1. III.

Увеличение потребления на 1 фунт чая против варианта А (2 фунта чая) оценивается одинаково с увеличением потребления на 2 фунта чая против варианта С (2 фунта чая, 2 фунта кофе). Приращения от А к D и ог С к F оценив аются одинак ов о:

и,^ — иа — Uf — uc, или uf = uc + ud — ua = 4.

Следовательно, если известны три ранжирования (I, II, III) или оценки приращений полезности, и заданы точки шкалы иь и ие, то однозначно получаем показатели полезности, приведенные в пятом столбце таблицы. Если выбрать другие точки шкалы, то иными будут и цифры в этом столбце — но только в том смысле, что величина любого показателя зависит от начала отсчета и от единицы измерения.

Трех оценок достаточно для измерения пяти определенных уровней полезности. Подобная процедура будет успешной при любом числе уровней полезности — конечно, при том условии, что соответственно возрастает число оценок приращений. Важным пунктом второй аксиомы (как и первой) является необходимая совместность оценок. Например, приращения потребления на 1 фунт чая против варианта А, на 2 фунта кофе против варианта А и на 2 фунта чая против варианта С должны оцениваться одинаково — в каждом из этих случаев приращение полезности равно 1,5 единицам.

Двух аксиом согласного упорядочения предпочтений достаточно для того, чтобы появилась возможность измерить полезность.

Одна аксиома касается упорядочения исходных предпочтений, вторая — упорядочения их приращений. Если и представляет уровень полезности, то первая аксиома гласит, что и есть порядковая функция, в общем случае имеющая форму <р(и), где ф — монотонная (возрастающая) функция. Тогда вторая аксиома гласит, что и есть количественная функция (и измеримо), и в общем случае ее форма есть (аи + |3), где а и р - постоянные, показывающие начало отсчета и единицу измерения. Упорядоченная полезность определима с точностью до монотонного (возрастающего) преобразования, количественная полезность — с точностью до линейного преобразования.

Следует отметить, что и в точных науках для построения шкалы измерения требуются те же две постоянные. Так, высоту полета самолета можно измерить в футах над уровнем Лондонского аэропорта, или в метрах над уровнем аэродрома Ле-Бурже. Даже если кажется, что необходима только одна постоянная (например, при измерении веса в фунтах или граммах), то это* вызывается лишь тем, что существует уже какая-то естественная точка отсчета (например, нулевой вес).

Обе аксиомы раздельны, и не обязательно нужно дополнять второй аксиомой первую. Любую из них можно испытать или проверить путем наблюдений. Можно считать, что первая аксиома успешно прошла испытания; ее можно проверить путем наблюдения, по крайней мере в принципе. Вторая аксиома вызывает сомнения в большей мере. Например, при любой проверке эквивалентности оценок двух приращений — таких, как в II,— приходится, во-первых, гипотетический вариант В сравнивать с фактически существующим вариантом А, и затем, во-вторых, сравнивать вариант В с другим гипотетическим вариантом Е. С точки зрения эмпирических наблюдений сомнительно, можно ли таким образом нагромождать одно сравнение гипотетических вариантов на другое. По-видимому, позиция Робертсона может быть защитима только при слепом доверии к нему.

Другой и совершенно иной подход открывается при рассмотрении поведения потребителя не с точки зрения сравнения альтернативных, но совершенно определенных вариантов, а с точки зрения принятия решений в условиях неопределенности. Введение элементов учета риска предоставляет возможность избежать оценки одного гипотетического варианта путем era сравнения с другим таким же вариантом, и вернуться к данным, поддающимся наблюдению.

Пусть А, В, С, ...

