18.7. ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ, КАСАЮЩАЯСЯ ТЕХНОЛОГИИ ПРОИЗВОДСТВА И ВКУСОВ ПОТРЕБИТЕЛЕЙ (СТРУКТУРЫ СПРОСА)

А = [а„],

где

г = 1, 2, ..., к для факторов,

г = к-1-1, к + 2,...,к + т для продуктов, s= 1, 2, ..., п для производственных процессов,

+ и+ 2, ..., n + h для способов потребления.

Коэффициенты ars положительны для затрат и отрицательны для выпуска продуктов.

Левая часть матрицы А отображает технологию производства фирмы (s = 1, 2, ..., п), правая часть—вкусы потребителей или структуру спроса (s = п + 1, п + 2, ..., п + К). Верхняя часть матрицы А состоит из строк факторов (г = 1, 2, ..., к), в блоке спроса (правая часть) элементы верхних строк — нулевые. Это соответствует предпосылке, согласно которой факторы сами по себе не нужны потребителям. Нижние строки матрицы А— строки продуктов (г = к + 1, А + 2, ..., к т)\ в блоке технологии производства элементы в своем большинстве отрицательны, в блоке спроса — все положительны (или равны нулю).

Остальными исходными данными задачи являются,, во-первых, ресурсы фиксированных факторов, которыми располагает фирма, и, во-вторых, уровни полезности, связанные с различными способами потребления и в каждом отдельном случае зависящие от выбора единичного уровня. Эти данные записываются в виде двух векторов:

Ь = {Ьг &2 ... bk 0 0 ... 0} (к -f иг)-го порядка с = {0 0 ... 0 с2 . . . ch} (/г + /г)-го порядка,

где Ъ — ресурсы факторов, а с — уровни полезности. Нужно отметить, что ресурсы продуктов всегда равны нулю; продукты полностью используются

при потреблении.

Технология и вкусы Ресурсы

А = [ап] b

Полезность: с'

Постановку задачи можно иллюстрировать на частном примере, хотя характер последнего для многих целей является достаточно общим. Пусть имеется 2 фактора и 2 продукта, 3 производственных процесса и 3 способа потребления. Исходные данные располагаются следующим образом:

Технология и вкусы Производство Потребление Ресурсы #11 #12 а13 0 0 0 Ьг #21 #22 а23 0 0 0 h #31 #32 #33 #34 азь #36 0 — #41 — #42 #43 #44 а45 0 0 0 0 Сі С2 Полезность:

Если считать все а, Ъ и с фиксированными (причем обычно все они положительны), то можно так выбрать единичные уровни и единицы измерения для процессов производства, способов потребления и для товаров, что, например, все Ъ и с будут равны единице, причем остаются достаточные возможности для того, чтобы элементы первых трех столбцов и последних двух строк матрицы были равны + 1 или — 1. Преобразование, в результате которого Ъж с становятся равными единице, называется нормированием соответствующих строк и столбцов.

Чтобы завершить составление прямой и двойственной задач линейного программирования, составим вектор к размерности (п + 1г)} характеризующий переменные уровни способов потребления, и вектор р размерности (к + т) для соответствующих цен. Задача линейного программирования заключается в максимизации достигаемых уровней полезности, то есть в максимизации z — с 'к. Требуется найти такой неотрицательный вектор к, чтобы полезность

z = с 'к — max |

при условии >

Ак<Ь J

Первые к ограничений из общего их числа (к + т) выражают лимитирующие ресурсы факторов. Последние т ограничений — это уравнения, правая часть которых (согласно определению вектора Ь) равна нулю; они отражают требование полного потребления всех производимых продуктов.

Двойственная задача линейного программирования состоит в том, чтобы найти неотрицательный вектор р, минимизирующий стоимость ресурсов

§=Ь'р

при условии (2)

А'р>с*

Минимизируемая переменная ? есть стоимость фиксированных факторов по расчетным оценкам.

