18.7. ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ, КАСАЮЩАЯСЯ ТЕХНОЛОГИИ ПРОИЗВОДСТВА И ВКУСОВ ПОТРЕБИТЕЛЕЙ (СТРУКТУРЫ СПРОСА)
А = [а„],
где
г = 1, 2, ..., к для факторов,
г = к-1-1, к + 2,...,к + т для продуктов, s= 1, 2, ..., п для производственных процессов,
+ и+ 2, ..., n + h для способов потребления.
Коэффициенты ars положительны для затрат и отрицательны для выпуска продуктов.
Левая часть матрицы А отображает технологию производства фирмы (s = 1, 2, ..., п), правая часть—вкусы потребителей или структуру спроса (s = п + 1, п + 2, ..., п + К). Верхняя часть матрицы А состоит из строк факторов (г = 1, 2, ..., к), в блоке спроса (правая часть) элементы верхних строк — нулевые. Это соответствует предпосылке, согласно которой факторы сами по себе не нужны потребителям. Нижние строки матрицы А— строки продуктов (г = к + 1, А + 2, ..., к т)\ в блоке технологии производства элементы в своем большинстве отрицательны, в блоке спроса — все положительны (или равны нулю).
Остальными исходными данными задачи являются,, во-первых, ресурсы фиксированных факторов, которыми располагает фирма, и, во-вторых, уровни полезности, связанные с различными способами потребления и в каждом отдельном случае зависящие от выбора единичного уровня. Эти данные записываются в виде двух векторов:
Ь = {Ьг &2 ... bk 0 0 ... 0} (к -f иг)-го порядка с = {0 0 ... 0 с2 . . . ch} (/г + /г)-го порядка,
где Ъ — ресурсы факторов, а с — уровни полезности. Нужно отметить, что ресурсы продуктов всегда равны нулю; продукты полностью используются
при потреблении.
Аналогично этому, уровни полезности для производственных процессов всегда равны нулю, производство не есть конечная цель. Следовательно, исходные данные задачи представляются в таком виде:Технология и вкусы Ресурсы
А = [ап] b
Полезность: с'
Постановку задачи можно иллюстрировать на частном примере, хотя характер последнего для многих целей является достаточно общим. Пусть имеется 2 фактора и 2 продукта, 3 производственных процесса и 3 способа потребления. Исходные данные располагаются следующим образом:
Технология и вкусы Производство Потребление Ресурсы #11 #12 а13 0 0 0 Ьг #21 #22 а23 0 0 0 h #31 #32 #33 #34 азь #36 0 — #41 — #42 #43 #44 а45 0 0 0 0 Сі С2 Полезность:
Если считать все а, Ъ и с фиксированными (причем обычно все они положительны), то можно так выбрать единичные уровни и единицы измерения для процессов производства, способов потребления и для товаров, что, например, все Ъ и с будут равны единице, причем остаются достаточные возможности для того, чтобы элементы первых трех столбцов и последних двух строк матрицы были равны + 1 или — 1. Преобразование, в результате которого Ъж с становятся равными единице, называется нормированием соответствующих строк и столбцов.
Чтобы завершить составление прямой и двойственной задач линейного программирования, составим вектор к размерности (п + 1г)} характеризующий переменные уровни способов потребления, и вектор р размерности (к + т) для соответствующих цен. Задача линейного программирования заключается в максимизации достигаемых уровней полезности, то есть в максимизации z — с 'к. Требуется найти такой неотрицательный вектор к, чтобы полезность
z = с 'к — max |
при условии >
Ак<Ь J
Первые к ограничений из общего их числа (к + т) выражают лимитирующие ресурсы факторов. Последние т ограничений — это уравнения, правая часть которых (согласно определению вектора Ь) равна нулю; они отражают требование полного потребления всех производимых продуктов.
Двойственная задача линейного программирования состоит в том, чтобы найти неотрицательный вектор р, минимизирующий стоимость ресурсов
§=Ь'р
при условии (2)
А'р>с*
Минимизируемая переменная ? есть стоимость фиксированных факторов по расчетным оценкам.