суть варианты потребления, каждый из которых считается несомненным или достоверным событием. Согласно основной аксиоме, эти варианты можно расположить в порядке возрастания предпочтенияг как в (1). Предположим теперь, что индивидуум также столкнулся с перспективой двух или более вариантов А, В, С, D, ... , вероятность которых различна, как это бывает при покупке лотерейного билета. Простейшая форма такой перспективы — это, когда существует вероятность р добиться одной ситуации А и вероятность (1—р) добиться второй ситуации С. Здесь р есть субъективная вероятность, собственная оценка индивидуумом его шансов добиться варианта А. Эта оценка может совпадать, а может и не совпадать с действительной вероятностью варианта, какова, например, вероятность выигрыша в лотерее. Введем понятие:

Ожидаемая полезность перспективы = риа + (1 — р) ис, (3)

где иа и ис суть полезности достоверных событий А и С. Выражение (3) есть «ожидание» в математическом или статистическом его понимании, это — так называемое «нравственное ожидание» математика XVIII в. Даниила Бернулли. К основной аксиоме упорядоченных предпочтений достоверных событий добавим вторую аксиому, согласно которой при ситуациях, связанных с риском, индивидуум ведет себя так, чтобы максимизировать ожидаемую полезность перспективы (3). Тогда для измеримости и будет достаточным сопоставить ожидаемые полезности и приравнять друг другу математические ожидания для ситуаций, связанных с риском, оцениваемых одинаково. Рассмотрим вариант В, расположенный между вариантами А и С в порядке предпочтительности достоверных событий. Перспективу совокупности вариантов А и С с вероятностями р и (1—/?) можно считать более предпочтительной, одинаково предпочтительной или менее предпочтительной, чем достоверное событие В. Все зависит от величины р. Выб!ерем такое значение р, чтобы для индивидуума были безразличны перспективы А и С и вариант В:

Иь = Рмв + (1—Р) ис-

Раз определено значение р и установлены значения иа и ис (например, для шкалы измерения), то сразу же становится известной иь.

Это можно иллюстрировать с помощью численного примера приведенной выше таблицы. Для построения шкалы снова примем иь = 2, ие = 3. Сделаем следующие допущения:

а) Для индивидуума безразлично получение по варианту С (2 фунта чая, 2 фунта кофе) как достоверного события и перспектива варианта В {2 фунта чая, 1 фунт кофе) или Е (2 фунта чая, 3 фунта кофе) с равными вероятностями. Иными словами, ему безразлично, если ему, по сравнению с тем, что он имеет, предложат с равной вероятностью увеличение или уменьшение потребления кофе на 1 фунт. Если вероятность р = Уг. то ожидаемая полезность перспективы (3)

UC = 2"(иь + гге) = 2,5

или

Uc = ud = 2,5.

б) Для индивидуума безразличен выбор между вариантом В (2 фунта чая, 1 фунт кофе) как достоверным событием и перспективой вариантов А (только 2 фунта чая) или Е (2 фунта чая, 3 фунта кофе), взятых с шансами .2:1. Это значит, что он согласен рискнуть своим 1 фунтом кофе, если имеются шансы 1 : 2 получить 3 фунта кофе. В выражении для ожидаемой полезности примем р = 2/3; тогда

2 1

ub=~3ua+-jue' ИЛИ Ua=l,5.

в) Индивидууму безразличен выбор между вариантом В как достоверным событием и перспективой вариантов А (только 2 фунта чая) и F (4 фунта чая, 2 фунта кофе), вероятности которых относятся как 6 : 1. Это значит, что если отношение вероятности достичь более высокого уровня потребления к вероятности варианта А превышает 1 : 6, то это компенсирует индивидууму риск потери имеющегося у него 1 фунта кофе. Примем в выражении ожидаемой полезности р = 6/7. Тогда:

6,1 г

Ub = YUa+yUf> или И/= 5.

Таким путем строятся показатели полезности, приведенные в последнем -столбце (6) таблицы (стр. 554).