563

36* Задача линейного программирования, касающаяся технологии производства и вкусов потребителя (или структуры спроса), является расширенным вариантом задачи о фирме, рассмотренной в разделе 17.8. Последнюю можно теперь считать частным случаем задач (1) и (2), в котором существует только один способ потребления, то есть продукты потребляются в определенных фиксированных соотношениях. Сформулированное выше расширение задачи позволяет предусмотреть любое число способов потребления, а значит, взаимозаменяемость товаров не только в производстве, но и в потреблении.

Здесь снова применимы общие замечания, сделанные в разделе 17.8, нужно лишь определенным образом их расширить. Предположим, что в задаче (1) уже исключены неупотребляемые производственные процессы и способы, так что применяется п производственных процессов и h способов потребления. Можно считать, что /г< т; нет нужды применять большее число базисных способов потребления, чем имеется видов потребляемых продуктов. Тогда т уравнений из числа ограничений задачи (1) определяют т — h уровней производственных процессов Х2, Хп и h уровней способов потребления, входящих в z через уровни остальных п — т + h производственных процессов. В А неравенств задачи (1) войдут только уровни Х1, ..., Хп производственных процессов, и поэтому они могут быть приведены к неравенствам относительно п — т + h уровней из них. При максимизации z можно (надлежащим выбором переменных X) превратить в уравнения возможно большее число из п — т In неравенств. Следовательно, в общем случае п — т + + h факторов из к являются дефицитными, а остальные — свободные блага. Число дефицитных факторов на т — h меньше, чем число применяемых производственных процессов; уменьшение вызвано ограничениями, налагаемыми на потребление, где предусмотрено h систем фиксированных отношений (то есть применяемых способов потребления) между т товарами.

Практически этот вывод можно использовать тогда, когда матрицу технологии производства и структуры спроса в ходе решения сокращают, исключая все недефицитные факторы и все неприменяемые процессы и способы. Число дефицитных факторов, или п — т + /г, сложенное с числом продуктов т, дает число строк преобразованной матрицы п + /г. Но это же — и число столбцов: имеется п применяемых производственных процессов и h способов потребления. Следовательно, когда в ходе решения матрица технологии производства и вкусов потребителей сокращается, то она оказывается квадратной.

Назначение расчетных оценок задачи (2) обычно: фактор является свободным, если его оценка равна нулю: во всех применяемых процессах прибыли нулевые (в противоположность неположительным). Столбцы матрицы технологии и вкусов А можно умножить на элементы вектора X, а строки — на элементы вектора р, в результате получим стоимостную матрицу:

Эта матрица — квадратная, как и сокращенная матрица А; в самом деле, нулевые элементы вектора р исключают в исходной матрице А строки недефицитных факторов, а нулевые элементы вектора X — столбцы неприменяе- мых процессов производства и способов потребления. В силу свойства ограничений задачи (1), при суммировании элементов матрицы V по строкам мы приходим к стоимости ресурсов фиксированных факторов и к нулевой стоимости продуктов. В силу ограничений задачи (2), при суммировании элементов матрицы V по столбцам производственных процессов получаем нули (нулевая прибыль), а по столбцам способов потребления — уровни полезности.

Далее, отношения между расчетными оценками, определенными из (2), равны разным нормам заменьі между товарами. В производстве возможны три типа норм замены (как это показано в разделе 17.8), а здесь вводится еще один тип замены — замена товаров при потреблении. Отношение между ценами двух продуктов равно норме замены этих товаров как при производстве, так и при потреблении.

Прямая (1) и двойственная (2) задачи линейного программирования в совокупности определяют производство, потребление и расчетные оценки, выраженные через известные исходные данные: матрицу технологии производства и вкусов потребителей (структуры спроса) А, ресурсы Ь и карту безразличия для потребителей с.