Первые п из (п + К) ограничений выражают тот факт, что в каждом производственном процессе эта стоимость по меньшей мере равна выручке (прибыль неположительна). Остальные ограничения обусловливают такой выбор масштаба цен на продукты, чтобы уровень полезности каждого способа потребления был численно равен стоимости потребленных товаров.563
36* Задача линейного программирования, касающаяся технологии производства и вкусов потребителя (или структуры спроса), является расширенным вариантом задачи о фирме, рассмотренной в разделе 17.8. Последнюю можно теперь считать частным случаем задач (1) и (2), в котором существует только один способ потребления, то есть продукты потребляются в определенных фиксированных соотношениях. Сформулированное выше расширение задачи позволяет предусмотреть любое число способов потребления, а значит, взаимозаменяемость товаров не только в производстве, но и в потреблении.
Здесь снова применимы общие замечания, сделанные в разделе 17.8, нужно лишь определенным образом их расширить. Предположим, что в задаче (1) уже исключены неупотребляемые производственные процессы и способы, так что применяется п производственных процессов и h способов потребления. Можно считать, что /г< т; нет нужды применять большее число базисных способов потребления, чем имеется видов потребляемых продуктов. Тогда т уравнений из числа ограничений задачи (1) определяют т — h уровней производственных процессов Х2, Хп и h уровней способов потребления, входящих в z через уровни остальных п — т + h производственных процессов. В А неравенств задачи (1) войдут только уровни Х1, ..., Хп производственных процессов, и поэтому они могут быть приведены к неравенствам относительно п — т + h уровней из них. При максимизации z можно (надлежащим выбором переменных X) превратить в уравнения возможно большее число из п — т In неравенств. Следовательно, в общем случае п — т + + h факторов из к являются дефицитными, а остальные — свободные блага. Число дефицитных факторов на т — h меньше, чем число применяемых производственных процессов; уменьшение вызвано ограничениями, налагаемыми на потребление, где предусмотрено h систем фиксированных отношений (то есть применяемых способов потребления) между т товарами.
Этот вывод, исключениями из которого всегда могут быть «вырожденные» случаи, почти тот же, который получен был ранее (см. 17.8).Практически этот вывод можно использовать тогда, когда матрицу технологии производства и структуры спроса в ходе решения сокращают, исключая все недефицитные факторы и все неприменяемые процессы и способы. Число дефицитных факторов, или п — т + /г, сложенное с числом продуктов т, дает число строк преобразованной матрицы п + /г. Но это же — и число столбцов: имеется п применяемых производственных процессов и h способов потребления. Следовательно, когда в ходе решения матрица технологии производства и вкусов потребителей сокращается, то она оказывается квадратной.
Назначение расчетных оценок задачи (2) обычно: фактор является свободным, если его оценка равна нулю: во всех применяемых процессах прибыли нулевые (в противоположность неположительным). Столбцы матрицы технологии и вкусов А можно умножить на элементы вектора X, а строки — на элементы вектора р, в результате получим стоимостную матрицу:
Эта матрица — квадратная, как и сокращенная матрица А; в самом деле, нулевые элементы вектора р исключают в исходной матрице А строки недефицитных факторов, а нулевые элементы вектора X — столбцы неприменяе- мых процессов производства и способов потребления. В силу свойства ограничений задачи (1), при суммировании элементов матрицы V по строкам мы приходим к стоимости ресурсов фиксированных факторов и к нулевой стоимости продуктов. В силу ограничений задачи (2), при суммировании элементов матрицы V по столбцам производственных процессов получаем нули (нулевая прибыль), а по столбцам способов потребления — уровни полезности.
Далее, отношения между расчетными оценками, определенными из (2), равны разным нормам заменьі между товарами. В производстве возможны три типа норм замены (как это показано в разделе 17.8), а здесь вводится еще один тип замены — замена товаров при потреблении. Отношение между ценами двух продуктов равно норме замены этих товаров как при производстве, так и при потреблении.
Прямая (1) и двойственная (2) задачи линейного программирования в совокупности определяют производство, потребление и расчетные оценки, выраженные через известные исходные данные: матрицу технологии производства и вкусов потребителей (структуры спроса) А, ресурсы Ь и карту безразличия для потребителей с.
