<<
>>

18.6. СПОСОБЫ ПОТРЕБЛЕНИЯ И ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

Анализ спроса потребителя (см. 18.2) и аналогичный ему анализ деятельности фирмы (см. 17.2) находят свое место в более широком комплексе вопросов общего равновесия рынка. Значение такого анализа, при котором рассматривается большое число отдельных фирм и потребителей, состоит в том, что при этом возможна непрерывная замена взаимоконкурирующих и взаимодополняющих товаров в производстве и потреблении.
Недостаток его — в излишней детализации, при которой «за деревьями не видно леса». Чтобы упростить анализ, насытить его практическим содержанием, очевидным образом напрашивается объединение производителей и потребителей в крупные группы; соответствующим образом группируются и товары. Одновременно допускают упрощения характера рассматриваемой функции, например предположение линейности, или пропорциональности затрат выпуску. Такие допущения кажутся вполне разумными, если дело касается производства, но в гораздо меньшей степени, если речь идет о потреблении. Эмпирические факты, касающиеся потребительского спроса, хорошо согласуются, по-видимому, с соотношениями взаимоконкуренции и взаимодополняемости продуктов потребления: здесь представлялось бы неуместным допущение о пропорциональности, при которой товары покупаются в неизменных пропорциях. И все же в вопросах потребления также необходимо сделать какое-то коренное упрощение. В замкнутых системах равновесия, как-то в системе Леонтьева (см. 10.7) и Неймана (см. 16.9) упрощение можно довести до крайнего случая — все потребление брать огулом, объединить в одной «отрасли» («activity»), в которой потребительские товары считаются затратами (взятыми в фиксированных соотношениях), а трудовые услуги — выпуском. При этом четко выявляется взаимозависимость производственных отраслей в экономике, однако это достигается за счет игнорирования аналогичных связей между различными отраслями потребления. Здесь требуется не такая широкая шкала, а метод, где больше внимания уделялось бы потреблению. Напрашивается сам собой метод линейного программирования, который позволяет вводить очень большое число переменных и, несмотря на это, задачи поддаются решению. Методы анализа, которыми пользовались Леонтьев и фон Нейман, являются частными случаями линейного программирования, разработанными применительно к народному хозяйству в целом. Теперь мы предлагаем ограничить число выделяемых групп производителей и потребителей и применить более привычные формы линейного программирования. Излагаемый далее метод анализа многим обязан работам Мейкоуэр [12]; здесь также уместно привести некоторые примеры, составленные Камероном [2].

Основная идея заключается в рассмотрении фирмы (или группы-производителей), с одной стороны, и группы потребителей — с другой, причем рамки анализа ограничены определенными группами товаров, вырабатываемых фирмой и покупаемых потребителями, которые являются фактическими или возможными клиентами фирмы. Производственные аспекты изучались в главе 17; остается более подробно проанализировать аспекты потребления. Нужно рассмотреть два вопроса: группировку индивидуальных потребителей и отбор отдельных «укрупненных» товаров. Последнее является весьма серьезным упрощением. Как показано в разделе 18.3, предположение о том, что цены товаров, входящих в группу, изменяются пропорционально, является достаточным для того, чтобы трактовать эту группу товаров как единый «составной» товар, который подчиняется тем же закономерностям, что и отдельный товар.

Более того, при группировке товаров можно их объединять вместе с взаимодополняющими предметами потребления, так что соотношения между «составными» товарами обычно отвечают простейшему типу взаимозаменяемости.

Первый вопрос вызывает более существенные затруднения; здесь приходится сравнивать субъективные оценки полезности. Мы не пытаемся решить эту задачу, а уходим от ее рассмотрения, предполагая попросту, что для группы потребителей имеется карта безразличия в отношении различных продуктов фирмы или группы производителей, и что нечто измеряемое (для удобства называемое «полезностью») может быть сопоставлено с последовательностью упорядоченных геометрических мест точек безразличия. Это — не экскурс в экономику всеобщего благосостояния; мы не предполагаем наличия карты безразличия общества, для всех потребителей и для всех товаров, а лишь то', что имеется карта для потребителей определенных товаров, производимых фирмой. На практике «полезность» можно измерить с помощью рыночных цен; во всяком случае, ее оценивают с помощью определенных расчетных оценок, так что, по существу, «полезность» принимается как некая величина меры удовлетворенности.