С этой точки зрения, удобно выразить все изменения данных с помощью матрицы технологии производства и вкусов потребителей А. Изменение всех элементов строки матрицы А в одинаковое число раз соответствует изменению имеющихся в распоряжении ресурсов; аналогичное изменение элементов столбца этой матрицы отражает изменение вкусов потребителей. Остается рассмотреть вопрос непропорционального изменения элементов строки или столбца матрицы А. Такое изменение можно назвать изменением в технологии производства или в структуре вкусов (спроса) потребителей.

Значит, сосредоточив внимание на матрице А, можно так выбрать единицы измерения для к факторов, что ресурсы каждого из них будут равны единице, то есть что вектор Ь будет включать к единичных и т нулевых элементов. Аналогично этому, можно так выбрать единичные уровни способов потребления, что вектор с будет состоять из п нулевых элементов, за которыми следуют h единичных элементов.

Задачи сравнительной статики бывают следующего типа: как изменяются производство и потребление и расчетные оценки при заданных изменениях ресурсов? уровней полезности? технологии производства? структуры вкусов потребителей? Когда прямая (1) и двойственная (2) задача линейного программирования нормированы, все такие задачи сравнительной статики сводятся к прослеживанию влияния различных изменений на матрицу А.

Иллюстративные примеры, приведенные в следующем разделе, должны продемонстрировать способы решения численных задач линейного программирования. Они показывают также метод решения задач сравнительной статики. Если задача формулируется в общем виде, то она имеет столь большое число различных типов изменений, что почти невозможно всеобъемлюще рассмотреть характер решения в каждом случае и ответить на все вопросы, возникающие при сопоставлении статических вариантов. Здесь необходимы некоторые упрощения, как это сделано в упражнении 2 настоящего раздела. В приводимых ниже иллюстративных примерах упрощениями являются рассмотрение лишь малого числа факторов и продуктов — производственных процессов и способов потребления,— а также задание численных величин, характеризующих технологию производства и спрос потребителей.

Задачи и упражнения

1. Интерпретировать задачу линейного программирования (1), если: а) ненулевыми являются элементы правого верхнего угла матрицы А (первые к строк, последние h столбцов); б) все элементы вектора b отличны от нуля; в) все элементы вектора с отличны от нуля. Показать, что производство продуктов не обязательно совпадает с потреблением (могут изменяться их запасы) и что прибыль по производственным процессам может быть и величиной положительной. 2.

Задача линейного программирования (1) охватывает очень многие случаи, особенно если ее расширить, как это сделано в предыдущей задаче. Рассмотреть, сравнить и противопоставить один другому следующие варианты упрощения задачи:

I). Имеется только один спссоб потребления, то есть один «составной» товар для потребления.

(И) Имеется только один фиксированный фактор, как-то: ресурсы труда или денежного кредита.

(III) Ни один продукт не затрачивается, а выпускается только в одном производственном процессе; в каждом производственном процессе выпускается только один продукт. 3.

Показать, что случаи (I) и (II) предыдущей задачи являются прямой и двойственной задачами, и что при (I) максимизируется полезность, а при (II) минимизируется стоимость факторов. 4.

Показать, что в случае (III) задачи 2 число продуктов равно числу процессов п и что они могут быть расположены так, чтобы появилась отрицательная единичная матрица (—1) п-то порядка в левом нижнем углу матрицы А. Показать, что в двойственной задаче это упрощение заключается в следующем преобразовании ограничивающих соотношений: стоимость единицы равна цене продукта для применяемых процессов и больше цены продукта для остальных процессов. 5.

Пусть число факторов и число способов потребления одинаковы (яг), а в верхнем правом углу матрицы А имеется отрицательная единичная матрица (—1) m-го порядка. Истолковать этот случай и установить связь его со случаем замкнутой экономики, где трудовые услуги являются выпусками процессов, а потребительские товары — затратами.