С изменением исходных данных меняется и решение, причем самым различным образом, так что здесь снова полезен метод классификации изменений исходных данных, вкратце обрисованный в разделе 17.6. Если ресурсы одного из факторов (скажем, bi) увеличиваются в к раз, то совершенно такие же результаты получим, уменьшая все элементы первой строки матрицы А в к раз. До тех пор пока в решении требуется найти уровни способов потребления и расчетные оценки, не имеет значения — увеличены ли ресурсы дефицитного фактора или уменьшены его затраты на единицу продукта в каждом производственном процессе. Аналогично этому, если вкусы потребителей изменились так, что уровень полезности одного из способов потребления (скажем, сг) увеличился в к раз, то такой же результат получаем при уменьшении в к раз всех элементов одного столбца матрицы А (соответствующего первому способу потребления). В частности, если ресурсы всех факторов и уровни полезности всех способов потребления увеличены в к раз, что равносильно уменьшению всех элементов матрицы А в А раз, то из (1) и (2) очевидно, что все уровни способов потребления и все расчетные оценки также возрастут одинаково в к раз.С этой точки зрения, удобно выразить все изменения данных с помощью матрицы технологии производства и вкусов потребителей А. Изменение всех элементов строки матрицы А в одинаковое число раз соответствует изменению имеющихся в распоряжении ресурсов; аналогичное изменение элементов столбца этой матрицы отражает изменение вкусов потребителей. Остается рассмотреть вопрос непропорционального изменения элементов строки или столбца матрицы А. Такое изменение можно назвать изменением в технологии производства или в структуре вкусов (спроса) потребителей.
Значит, сосредоточив внимание на матрице А, можно так выбрать единицы измерения для к факторов, что ресурсы каждого из них будут равны единице, то есть что вектор Ь будет включать к единичных и т нулевых элементов. Аналогично этому, можно так выбрать единичные уровни способов потребления, что вектор с будет состоять из п нулевых элементов, за которыми следуют h единичных элементов.
Это — нормированная форма задачи.Задачи сравнительной статики бывают следующего типа: как изменяются производство и потребление и расчетные оценки при заданных изменениях ресурсов? уровней полезности? технологии производства? структуры вкусов потребителей? Когда прямая (1) и двойственная (2) задача линейного программирования нормированы, все такие задачи сравнительной статики сводятся к прослеживанию влияния различных изменений на матрицу А.
Иллюстративные примеры, приведенные в следующем разделе, должны продемонстрировать способы решения численных задач линейного программирования. Они показывают также метод решения задач сравнительной статики. Если задача формулируется в общем виде, то она имеет столь большое число различных типов изменений, что почти невозможно всеобъемлюще рассмотреть характер решения в каждом случае и ответить на все вопросы, возникающие при сопоставлении статических вариантов. Здесь необходимы некоторые упрощения, как это сделано в упражнении 2 настоящего раздела. В приводимых ниже иллюстративных примерах упрощениями являются рассмотрение лишь малого числа факторов и продуктов — производственных процессов и способов потребления,— а также задание численных величин, характеризующих технологию производства и спрос потребителей.
Задачи и упражнения
1. Интерпретировать задачу линейного программирования (1), если: а) ненулевыми являются элементы правого верхнего угла матрицы А (первые к строк, последние h столбцов); б) все элементы вектора b отличны от нуля; в) все элементы вектора с отличны от нуля. Показать, что производство продуктов не обязательно совпадает с потреблением (могут изменяться их запасы) и что прибыль по производственным процессам может быть и величиной положительной. 2.
Задача линейного программирования (1) охватывает очень многие случаи, особенно если ее расширить, как это сделано в предыдущей задаче. Рассмотреть, сравнить и противопоставить один другому следующие варианты упрощения задачи:
I). Имеется только один спссоб потребления, то есть один «составной» товар для потребления.
(И) Имеется только один фиксированный фактор, как-то: ресурсы труда или денежного кредита.
(III) Ни один продукт не затрачивается, а выпускается только в одном производственном процессе; в каждом производственном процессе выпускается только один продукт. 3.
Показать, что случаи (I) и (II) предыдущей задачи являются прямой и двойственной задачами, и что при (I) максимизируется полезность, а при (II) минимизируется стоимость факторов. 4.
Показать, что в случае (III) задачи 2 число продуктов равно числу процессов п и что они могут быть расположены так, чтобы появилась отрицательная единичная матрица (—1) п-то порядка в левом нижнем углу матрицы А. Показать, что в двойственной задаче это упрощение заключается в следующем преобразовании ограничивающих соотношений: стоимость единицы равна цене продукта для применяемых процессов и больше цены продукта для остальных процессов. 5.
Пусть число факторов и число способов потребления одинаковы (яг), а в верхнем правом углу матрицы А имеется отрицательная единичная матрица (—1) m-го порядка. Истолковать этот случай и установить связь его со случаем замкнутой экономики, где трудовые услуги являются выпусками процессов, а потребительские товары — затратами.
