<<
>>

19.5. УСЛОЖНЕНИЕ ПРОСТЫХ ПРИМЕРОВ

Простота примеров, рассмотренных в разделах 19.2 и 19.3, вызвана тем, что, во-первых, в каждом микроуравнении имеется только одна независимая переменная (доход или цена), и, во-вторых, что ни одна независимая переменная не встречается более чем в одном микроуравнении.
Откажемся от этих ограничений: от первого — в настоящем разделе, от второго — в двух последующих разделах. Теперь каждое из микроуравнений, а также полученное из них единственное макроуравнение, включает несколько независимых пере- менных; при этом приобретают важность различные перекрестные влияния, ранее исключавшиеся.

Предположим, что индивидуальные потребители на самом деле представляют семьи различного размера, и что размер семьи можно отобразить каким- то единым показателем, характеризующим спрос этой семьи на рассматриваемый товар (например, с помощью какой-то шкалы эквивалентности). Обозначим через

Ув = ав1*. + ЬЛ + Лв (*=1, 2, ...,7l) (1)

спрос 5-го потребителя, если его доход равен ps, а размер семьи vs. Требуется найти макроуравнение у = ар, + &v + А, где р, — некоторый совокупный доход, a V —некоторый показатель общей численности населения. Метод (I). Пусть суммирование уравнений (1)

У = 2 У в = 2 «s^s + S Ms + 21 К

s s s s

.дает точное макроуравнение, которое означает, что и р, и v суть взвешенные синтетические показатели рассмотренной выше формы. В самом деле: где

(2)

y = a\i + bv + k,

s. s 8 при условии

является точным макроуравнением, получаемым из микроуравнений (1). Метод (II). При простом укрупнении (г/ = 2 2/s» Vі = 2 Ш и S S S

осередненное макросоотношение y = a\i + bv + k+u, приходится подбирать для некоторого периода времени, для которого заданы динамика г/8, p,s и vs, а значит и движение у, р, и v. Подберем уравнения регрессии:

(3) где

vs = Abs\x + Bbsv + Kbs + v3,

2^3 = 2^3=1 И 2As = 2?as=2^as = 2^s = 0. Значения шести коэффициентов регрессии зависят от характера движения переменных во времени.

Произведем подстановку в уравнение (1) на основе (3), просуммируем по s и получим осередненное макросоотношение для случая простого укрупнения:

у = a\i -f bv + к + и,

где

« = 2 Mas + 2 Mbs — аЛ w Cov (asAas) + п Cov (bsAbs) ' 8 8

Ь = 2 «А* + 2 KBbs = Ь + п Cov (asBJ + п Cov (bsBbs)

8 S

* = 2 К + 2 яД08 + 2 Ь3КЬі = 2 К + п Cov (asKas) + п Cov (6ДЬз)

ss s s

Здесь и — отклонение, имеющее нулевую среднюю арифметическую и не связанное корреляционной зависимостью во времени с р и v. Ковариационные члены в правых частях уравнений (4) представляют систематическую ошибку укрупнения в макропараметрах. Их значения определяются точно так как это делалось выше (см. упражнение 1 настоящего раздела).

Все это уже нам знакомо. Укрупнение по методу (I) является простым, но не «естественным». Осередненные макропараметры, получаемые с помощью метода (И), зависят от значений микропараметров, а также от «истории» переменных в течение выбранного периода времени. Пользуясь этим способом, обычно получаем противоречивые прогнозы. Существуют ситуации, когда противоречиями можно пренебречь, например, если индивидуальные доходы изменяются пропорционально изменениям совокупного дохода, а размер семьи — пропорционально общей численности населения. Однако единственная возможность избежать противоречий во всех случаях — это вычисление р и v как взвешенных синтетических показателей, причем веса определяются уравнениями (2); это — способ безупречного укрупнения (perfect aggregation) обеих переменных.