18.8. НЕКОТОРЫЕ ИЛЛЮСТРАТИВНЫЕ ПРИМЕРЫ

Основные примеры, иллюстрирующие методы решения задачи линейного программирования, касающейся технологии производства и структуры вкусов, являются расширением задач, приведенных в разделе 17.8. Другой и еще более простой пример представляет собой упражнение 1 настоящего раздела. Хотя рассматриваемые задачи взяты снова из области сельскохозяйственного производства и рыбного промысла, примененный метод в равной мере пригоден и для процессов промышленного производства.

Пример (іа).

Производятся зерно и откорм свиней: фиксированными факторами являются земля и труд. Спрос потребителей имеет место в разных пропорциях в соответствии с матрицей технологии и заданными ниже условиями. Ресурсы

Технология и спрос Труд г 50 25 0 0 "і 50 человеко-месяцев

Земля 5 50 0 0 52 акра

Зерно і/а —112 0

Свиньи L — 1 0 1 Va 0

Полезность 0 0 11

Задача линейного программирования состоит в том, чтобы найти неотрицательные Кt максимизирующие полезность:

2=Я 3 + Я4

(1)

при условии

Следует обратить внимание на то, что комбинации товаров в способах потребления соответствуют случаю «равносторонней гиперболы», изображенному на рис. 69. Каждое геометрическое место точек безразличия состоит только из одного отрезка прямой, и существует только одна норма замены: = 2,

2—1 то есть 200 ш зерна компенсируют уменьшение откорма свиней на 100 голов. Ограничения этой задачи линейного программирования распадаются на две пары, (1) и (2), каждая из которых легко решается. Из уравнений (2) получаем:

^з == —

(3)

Тогда максимизируемую величину можно выразить через и А,2:

1 1

z=— у Я2 = тах. (4)

Допустимы только те А,! и при которых Х3 > 0 и Л,4 ^ 0, так что на основании (3) получаем:

hi <; JL и 2

2 3 б 20 "В 1 н

' /Г 75 - 10 - \ \ \ \ Л с э і і 20

60

и точка с координатами (Х^) на плоскости ОАДг (рис. 70, а) должна лежать между двумя лучами OQ и OR, соответственно описываемых уравнениями:

Xl"

и OR :

0

АО

Рис. 70.

Прямая OQ отражает случай Л,3 = (первый способ потребления не применяется). Второй способ потребления не применяется в случае, отображаемом прямой OR. Между этими лучами проводится ряд параллельных прямых, описываемых уравнением 1/2^І+1/З^2 = const; согласно (4), наша задача—попасть на возможно более высокую из этого ряда прямую.

Нам уже знакомы ограничения (1); они отражают лимиты

ресурсов (соответственно) земли и труда. Точка с координатами (Л,іД2) на рис. 70, а должна быть расположена в пределах фигуры ОАРВ, где:

Прямой АР соответствует: 50Л,і+25А,2 = 50 (ресурсы труда используются полностью),

Прямой BP соответствует 5^1+50Х2 = 52— (ресурсы земли используются полностью).

1

У

Следовательно, решение задачи линейного программирования отображается точкой Р, которая лежит на пересечении прямых АР и BP и одновременно расположена на самой высокой из параллельных прямых, проведенных на участке допустимых решений. Решением будет: максимум).

и

> — 1,

7

2=Ї2

я -А 12 '

При этом ресурсы распределятся подобным же образом, как в примере (а) в тексте раздела 17.5, но, кроме того, получается следующее распределение чистого продукта между способами потребления: Потребление Чистый продукт первый способ второй способ Зерно (т) 75 42 33 Свиньи (голов) .... 50 42 8 Группа потребителей потребляет часть продуктов в равных количествах (42 т зерна и 42 головы свиней), а часть—в заданном неравном соотношении (33 т зерна и 8 голов свиней).