Эти две аксиомы (упорядоченных достоверных событий и максимизации ожидаемой полезности перспектив) достаточны для того, чтобы сделать полезность измеримой. Однако показатели полезности будут иными, чем когда за вторую аксиому принимаем предпосылку упорядоченности приращений полезности. Только если предположить, что индивидуум одновременно упорядочивает и приращения полезностей достоверных событий, и ожидаемую полезность перспективных вариантов, то показатель полезности каждого варианта потребления в обоих случаях будет одним и тем же — при условии, что индивидуум последователен в оценках. Однако он вполне может оказаться непоследовательным в своем упорядочении приращений и упорядочении ожидаемых полезностей перспектив. Высокое значение uf = 5 в столбце показателя полезности вариантов, связанных с риском (см. выше таблицу), возникает из-за малой вероятности (1 : 6) получить в лотерее желаемый высокий уровень потребления F. Возможно, что индивидуум «склонен к риску» {«любитель лотереи — «lottery-minded»), и его мнения о приращениях полезности при достоверных вариантах потребления дадут величину uf — 4. См. также упражнение 2 настоящего раздела.

Для графической иллюстрации этого положения (см. рис. 68) будем считать, что разные расходы потребителя могут быть расположены в порядке возрастания их предпочтительности, в соответствии с величиной требующегося для этого недельного дохода (х ф. ст.). Тогда переменная х может служить в качестве одного из показателей порядковой полезности. Количественная мера полезности может быть получена на основании аксиомы упорядоченных приращений, например в форме

и = а1п (я + Р),

где аир — некоторые постоянные точки на шкале. Это — кривая (^4) на рис. 68, где шкала (начало координат и единица измерения) определена следующим образом: и = 0 при х = 0, и = 100 при х = 20. С другой стороны, количественная мера полезности, исчисленная на основе аксиомы упорядоченных перспектив вариантов, связанных с риском, может быть представлена выражением и = —я), где Я и р являются постоянными, снова определяющими шкалу (единицу измерения и начало отсчета, см. упражнение 3 настоящего раздела). Таким образом построена кривая (В) на рис. 68; и здесь и = 0 при # = 0 и и — 100 при х = 20. Два показателя полезности,.

отображаемые кривыми (^4) и (В), совершенно различны. Для кривой (^4} предельная полезность уменьшается, для кривой (В) — это не имеет места (за исключением больших значений х). Можно лишь сказать, что одну кривую- получаем из другой посредством некоторого монотонного (возрастающего) преобразования. (A)

lg(x+7) (B)

Рис. 68.

Преимущества меры полезности, получающейся из вариантов, связанных с риском, состоят в том, что можна предусмотреть (при идеальных условиях) эмпирическую ее проверку и что в мире неопределенности такой показатель может найти широкое поле применения. При этом следует не упускать одного: эта мера полезности зависит от сделанного выше неявного допущения о том, что субъективные оценки вероятности можно охарактеризовать и вычислить. Однако на практике может оказаться, что субъективная вероятность не поддается наблюдению. Уже- одно то обстоятельство, что индивидуума спрашивают о том, как он оценивает шансы — или что за ним наблюдают — может заставить его изменить сделанную ранее субъективную оценку вероятности. Он может стесняться своей «склонности к риску».

Метод измерения полезности для связанных с риском вариантов может^ быть развит далее. Вовсе нет надобности утверждать в качестве аксиомы или гипотезы (принимаемой после успешной эмпирической проверки), что решения потребителя совместны с принципом максимизации ожидаемой полезности. Вместо этого можно придумать более фундаментальную систему аксиом,, касающихся поведения потребителя как математическое следствие, из которых может быть выведена максимизация полезности. Весь этот метод основан на работах Рамсея [22] и Неймана и Моргенштерна [20]; ему следовали также Маршак [13], [14], Самуэльсон [27] и другие. Точную формулировку аксиом дали Герштейн иМилнер [7]. Важнейшей из них является так называемая «аксиома независимости»: если достоверным событиям А и В отдается одинаковое предпочтение, то так же обстоит дело и с перспективными вариантами рА + (1 —р)С и рВ + (1— р)С, где С — любой вариант. Далее, как показали Сэвидж [28] и Маршак [15], вовсе не обязательно предполагать,, что субъективные оценки вероятностей известны; на основе этих аксиом можно построить шкалу для измерения и полезности, и субъективной вероятности, причем и та и другая будут совместны с решениями потребителя, основанными на принципе максимизации ожидаемой полезности. Здесь единственный критерий — правильно ли, а также подходящим ли образом описывают аксиомы поведение потребителя.