Новой особенностью здесь являются взаимные влияния подобранных макропараметров уравнений (4). Значение предельной склонности к потреблению а зависит не только от индивидуальных предельных склонностей к потреблению (as), но и от коэффициентов fes, характеризующих влияние размера семьи на индивидуальный спрос. Перекрестное влияние в уравнениях (4) отображается членом

.%bsAbs = nCov{bsAbs)A

s

Здесь сумма весов при bs равна нулю (2-^bs~ 0) и, казалось бы, можно

s

считать, что перекрестные влияния всегда малы.

На самом деле это далеко не так. Если окажется, что коэффициент регрессии является положительным для семей с большим коэффициентом влияния размера семьи на спрос (bs), а для семей с малым bs— отрицательным, то перекрестные влияния могут быть значительным^.

Этот результат легко обобщается для системы микроуравнений:

Уз = asxls + bsx2s + Cax3s + • • • + К (s = 1, 2, . . . , n), укрупняемых в макроуравнение:

у = ах1 + Ьх2 + сх3 + . .. + к.

Укрупнение осуществляется просто; необходимо лишь произвести суммирование всех п уравнений по всем и по каждому из х-в. Результаты укрупнения в точности совпадают с приведенными выше (2), (3) и (4) — лишь в каждом случае число слагаемых будет больше. В частности, в системе (4) окажется больше слагаемых, отражающих взаимные влияния одного параметра на другой. Это рассмотрено Тейлом в его теореме 1 [8]. Такой случай иллюстрируется приведенными ниже задачами.

Задачи и упражнения 1.

Определить значения членов, отображающих ошибку укрупнения в уравнении (4), показав, что

Gov (as^4as) = ~ 2 a*Aas—^ « и Gov (Mbs) = \ 2 bsAbs'

s 8 2.

Если ys = asps-j-bsXs-(-csvs ks есть спрос семьи, имеющей доход ps и состоящей из Xs взрослых и vs детей, то каким образом можно получить уравнение совокупного спроса г/ = apt-(-ЬЛ,сv-f-Л:? Истолковать полученный результат. 3.

Ряд товаров входит в некоторую группу товаров (г = 1, 2, ..., п), остальные не входят. Если спрос индивидуального потребителя на товары определяется уравнением yr = arpr-\-brqr--\-kr (г=з1, 2, ..., и), то правильно ли будет характеризовать спрос этого потребителя на товары всей группы в целом укрупненным уравнением у=ap-\-bq-]~kt где р-тиндекс цен рг для группы товаров (г = 1, 2, ..., и), а q—индекс цен qr для другой группы товаров (г = 1, 2, ..., га). 4.

Показать, что результаты решения упражнения 3 из раздела 19.2 (о потребности отрасли промышленности в рабочей силе), можно ,распространить на случай выпуска отраслью (и входящими в нее фирмами) более чем 'одного вида продукции. 5.

Рассмотреть упрощения в уравнениях (4) при Cov (6s^bs) = Gov (asBas) — 0; проанализировать этот случай аналогично тому, как это сделано в разделе 19.4. В частности, рассмотреть случай простых форм уравнений регрессии (3): ps = ^asM'H~Ms и vs = Bbsv+vs.

<< | >>
Источник: Р. Аллен. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЭКОНОМИЯ. 1963

Еще по теме 19.5. УСЛОЖНЕНИЕ ПРОСТЫХ ПРИМЕРОВ:

  1. Глава 7. Начала логики предикатов
  2. 4.6. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
  3. 15.1. ПРОСТОЙ ПРИМЕР ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
  4. 15.2. ПРОСТОЙ ПРИМЕР: ДВОЙСТВЕННАЯ ЗАДАЧА
  5. 15.9. РЕШЕНИЕ СИМПЛЕКСНЫМ МЕТОДОМ ПРОСТОЙ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
  6. 17.7. ПАРАДОКС РИКАРДО
  7. 19.2. ПРОСТОЙ ПРИМЕР: УКРУПНЕНИЕ ПО ИНДИВИДУАЛЬНЫМ ПОТРЕБИТЕЛЯМ
  8. 19.3. ПРОСТОЙ ПРИМЕР: УКРУПНЕНИЕ ПО ТОВАРАМ
  9. 19.5. УСЛОЖНЕНИЕ ПРОСТЫХ ПРИМЕРОВ
  10. 2. Акерлоф и рынок «лимонов»