В этом случае порядок матрицы остается в решении прежним, то есть матрица решения—четвертого порядка. Возможны и другие случаи, когда порядок матрицы уменьшается до третьего, при этом только один фактор является дефицитным и применяется только один способ потребления. В этом случае решение отображается точкой пересечения одной из прямых OQ или ОР с одной из прямых АР или BP. Такие случаи иллюстрируются далее в задачах 2 и 3 этого раздела.

Пример (б).

Свежая рыба, копченая рыба и дрова производятся при использовании единственного фиксированного фактора (труда). Технология производства и фиксированные соотношения спроса отображаются следующей схемой.

Технология и спрос

Ресурсы Труд человеко-месяцы г 7 1 XU 0 Он 300 Свежая рыба т —1 2 0 4 0 0 Копченая рыба » 0 —1 0 0 2 0 Дрова » 0 3 —1 1 1_ 0 Полезность 0 0 0 1 1 Задача линейного программирования состоит в максимизации

Z = X 4 + ^5 (5)

(6)

при условии:

—a,1 + 2A,2+4b4 = 0, — %2+2ls = Q и ЗЯ2—Л3+Я,4+Я5 = 0.

Из уравнений (6) получаем:

111 1 = —Xe="2"^з"» следовательно, Х1 Значит, максимизируется Х1 при неотрицательных и то есть при условии ^>•2А,2 и Л,2!>0. Произведем подстановку значения К3 в (5):

114 7

4800

Так как максимизируется решение есть Я2 = 0 и ^l^fjg"» чт0 удовлетворяет условиям > 2Л2 и ^2>0. Остальные X можно найти на основе вышеприведенных результатов; полное решение будет следующим:

Лі=42,5, Я,2=0, Яз= 10,6, Я4=10,6, Я5 = 0.

Исходная матрица технологии и спроса—размерности 4x5, так что в решении можно получить квадратную матрицу только тогда, когда исключается (по крайней мере) один процесс производства или способ потребления как неприменяемый. В фактически полученном решении удалось добиться большего: исключены два столбца, из них один по производственному процессу (Лг = 0) и один по способу потребления (ЛБ = 0). В то же время исключен и один товар (копченая рыба), ибо ова не произ- водится. Полученная квадратная матрица—третьего порядка, и решение приобретает следующий вид: Производство первый процесс третий процесс Потребление! Свежая рыба (m) . . . Дрова » ... 42,5 10,6 42.5 10.6

Труд (человеко-месяцы) 297,4 2,6 — і В соответствии с первым способом потребления. Пример (в).

Предыдущую задачу мы можем изменить, исключив производственный процесс- заготовки дров и предположив, вместо этого, что имеется наличный запас дров (подобно труду). Рассмотрим следующую схему:

Технология и спрос Ресурсы Труд человеко-месяцы - 7 1 0 0- 300 Дрова m 0 3 0 0 b Свежая рыба » —1 2 1 3 0 Копченая рыба » - 0 —1 1 V2J 0 Полезность 0 0 1 1 Здесь Ь—постоянная величина (заданные ресурсы дров), которой можно придавать различное значение и отмечать влияние этого значения на характер решения. Следует отметить, что матрица в этой задаче квадратная, так что можно ожидать,, что в решении либо применяются все процессы производства и способы потребленияг и оба фактора являются дефицитными, либо применяется только один способ потребления, и только один фактор является дефицитным.