Карту безразличия можно представить в форме матрицы, характерной для линейного программирования. Это преобразование аналогично (если производство фирмы отображается чертежом на плоскости) тому, что мы кривые постоянного объема производства заменяем ломаными линиями, состоящими из отрезков прямых. Предполагаем существование конечного числа базисных способов потребления. В каждом таком способе потребительские товары, взятые в фиксированных пропорциях, считаются затратами, но выпуска нет. Это весьма напоминает «псевдоотрасли» или «свободные отрасли», применяемые в симплексном методе для удобства исчисления. Мы допускаем, что существует пропорциональность и что уровень способа может изменяться непрерывно. Далее, мы принимаем, что способы могут объединяться линейно и непрерывно, причем снова делается допущение аддитивности, то есть, что объединение производится согласно правилам сложения векторов (см. 16.2). Наконец, путем подходящего подбора шкалы фиксированных пропорций устанавливается единичный уровень каждого способа, и каждому единичному уровню способа приписывается уровень полезности. Тогда пропорциональность означает, что в одном каком-либо способе показатель полезности возрастает пропорционально уровню этого способа.

Если число потребительских товаров равно двум (хх и х2), то карту безразличия мы можем графически изобразить на плоскости, отнеся ее к осям Оххх2 (рис. 69). Рассмотрим случай четырех способов потребления и представим неизменные затраты двух товаров с помощью матрицы, в которой единичный уровень каждого способа выбран таким образом, чтобы шкала соответ- «141

аы J 1

ствующей полезности дала и = 1.

«13 «23 1

Коэффициенты затрат: А= Г*11

122

1а21

Уровень полезности (и):

1 , 1 Единичный уровень полезности на карте безразличия отображается четырьмя точками Рг с координатами (а1г, а2г), где г = 1, 2, 3, 4, и любыми их попарными комбинациями. Мы предполагаем, что ни одна из точек Рт не совпадает с другой и не лежит на прямой, соединяющей две другие точки; это обеспечивает взаимонезависимость способов, то есть их включение в базисную систему. Мы предполагаем также, что ни одна из точек Рг не лежит выше и вправо от прямой, соединяющей две другие точки; это исключает неэффективные и не применяемые способы. Геометрическое место точек единичной полезности (или безразличия) имеет форму, показанную на рис. 69. Точки пронумерованы в порядке РХР2Р3Р^ и выбор ограничен либо одним способом, либо сочетанием двух соседних способов. Иные геометрические места точек безразличия, для других уровней полезности, получаем, растягивая или стягивая фигуру РХР2Р3Р± вдоль радиуса, идущего к точке О. На рис. 69 показана линия (?і(?г(?з(?4' уровень полезности для которой и = 3/2. Карта, изображенная на этом рисунке, соответствует семейству равносторонних гипербол, описываемых уравнением Х]Х2 — и 2. Непрерывные кривые безразличия показаны пунктиром; для уровня и = 1 они заменены отрезками прямых, как-то РгР2, Р2Р3ті P3PV Следовательно, в этом частном, но довольно типичном случае коэффициенты затрат удовлетворяют условию: alra2r = 1.

Норма замены между двумя товарами при заданном уровне полезности определяется без труда. Если применяются г-ж и s-ж способы, то

Норма замены = ——— .

a2s — а2т

Это — уменьшение х1 по расчету на единичное увеличение х2 при переходе от г-го способа к s-му (см. упражнение 2 настоящего раздела). В случае, продемонстрированном на рис. 69, имеется только три различные нормы замены, характеризуемые, соответственно, наклонами прямых РХР2, Р^Р^ и Р3Р±— прямых, отражающих попарные комбинации способов. Такое положение верно и для любого другого заданного уровня полезности. В этом состоит одно из важнейших отличий ломаных линий от непрерывных кривых карты безразличия, получаемой при предельном анализе. Оба эти отображения позволяют непрерывно изменять сочетания товаров, однако, при анализе способов потребления, возможность изменений ограничена отдельными отрезками прямых, и число норм замены является конечным, тогда как при предельном анализе норма замены определяется в пределе и изменяется непрерывно.