18.8. НЕКОТОРЫЕ ИЛЛЮСТРАТИВНЫЕ ПРИМЕРЫ
Основные примеры, иллюстрирующие методы решения задачи линейного программирования, касающейся технологии производства и структуры вкусов, являются расширением задач, приведенных в разделе 17.8. Другой и еще более простой пример представляет собой упражнение 1 настоящего раздела. Хотя рассматриваемые задачи взяты снова из области сельскохозяйственного производства и рыбного промысла, примененный метод в равной мере пригоден и для процессов промышленного производства.
Пример (іа).
Производятся зерно и откорм свиней: фиксированными факторами являются земля и труд. Спрос потребителей имеет место в разных пропорциях в соответствии с матрицей технологии и заданными ниже условиями. Ресурсы
Технология и спрос Труд г 50 25 0 0 "і 50 человеко-месяцев
Земля 5 50 0 0 52 акра
Зерно і/а —112 0
Свиньи L — 1 0 1 Va 0
Полезность 0 0 11
Задача линейного программирования состоит в том, чтобы найти неотрицательные Кt максимизирующие полезность:
2=Я 3 + Я4
(1)
при условии
Следует обратить внимание на то, что комбинации товаров в способах потребления соответствуют случаю «равносторонней гиперболы», изображенному на рис. 69. Каждое геометрическое место точек безразличия состоит только из одного отрезка прямой, и существует только одна норма замены: = 2,
2—1 то есть 200 ш зерна компенсируют уменьшение откорма свиней на 100 голов. Ограничения этой задачи линейного программирования распадаются на две пары, (1) и (2), каждая из которых легко решается. Из уравнений (2) получаем:
^з == —
(3)
Тогда максимизируемую величину можно выразить через и А,2:
1 1
z=— у Я2 = тах. (4)
Допустимы только те А,! и при которых Х3 > 0 и Л,4 ^ 0, так что на основании (3) получаем:
hi <; JL и 2
2 3 б 20 "В 1 н
' /Г 75 - 10 - \ \ \ \ Л с э і і 20
60
и точка с координатами (Х^) на плоскости ОАДг (рис. 70, а) должна лежать между двумя лучами OQ и OR, соответственно описываемых уравнениями:
Xl"
и OR :
0
АО
Рис. 70.
Прямая OQ отражает случай Л,3 = (первый способ потребления не применяется). Второй способ потребления не применяется в случае, отображаемом прямой OR. Между этими лучами проводится ряд параллельных прямых, описываемых уравнением 1/2^І+1/З^2 = const; согласно (4), наша задача—попасть на возможно более высокую из этого ряда прямую.
Нам уже знакомы ограничения (1); они отражают лимиты
ресурсов (соответственно) земли и труда. Точка с координатами (Л,іД2) на рис. 70, а должна быть расположена в пределах фигуры ОАРВ, где:
Прямой АР соответствует: 50Л,і+25А,2 = 50 (ресурсы труда используются полностью),
Прямой BP соответствует 5^1+50Х2 = 52— (ресурсы земли используются полностью).
1
У
Следовательно, решение задачи линейного программирования отображается точкой Р, которая лежит на пересечении прямых АР и BP и одновременно расположена на самой высокой из параллельных прямых, проведенных на участке допустимых решений. Решением будет: максимум).
и
> — 1,
7
2=Ї2
я -А 12 '
При этом ресурсы распределятся подобным же образом, как в примере (а) в тексте раздела 17.5, но, кроме того, получается следующее распределение чистого продукта между способами потребления: Потребление Чистый продукт первый способ второй способ Зерно (т) 75 42 33 Свиньи (голов) .... 50 42 8 Группа потребителей потребляет часть продуктов в равных количествах (42 т зерна и 42 головы свиней), а часть—в заданном неравном соотношении (33 т зерна и 8 голов свиней).
В этом случае порядок матрицы остается в решении прежним, то есть матрица решения—четвертого порядка. Возможны и другие случаи, когда порядок матрицы уменьшается до третьего, при этом только один фактор является дефицитным и применяется только один способ потребления. В этом случае решение отображается точкой пересечения одной из прямых OQ или ОР с одной из прямых АР или BP. Такие случаи иллюстрируются далее в задачах 2 и 3 этого раздела.
Пример (б).
Свежая рыба, копченая рыба и дрова производятся при использовании единственного фиксированного фактора (труда). Технология производства и фиксированные соотношения спроса отображаются следующей схемой.