Задача линейного программирования состоит в том, чтобы найти неотрицательные А,, максимизирующие при условии:

7Х1+Я2<300 и 3Ь*<Ъ, (7)

—а,і+2я2+а,з+зх4=о и — л2+х3+-~я,4=о. (8>

Из (8) следует, что ^3 = V5 (8^2—Лі), Х4 = 2/б (Яі—ЗХ2) и 2 = 1/в (А,! + 2А,2). Значит, максимум достигается в том случае, когда точка решения расположена на самой высокой из параллельных прямых, описываемых уравнением —]—2Л,2 = const, в пределах конуса OQR, где, как показано на рис. 70,6, OQ описывается уравнением Х2~1/8Х1 (при А,3 = 0), a OR—Lуравнением = (при Л4 = 0). Из (7) следует, что решения для Xi и Х2 должны, в соответствии с лимитами факторов, лежать внутри участка ОАРВу где прямая АР описывается уравнением 7ЛІ+А,2 = 300, а прямая BP параллельная оси ОХг на высоте ОВ = 1/3Ь. Координаты точки S суть = 450/И, А,2 = 150/11, а точки Т: = 800/19, Я2 = 100/19. Из рис. 70, б ясно, что характер решения зависит от значения b следующим образом:

I. 6 >450/11; решение соответствует точке S:

а . 150 150 __п

Лі — -jj- , —3—П"' — II.

300/19 <6 <450/11 решение соответствует точке Р (расположенной между S и Т): Хг = 1/21(900-6), Я,2 = 1/зЬ, Я,3= 1/35 (196—300), Л4= (450—116) (4/105). III.

6 <300/19; решение соответствует точке Т: Я1 = 800/19, Я2 = 100/19, А,3 = 0, Я,4=200/19.

В случае (I) дрова избыточны, и их ресурсы не используются до предела, то есть применяется только один способ потребления (Л3) и является дефицитным только один фактор (труд); производятся оба продукта, причем несколько больше внимания уделяется копчению рыбы. В случае (III) положение аналогично этому, лишь дефицитными являются дрова, ресурсы труда не используются полностью, и применяется тот способ потребления, в котором спрос на свежую рыбу превышает спрос на копченую рыбу. Случай II является не столь крайним, а промежуточным: он отвечает положению, при котором оба фактора являются дефицитными, и потребление происходит в соответствии с обоими способами.

В примере (а) получится задача из области сравнительной статики, если заменить численные значения технологических показателей (затрат — выпуска) и вкусов (спроса) потребителей буквенными обозначениями:

Технология и спрос Ресурсы -1 0 1 р-1 О

а11 а12 0 0~ а21 а22 О О V. -1 1 а

Труд Земля Зерно Свиньи

Полезность 0 0 11

Все четыре коэффициента а положительны, а > 1 и р < 1. Можно изменить эти параметры и выявить влияние таких изменений на решение задачи.

Приводимая матрица нормирована. Единицы измерения для труда и земли установлены так, что ресурсы факторов равны единице. Единицы измерения для зерна и свиней выбраны так, что в первом способе потребления расходуется по единице каждого из этих продуктов. Единичные уровни двух производственных процессов установлены таким образом, что выпуском каждого из процессов является единица каждого продукта (соответственно, свиней и зерна). Единичные уровни потребления взяты такими, что каждому из них соответствует единичная полезность.

fl -1

L-i о _

В настоящей задаче мы не рассматриваем изменения соотношений выпуска товаров, эти соотношения фиксированы в численном их значении с помощью

подматрицы

. Это имеет целью сосредоточить внимание на измене

ниях наличных ресурсов факторов и на структуре потребительского спроса, выражаемых, соответственно, элементами а и а, р. Так, если значения апи а12 уменьшены в одинаковое число раз, то результат будет таким же, как при увеличении наличных ресурсов труда. С другой стороны, если изменится соотношение между ап и а12, то естественным результатом явится изменение производительности труда в двух производственных процессах.

Пример (г).

