3.2. АКСЕЛЕРАТОР

В непрерывной форме без запаздываний простейшее выражение акселератора таково:

/<0=/{?г<«)}. (і)

d

Здесь —У (і) — скорость движения выпуска продукции (дохода), I(t) — движение индуцированных капиталовложений. Обе величины представляют собой потоки во времени. В линейной форме акселератор выражается таким образом:

nt) = v±Y(t), (2)

где v — положительная постоянная, коэффициент инвестиций, указывающий мощность акселератора. Нет необходимости вводить аддитивные постоянные, так как их все равно пришлось бы включить в состав независимых капиталовложений. Следовательно, из уравнения (2) следует, что индуцированные инвестиции представляют собой неизменную долю текущей скорости изменения выпуска продукции.

В непрерывном анализе запаздывания проще всего можно ввести в виде непрерывно распределенного запаздывания показательной формы (см. 1.9). Пусть скорость реакции будет к. Тогда временная постоянная запаздывания будет Т = 1/х. Скорость изменения индуцированных капиталовложений будет следующим образом зависеть от выпуска продукции:

(3)

Это выражение имеет следующий смысл. Потенциальная скорость роста капиталовложений в момент t фиксируется акселератором без запаздывания J(t) = v(d/dt)Y(t). Фактическая скорость роста инвестиций I(t) запаздывает, и приращение капиталовложений (d/dt)I(t) пропорционально разности — {/(?) — /(?)} = — {/(?) -г v(d/dt)Y(t)}. Коэффициент пропорциональности к показывает скорость реакции.

Зависимость (3), включающую запаздывания показательной формы, удобно выразить с помощью дифференциального оператора D = d/dt (см. приложение А). Имеем:

DI= —x{I — vDY),

то есть

J=DT^vDY' (4)

которое и представляет собой выражение акселератора.

Если простая показательная форма считается слишком специфичной, можно вместо нее ввести в модель два или более таких запаздывания, действующих последовательно. Для двух запаздываний, каждое из которых имеет скорость реакции 2х (или имеет временную постоянную г/2Т), акселератор (4) примет вид (см. 1.9, упражнение 4)

При дискретном анализе акселератор без запаздывания можно написать при линейной зависимости в такой форме:

It = I{(Yt-Yt_1)} = v(Yt-Yt_1). (5)

Это идентично выражению (2) — индуцированные капиталовложения зависят от изменения текущего выпуска продукции.

h = I - Yt.t)} = о (У..Х- Ум). (6)

В этом случае имеется единственное запаздывание на один временной интервал. Оно отражает тот факт, что в ожидаемых соотношениях, под влиянием которых формируются планы капиталовложений, обычно учитывается лишь самое последнее изменение выпуска продукции, именно изменение в предыдущий период Yt_x — Yt_2. Применение уравнения (6) вместо (5), по-видимому, согласуется с использованием функции потребления при запаздывании Ct = C{Yt_x) (см. 2.7). Если планируемое потребление принимается зависимым от уровня дохода прошлого периода, а не от текущей величины дохода, то столь же важно планировать капиталовложения в зависимости скорее от изменений в выпуске продукции за прошлый период, чем от изменений текущего периода.

Легко обобщить дискретную форму акселератора (6) на случай с запаздыванием, распределенным между любым количеством временных интервалов. При линейной зависимости будем иметь

It = - Yt-г) + (*V2 - Yt_3)+ ...,

где (7)

vx + v2 + ... = v.

Теперь имеем ряд коэффициентов инвестиций (vl9 v2, ...), сумма которых равна общей мощности акселератора v. В частности, например, коэффициенты могут уменьшаться в геометрической прогрессии. Этот случай геометрического изменения запаздывания в наибольшей степени соответствует запаздыванию в форме показательной функции (4).

При уяснении смысла распределенного запаздывания, представленного как уравнением (7), так и уравнениями (3)и (4), следует принять во внимание, что / представляют собой затраты на капиталовложения (а не объем решений о капиталовложениях) и не* величину поставок оборудования. Сказать, что инвестиционные затраты в интервале времени t зависят от изменения выпуска продукции на протяжении целого ряда прошлых периодов, равносильно утверждению, что изменение выпуска продукции в интервале t повлечет появление затрат на капиталовложения в будущем в течение ряда интервалов. Между изменением выпуска продукции и моментом решения о капиталовложениях может существовать временной разрыв. Но в любом случае, коль скоро такое решение принято, потребуется время на размещение заказов и производство платежей либо за поставку оборудования, либо в виде авансовых платежей. Если же учесть, кроме того, что индуцированные данным выпуском продукции капиталовложения представляют собой «причудливую смесь» (mixed bag) различного рода заводов, машин и запасов, то вполне резонно предположить, что затраты на капиталовложения распределяются между целым рядом интервалов времени.