Технология и спрос
Ресурсы Труд человеко-месяцы г 7 1 XU 0 Он 300 Свежая рыба т —1 2 0 4 0 0 Копченая рыба » 0 —1 0 0 2 0 Дрова » 0 3 —1 1 1_ 0 Полезность 0 0 0 1 1 Задача линейного программирования состоит в максимизации
Z = X 4 + ^5 (5)
(6)
при условии:
—a,1 + 2A,2+4b4 = 0, — %2+2ls = Q и ЗЯ2—Л3+Я,4+Я5 = 0.
Из уравнений (6) получаем:
111 1 = —Xe="2"^з"» следовательно, Х1 Значит, максимизируется Х1 при неотрицательных и то есть при условии ^>•2А,2 и Л,2!>0. Произведем подстановку значения К3 в (5):
114 7
4800
Так как максимизируется решение есть Я2 = 0 и ^l^fjg"» чт0 удовлетворяет условиям > 2Л2 и ^2>0. Остальные X можно найти на основе вышеприведенных результатов; полное решение будет следующим:
Лі=42,5, Я,2=0, Яз= 10,6, Я4=10,6, Я5 = 0.
Исходная матрица технологии и спроса—размерности 4x5, так что в решении можно получить квадратную матрицу только тогда, когда исключается (по крайней мере) один процесс производства или способ потребления как неприменяемый. В фактически полученном решении удалось добиться большего: исключены два столбца, из них один по производственному процессу (Лг = 0) и один по способу потребления (ЛБ = 0). В то же время исключен и один товар (копченая рыба), ибо ова не произ- водится. Полученная квадратная матрица—третьего порядка, и решение приобретает следующий вид: Производство первый процесс третий процесс Потребление! Свежая рыба (m) . . . Дрова » ... 42,5 10,6 42.5 10.6
Труд (человеко-месяцы) 297,4 2,6 — і В соответствии с первым способом потребления. Пример (в).
Предыдущую задачу мы можем изменить, исключив производственный процесс- заготовки дров и предположив, вместо этого, что имеется наличный запас дров (подобно труду). Рассмотрим следующую схему:
Технология и спрос Ресурсы Труд человеко-месяцы - 7 1 0 0- 300 Дрова m 0 3 0 0 b Свежая рыба » —1 2 1 3 0 Копченая рыба » - 0 —1 1 V2J 0 Полезность 0 0 1 1 Здесь Ь—постоянная величина (заданные ресурсы дров), которой можно придавать различное значение и отмечать влияние этого значения на характер решения. Следует отметить, что матрица в этой задаче квадратная, так что можно ожидать,, что в решении либо применяются все процессы производства и способы потребленияг и оба фактора являются дефицитными, либо применяется только один способ потребления, и только один фактор является дефицитным.
Задача линейного программирования состоит в том, чтобы найти неотрицательные А,, максимизирующие при условии:
7Х1+Я2<300 и 3Ь*<Ъ, (7)
—а,і+2я2+а,з+зх4=о и — л2+х3+-~я,4=о. (8>
Из (8) следует, что ^3 = V5 (8^2—Лі), Х4 = 2/б (Яі—ЗХ2) и 2 = 1/в (А,! + 2А,2). Значит, максимум достигается в том случае, когда точка решения расположена на самой высокой из параллельных прямых, описываемых уравнением —]—2Л,2 = const, в пределах конуса OQR, где, как показано на рис. 70,6, OQ описывается уравнением Х2~1/8Х1 (при А,3 = 0), a OR—Lуравнением = (при Л4 = 0). Из (7) следует, что решения для Xi и Х2 должны, в соответствии с лимитами факторов, лежать внутри участка ОАРВу где прямая АР описывается уравнением 7ЛІ+А,2 = 300, а прямая BP параллельная оси ОХг на высоте ОВ = 1/3Ь. Координаты точки S суть = 450/И, А,2 = 150/11, а точки Т: = 800/19, Я2 = 100/19. Из рис. 70, б ясно, что характер решения зависит от значения b следующим образом:
I. 6 >450/11; решение соответствует точке S:
а . 150 150 __п
Лі — -jj- , —3—П"' — II.
300/19 <6 <450/11 решение соответствует точке Р (расположенной между S и Т): Хг = 1/21(900-6), Я,2 = 1/зЬ, Я,3= 1/35 (196—300), Л4= (450—116) (4/105). III.