В задаче линейного программирования, исходные данные для которой указаны выше, требуется найти неотрицательные Я, максимизирующие 2 = при условии

у Кг — Я,2+Я3+аЛ4 = 0 —

Решение показано на рис. 70, а, где: Прямой АР соответствует a11X1H-a12^2 = l (ресурсы труда используются полностью) Прямой BP соответствует я2 Ai + я22А,2 = 1 (ресурсы земли используются полностью)

Точке Р соответствуют координаты = , Х2 = аи ^ а21 (ресурсы труда и зем-

ли используются полностью)

X а і

Прямой OQ соответствует —\-~x- (A,s=0)

Лі р ^

X 3

Прямой OR соответствует (Я4=0), и тангенс угла наклона параллель-

Ai ^

ных прямых (позволяющих найти максимум z) равен:

„.и1 ft 3 а11 а12 а21 а22

1-Р

Здесь А =

==аііа22—аі2а2і» и порядковые номера двух факторов выбираются таким образом (а это всегда можно сделать), чтобы А > 0, то есть, чтобы: и

а21 «22

«11 у «21 «12 «22

Решение отражается точкой Р, в которой ресурсы обоих факторов используются до предела, и применяются все четыре процесса производства и способа потребления, если только удовлетворяются все следующие условия:

Точка P в положительном квадранте: — > 1 > —

«21 «22

Точка P расположена между OQ и OR: ——— >-тг

Р 6 #22 — а12 ^ Тангенс угла наклона параллельных прямых является промежу- (9)

точным между соответствующими величинами для прямых АР и BP:

а+4-р—т

giw ' 2 г 2 ->«21^

«12 1 Р «22

Если не выполняется хотя бы одно из этих условий, то решение отражается точкой пересечения одной из пары линий (OQ и OR) с АР (или BP); так, при пересечении

2 3

OR ж BP получаем: = — , = • в этом случае только один

фактор является дефицитным, и применяется только один способ потребления, например дефицитной является земля, а продукты потребляются в соотношении 1:1.

Двойственная задача линейного программирования состоит в том, чтобы найти неотрицательные р, минимизирующие

Z = Pl+P2

при условии:

1

«11,РІ + «2І/>2 > Pi—2 PS ві2Рі + а22Р2 > РЗ

Рз+Р*=1 а/?з + Р/>4=1-

До тех пор пока удовлетворяются условия (9), значения Кі и А,2 отвечают координатам точки Р, а все р положительны. Они находятся по следующим формулам: 2 — а12

я1=

а11 — а21 (10)

Рг

(a+lp—^an-H-fta,

'' (а—Р) А

,1-Р

а—Р

Pi'-

(і_р)в„-(а+1р—|)аи = (а~РМ

Рз~-

а —1 Из соотношений (10) можно узнать все параметры решения, например уровни потребления кз и Я/4» максимум полезности 2, минимум стоимости по расчетным оценкам объем выпуска обоих продуктов и т. д. Представляют интерес нормы замены:

—=-—^ = единственная норма замены между продуктами в процессе потребления />4 а—1 Pi

: норма замены между факторами

^ а + у р —-«22 (1 —Р) «21

Ръ

(1-р) «іі-(а+-|р-|-)«і2

1 ft 3 Pi.

'А

«22 — «2і I — производительность труда в производстве зерна

Рз л \ 1 —р

(аналогичным образом производительность труда выражается и при другом процессе производства).

Будем исходить теперь из решения (10), предполагающего полное использование ресурсов факторов. С помощью уравнений (10) можно проследить влияние любого изменения параметров а или аир; нужно только не забывать, что нарушение любого из условий (9) приводит к неполному использованию ресурсов одного из факторов и к тому, что перестает применяться один из способов потребления. Рассмотрим два следующих изменения из множества возможных их вариантов. Увеличение имеющихся в распоряжении ресурсов труда, или пропорциональное уменьшение аХ1 и а12. Непосредственным результатом, исходя из (10), является увеличение Яі и уменьшение то есть выпуск (производство) свинины (hi) возрастает, а зерна —сокращается. Это увеличение ресурсов может быть настолько*

большим, что нарушится второе условие (9), при еще большем увеличении нарушится и первое условие (9). В ЭТОТ момент X2 = 3/2%i, и выпуск зерна будет равен выпуску свинины. Дальнейшее возрастание наличных ресурсов труда не изменяет выпуска продуктов; ресурсы труда начинают использоваться не до предела, а потребление продуктов устанавливается в фиксированном соотношении 1:1. На рис. 70, а это значит, что положение конуса ОQR осталось неизменным, но положение точки Р изменилось—она сместилась ниже прямой OR.