Общий вывод состоит в следующем: порядковая концепция полезности, основанная на простой аксиоме упорядоченных предпочтений, остается той; основой, на которой базируется анализ спроса потребителя. Всякий может добиться измеримости полезности, приняв допущение об упорядоченности приращений, хотя при этом он неизбежно довольно далеко отойдет от фактов, поддающихся наблюдению на практике. Любому также открыт путь для определения показателя полезности в стохастическом или вероятностном ее понимании; такой показатель применим во всех случаях, когда индивидууму приходится иметь дело с недостоверными событиями и когда он оценивает возможные варианты потребления на основе личной или субъективной вероятности этих событий.

Задачи и упражнения 1.

Вторая аксиома для вероятностных вариантов подразумевает, что упорядоченность ожидаемых полезностей является согласованной. Продемонстрировать это на численном примере вышеприведенной таблицы и показать, что перспектива вариантов В и Е, взятых с равными вероятностями, должна оцениваться одинаково с перспективой вариантов А и F, взятых с вероятностями, отношение которых равно 5:2. 2.

В том же численном примере изменить предпосылку (" На кривой (J5) рис. 68 построить следующие точки. Примем it(0) = 0, м(20)= 100. Сравним (по их полезности) достоверное событие х — 10 с перспективой х = 20 или х = 0 с вероятностями соответственно р и (1 — р). Для случая безразличия обоих вариантов примем р= 3/8. Отсюда получим м(10) = 37,5. Затем сравним перспективу х = 20 или х = 10 с достоверным событием х = 16, приняв для состояния безразличия/? —0,6288 Отсюда получим м(16) = 76,8. Показать, что эти четыре точки (# = 0, х— 10, #=16, х — 20) лежат на кривой, описываемой уравнением w = 1/80 а?2(40 — х).

<< | >>
Источник: Р. Аллен. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЭКОНОМИЯ. 1963

Еще по теме 18.5. ИЗМЕРИМОСТЬ ПОЛЕЗНОСТИ:

  1. Хозяйство: полезные ископаемые, ведущие отрасли промышленности
  2. РАЗДЕЛ 2. Полезность и спрос
  3. Лекция 12. Количественная полезность и спрос
  4. РАЗДЕЛ 0. У БАРБОСА ЕСТЬ ВОПРОСЫ. Что полезнее - вода или алмаз?
  5. РАЗДЕЛ 1. Общая и предельная полезность
  6. Лекция 13. Порядковая полезность и спрос
  7. РАЗДЕЛ 0. У БАРБОСА ЕСТЬ ВОПРОСЫ.Можно ли обойтись без неуловимой предельной полезности?
  8. РАЗДЕЛ 2. Полезность и предпочтения. Количественная и порядковая теории полезности
  9. РАЗДЕЛ 3. Основные предположения ординалистской теории полезности
  10. РАЗДЕЛ 3. От порядковой полезности к количественной
  11. Случайные полезности
  12. Лотерея как средство измерения полезности
  13. РАЗДЕЛ 1. Производство полезности
  14. РАЗДЕЛ 2. Полезность обмена
  15. 18.1. ПОЛЕЗНОСТЬ. ПОРЯДКОВАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ПОЛЕЗНОСТИ
  16. 18.5. ИЗМЕРИМОСТЬ ПОЛЕЗНОСТИ
  17. 19.8. ТЕОРИЯ ЭКОНОМИЧЕСКОГО БЛАГОСОСТОЯНИЯ
  18. § 3. Распоряжение исключительным правом на изобретение, полезную модель или промышленный образец (статьи 1365 - 1369)