6 <300/19; решение соответствует точке Т: Я1 = 800/19, Я2 = 100/19, А,3 = 0, Я,4=200/19.
В случае (I) дрова избыточны, и их ресурсы не используются до предела, то есть применяется только один способ потребления (Л3) и является дефицитным только один фактор (труд); производятся оба продукта, причем несколько больше внимания уделяется копчению рыбы. В случае (III) положение аналогично этому, лишь дефицитными являются дрова, ресурсы труда не используются полностью, и применяется тот способ потребления, в котором спрос на свежую рыбу превышает спрос на копченую рыбу. Случай II является не столь крайним, а промежуточным: он отвечает положению, при котором оба фактора являются дефицитными, и потребление происходит в соответствии с обоими способами.
В примере (а) получится задача из области сравнительной статики, если заменить численные значения технологических показателей (затрат — выпуска) и вкусов (спроса) потребителей буквенными обозначениями:
Технология и спрос Ресурсы -1 0 1 р-1 О
а11 а12 0 0~ а21 а22 О О V. -1 1 а
Труд Земля Зерно Свиньи
Полезность 0 0 11
Все четыре коэффициента а положительны, а > 1 и р < 1. Можно изменить эти параметры и выявить влияние таких изменений на решение задачи.
Приводимая матрица нормирована. Единицы измерения для труда и земли установлены так, что ресурсы факторов равны единице. Единицы измерения для зерна и свиней выбраны так, что в первом способе потребления расходуется по единице каждого из этих продуктов. Единичные уровни двух производственных процессов установлены таким образом, что выпуском каждого из процессов является единица каждого продукта (соответственно, свиней и зерна). Единичные уровни потребления взяты такими, что каждому из них соответствует единичная полезность.
fl -1
L-i о _
В настоящей задаче мы не рассматриваем изменения соотношений выпуска товаров, эти соотношения фиксированы в численном их значении с помощью
подматрицы
. Это имеет целью сосредоточить внимание на измене
ниях наличных ресурсов факторов и на структуре потребительского спроса, выражаемых, соответственно, элементами а и а, р. Так, если значения апи а12 уменьшены в одинаковое число раз, то результат будет таким же, как при увеличении наличных ресурсов труда. С другой стороны, если изменится соотношение между ап и а12, то естественным результатом явится изменение производительности труда в двух производственных процессах.
Пример (г).
В задаче линейного программирования, исходные данные для которой указаны выше, требуется найти неотрицательные Я, максимизирующие 2 = при условии
у Кг — Я,2+Я3+аЛ4 = 0 —
Решение показано на рис. 70, а, где: Прямой АР соответствует a11X1H-a12^2 = l (ресурсы труда используются полностью) Прямой BP соответствует я2 Ai + я22А,2 = 1 (ресурсы земли используются полностью)
Точке Р соответствуют координаты = , Х2 = аи ^ а21 (ресурсы труда и зем-
ли используются полностью)
X а і
Прямой OQ соответствует —\-~x- (A,s=0)
Лі р ^
X 3
Прямой OR соответствует (Я4=0), и тангенс угла наклона параллель-
Ai ^
ных прямых (позволяющих найти максимум z) равен:
„.и1 ft 3 а11 а12 а21 а22
1-Р
Здесь А =
==аііа22—аі2а2і» и порядковые номера двух факторов выбираются таким образом (а это всегда можно сделать), чтобы А > 0, то есть, чтобы: и
а21 «22
«11 у «21 «12 «22
Решение отражается точкой Р, в которой ресурсы обоих факторов используются до предела, и применяются все четыре процесса производства и способа потребления, если только удовлетворяются все следующие условия:
Точка P в положительном квадранте: — > 1 > —
«21 «22
Точка P расположена между OQ и OR: ——— >-тг
Р 6 #22 — а12 ^ Тангенс угла наклона параллельных прямых является промежу- (9)
точным между соответствующими величинами для прямых АР и BP:
а+4-р—т
giw ' 2 г 2 ->«21^
«12 1 Р «22
Если не выполняется хотя бы одно из этих условий, то решение отражается точкой пересечения одной из пары линий (OQ и OR) с АР (или BP); так, при пересечении
2 3
OR ж BP получаем: = — , = • в этом случае только один
фактор является дефицитным, и применяется только один способ потребления, например дефицитной является земля, а продукты потребляются в соотношении 1:1.