Задачи и упражнения

1. Как истолковать, с точки зрения полезности для потребителей, сочетания товаров, лежащие на рис. 69 выше ОАх? ниже 2.

Если число товаров равно двум, показать, что любая комбинация первых двух способов, взятых при единичном уровне полезности, может быть представлена уравнениями:

®і = рац + (1—р)а12, х2 = ца21 + (\ — р) а22 (0<р<1).

Показать также, что предельное изменение получается, если р считать переменной, что дает: (—dxi/dx%)= (дц — аі2)/(я22 — А2І) = норме замены х\ и х2 для двух способов. Истолковать этот результат в соответствии с рис. 69. 3.

Для случая 3 товаров и п способов составить матрицу коэффициентов затрат З X в. Вычертить карту безразличия в трехмерном пространстве и показать, что одна из поверхностей (например, соответствующая единичному уровню полезности) состоит из совокупности плоских фигур, каждая из которых образована тремя точками множества Pi, Рг»--.» Рп- Показать также, что все семейство геометрических мест (поверхностей) точек безразличия определяется и ограничивается конусом, вершиной которого является точка О. Истолковать полученный результат с точки зрения выпуклых множеств и конусов. 4.

Показать, что если число товаров равно трем, как в предыдущем примере, то на карте безразличия точки (и способы) упорядочены таким образом, что выбирать можно лишь между каким-либо способом, комбинациями двух соседних или трех соседних способов; все остальные комбинации приводят к менее предпочтительным результатам. Показать, что и в этом случае существует конечное число различных норм замены.

<< | >>
Источник: Р. Аллен. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЭКОНОМИЯ. 1963

Еще по теме 18.6. СПОСОБЫ ПОТРЕБЛЕНИЯ И ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ:

  1. ГЛАВА 15 ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
  2. 15.4. ОБЩАЯ ПРЯМАЯ И ДВОЙСТВЕННАЯ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
  3. 15.1. ПРОСТОЙ ПРИМЕР ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
  4. 17.3. ПРЕДЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ И ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ФИРМЫ
  5. 15.6. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ ДЛЯ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ ОПЕРАЦИЙ
  6. 17.5. ДВЕ ИЛЛЮСТРАТИВНЫЕ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
  7. 15.9. РЕШЕНИЕ СИМПЛЕКСНЫМ МЕТОДОМ ПРОСТОЙ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
  8. 15.5. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ОБЩИХ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ И ИГРЫ С ДВУМЯ УЧАСТНИКАМИ И НУЛЕВОЙ СУММОЙ
  9. 15.3. ПРИВЕДЕНИЕ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ К РЕШЕНИЮ ИГРЫ
  10. 17.8. ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ ДЛЯ СЛУЧАЯ НЕИЗМЕННОЙ 3 СТРУКТУРЫ СПРОСА
  11. 16.3. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ОТКРЫТОЙ СИСТЕМЫ ЛЕОНТЬЕВА В ВИДЕ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ОТРАСЛЕЙ
  12. 17.6. ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ ДЛЯ ФИКСИРОВАННЫХ ФАКТОРОВ И ЗАДАННЫХ ЦЕН НА ПРОДУКТЫ
  13. 18.7. ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ, КАСАЮЩАЯСЯ ТЕХНОЛОГИИ ПРОИЗВОДСТВА И ВКУСОВ ПОТРЕБИТЕЛЕЙ (СТРУКТУРЫ СПРОСА)
  14. Ш.З. Потребление природных ресурсов и геоэкологических иуслугп Рост потребления
  15. 13.1. ЛИНЕЙНАЯ КОМБИНАЦИЯ И ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ
  16. § 105. Соответствие способа прекращения обязательства способу его возникновения