Изменение структуры вкусов или спроса таким образом, что возрастает полезность сочетания а: р. Это соответствует уменьшению в одинаковое число раз значений аир, при котором увеличивается норма вамены ^—^ . На основании (10) такое

изменение непосредственно не ведет к изменению Лі и Л,2, а значит—и выпуска зерна и свинины. Изменение вкусов не влияет на производство. Его влияние следует искать в ценах и в максимуме достигаемой полезности (а также в минимуме стоимости). Опять на основании тех же уравнений (10) отношение между ps и /?4 возрастает пропорционально норме замены, ибо зерно дорожает ввиду увеличения спроса на комбинацию а : р (а> 1, Р< 1). Далее, падает соотношение между pt и р2, и земля (интенсивно используемая при производстве зерна) начинает оцениваться выше. Если аир- уменьшились намного, то перестает выполняться последнее условие (9). Когда это

происходит, уменьшается, а Х2 увеличивается настолько, что = ресурсы

Лі р

труда перестают использоваться до предела, и потребление устанавливается в предпочтительном соотношении а : р. Расчетная оценка труда рг становится равной нулю. На рис. 70, а это значит, что положения точки Р и прямых OQ и OR неизменны, а лишь уменьшаются численно (по абсолютному значению) наклон параллельных линий, служащих для нахождения максимума z; когда этот наклон становится равным или меньше наклона прямой BP, то точка, отображающая решение, перемещается из Р в точку пересечения OQ и BP.

Задачи и упражнения

1. Решить задачу линейного программирования, в которой требуется максимизировать полезность. Исходные данные следующие:

Технология и вкусы (спрос) Ресурсы Труд " 25 10 0 0 - 50 Земля 50 100 0 0 •260 Пшеница —1 0 1 2 0 Сено - 0 —1 1 V2J 0 Полезность 0 0 1 і Единица измерения пшеницы и сена—100 т. Показать, что дефицитным является только труд и что применяется только первый способ потребления. Как малы должны быть ресурсы земли, чтобы она стала дефицитным фактором?

2. В предыдущей задаче принять ресурсы равными 30 человеко-месяцам и 75 акрам. Решить задачу линейного программирования и показать, что только один фактор дефицитен. Что можно сказать о соотношении применяемых способов потребления? 3.

В примере (а) правый нижний угол матрицы записать в виде ? ^ р J » гДе

параметры а>1, Р<1. Решить задачу, выразив % через аир. Показать, что точка Р на рис. 70,а должна быть расположена внутри конуса OQR (оба фактора являются дефицитными, применяются оба способа потребления) только в случае а/р>3/2. Отсюда показать, что при а/р < 3/2 дефицитным является только один фактор [см. пример (г) в тексте этого раздела]. 4.

Составить и решить задачу линейного программирования, двойственную по отношению к задаче примера (а):

Pi : Рг ' Рз • />4=28 :[5 : 950 : 1900.

? 5. Составить и решить задачу линейного программирования, двойственную относительно задачи примера (в), вначале —при 6 = 45 т, затем —при 6 = 30 т. Истолковать полученные соотношения цен с точки зрения норм замены. 6.

В примере (г) текста рассмотреть влияние пропорционального уменьшения а21 и а22 или, следовательно, увеличения наличных ресурсов земли. 7.

В этом же примере (г) каков смысл и каково влияние следующих изменений: (I)

пропорционального увеличения а1г и а21; (II)

пропорционального увеличения а12 и а22; (III)

изменения соотношения величин аХ1 и а12; (IV)

изменения соотношения величин аир?