Двойственная задача линейного программирования состоит в том, чтобы найти неотрицательные р, минимизирующие
Z = Pl+P2
при условии:
1
«11,РІ + «2І/>2 > Pi—2 PS ві2Рі + а22Р2 > РЗ
Рз+Р*=1 а/?з + Р/>4=1-
До тех пор пока удовлетворяются условия (9), значения Кі и А,2 отвечают координатам точки Р, а все р положительны. Они находятся по следующим формулам: 2 — а12
я1=
а11 — а21 (10)
Рг
(a+lp—^an-H-fta,
'' (а—Р) А
,1-Р
а—Р
Pi'-
(і_р)в„-(а+1р—|)аи = (а~РМ
Рз~-
а —1 Из соотношений (10) можно узнать все параметры решения, например уровни потребления кз и Я/4» максимум полезности 2, минимум стоимости по расчетным оценкам объем выпуска обоих продуктов и т. д. Представляют интерес нормы замены:
—=-—^ = единственная норма замены между продуктами в процессе потребления />4 а—1 Pi
: норма замены между факторами
^ а + у р —-«22 (1 —Р) «21
Ръ
(1-р) «іі-(а+-|р-|-)«і2
1 ft 3 Pi.
'А
«22 — «2і I — производительность труда в производстве зерна
Рз л \ 1 —р
(аналогичным образом производительность труда выражается и при другом процессе производства).
Будем исходить теперь из решения (10), предполагающего полное использование ресурсов факторов. С помощью уравнений (10) можно проследить влияние любого изменения параметров а или аир; нужно только не забывать, что нарушение любого из условий (9) приводит к неполному использованию ресурсов одного из факторов и к тому, что перестает применяться один из способов потребления. Рассмотрим два следующих изменения из множества возможных их вариантов. Увеличение имеющихся в распоряжении ресурсов труда, или пропорциональное уменьшение аХ1 и а12. Непосредственным результатом, исходя из (10), является увеличение Яі и уменьшение то есть выпуск (производство) свинины (hi) возрастает, а зерна —сокращается. Это увеличение ресурсов может быть настолько*
большим, что нарушится второе условие (9), при еще большем увеличении нарушится и первое условие (9). В ЭТОТ момент X2 = 3/2%i, и выпуск зерна будет равен выпуску свинины. Дальнейшее возрастание наличных ресурсов труда не изменяет выпуска продуктов; ресурсы труда начинают использоваться не до предела, а потребление продуктов устанавливается в фиксированном соотношении 1:1. На рис. 70, а это значит, что положение конуса ОQR осталось неизменным, но положение точки Р изменилось—она сместилась ниже прямой OR.
Изменение структуры вкусов или спроса таким образом, что возрастает полезность сочетания а: р. Это соответствует уменьшению в одинаковое число раз значений аир, при котором увеличивается норма вамены ^—^ . На основании (10) такое
изменение непосредственно не ведет к изменению Лі и Л,2, а значит—и выпуска зерна и свинины. Изменение вкусов не влияет на производство. Его влияние следует искать в ценах и в максимуме достигаемой полезности (а также в минимуме стоимости). Опять на основании тех же уравнений (10) отношение между ps и /?4 возрастает пропорционально норме замены, ибо зерно дорожает ввиду увеличения спроса на комбинацию а : р (а> 1, Р< 1). Далее, падает соотношение между pt и р2, и земля (интенсивно используемая при производстве зерна) начинает оцениваться выше. Если аир- уменьшились намного, то перестает выполняться последнее условие (9). Когда это
происходит, уменьшается, а Х2 увеличивается настолько, что = ресурсы
Лі р
труда перестают использоваться до предела, и потребление устанавливается в предпочтительном соотношении а : р. Расчетная оценка труда рг становится равной нулю. На рис. 70, а это значит, что положения точки Р и прямых OQ и OR неизменны, а лишь уменьшаются численно (по абсолютному значению) наклон параллельных линий, служащих для нахождения максимума z; когда этот наклон становится равным или меньше наклона прямой BP, то точка, отображающая решение, перемещается из Р в точку пересечения OQ и BP.
Задачи и упражнения
1. Решить задачу линейного программирования, в которой требуется максимизировать полезность. Исходные данные следующие:
Технология и вкусы (спрос) Ресурсы Труд " 25 10 0 0 - 50 Земля 50 100 0 0 •260 Пшеница —1 0 1 2 0 Сено - 0 —1 1 V2J 0 Полезность 0 0 1 і Единица измерения пшеницы и сена—100 т. Показать, что дефицитным является только труд и что применяется только первый способ потребления. Как малы должны быть ресурсы земли, чтобы она стала дефицитным фактором?
2. В предыдущей задаче принять ресурсы равными 30 человеко-месяцам и 75 акрам. Решить задачу линейного программирования и показать, что только один фактор дефицитен. Что можно сказать о соотношении применяемых способов потребления? 3.
В примере (а) правый нижний угол матрицы записать в виде ? ^ р J » гДе
параметры а>1, Р<1. Решить задачу, выразив % через аир. Показать, что точка Р на рис. 70,а должна быть расположена внутри конуса OQR (оба фактора являются дефицитными, применяются оба способа потребления) только в случае а/р>3/2. Отсюда показать, что при а/р < 3/2 дефицитным является только один фактор [см. пример (г) в тексте этого раздела]. 4.
Составить и решить задачу линейного программирования, двойственную по отношению к задаче примера (а):
Pi : Рг ' Рз • />4=28 :[5 : 950 : 1900.
? 5. Составить и решить задачу линейного программирования, двойственную относительно задачи примера (в), вначале —при 6 = 45 т, затем —при 6 = 30 т. Истолковать полученные соотношения цен с точки зрения норм замены. 6.
В примере (г) текста рассмотреть влияние пропорционального уменьшения а21 и а22 или, следовательно, увеличения наличных ресурсов земли. 7.
В этом же примере (г) каков смысл и каково влияние следующих изменений: (I)
пропорционального увеличения а1г и а21; (II)
пропорционального увеличения а12 и а22; (III)
изменения соотношения величин аХ1 и а12; (IV)
изменения соотношения величин аир?
Еще по теме 18.7. ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ, КАСАЮЩАЯСЯ ТЕХНОЛОГИИ ПРОИЗВОДСТВА И ВКУСОВ ПОТРЕБИТЕЛЕЙ (СТРУКТУРЫ СПРОСА):
- ГЛАВА 15 ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
- 15.1. ПРОСТОЙ ПРИМЕР ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
- 15.3. ПРИВЕДЕНИЕ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ К РЕШЕНИЮ ИГРЫ
- 15.4. ОБЩАЯ ПРЯМАЯ И ДВОЙСТВЕННАЯ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
- 15.5. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ОБЩИХ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ И ИГРЫ С ДВУМЯ УЧАСТНИКАМИ И НУЛЕВОЙ СУММОЙ
- 15.6. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ ДЛЯ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ ОПЕРАЦИЙ
- 15.9. РЕШЕНИЕ СИМПЛЕКСНЫМ МЕТОДОМ ПРОСТОЙ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
- 16.3. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ОТКРЫТОЙ СИСТЕМЫ ЛЕОНТЬЕВА В ВИДЕ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ОТРАСЛЕЙ
- 17.3. ПРЕДЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ И ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ФИРМЫ
- 17.5. ДВЕ ИЛЛЮСТРАТИВНЫЕ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
- 17.6. ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ ДЛЯ ФИКСИРОВАННЫХ ФАКТОРОВ И ЗАДАННЫХ ЦЕН НА ПРОДУКТЫ
- 17.8. ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ ДЛЯ СЛУЧАЯ НЕИЗМЕННОЙ 3 СТРУКТУРЫ СПРОСА
- 18.6. СПОСОБЫ ПОТРЕБЛЕНИЯ И ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
- 18.7. ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ, КАСАЮЩАЯСЯ ТЕХНОЛОГИИ ПРОИЗВОДСТВА И ВКУСОВ ПОТРЕБИТЕЛЕЙ (СТРУКТУРЫ СПРОСА)
- Глава I Анализ технологий производства зерновых культур и использование незерновой части урожая
- 5.5. Технология производства сбивных мучных изделий
- Безотходная технология производства металлического кальция
- ПОТОЧНО-МЕХАНИЗИРОВАННАЯ ТЕХНОЛОГИЯ ПРОИЗВОДСТВА НЕКОТОРЫХ КАРТОФЕЛЕПРОДУКТОВ
- КЛАССИФИКАЦИЯ. ТЕХНОЛОГИЯ ПРОИЗВОДСТВА
- ПИШУЩАЯ МАШИНКА КАК ТЕХНОЛОГИЯ ПРОИЗВОДСТВА СМИ