6.9. АНАЛИЗ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ КАПИТАЛОВЛОЖЕНИЙ

Vt = cyt-1 + Щ (у 1-і - Уі-2) + щ (у 1-2 - Vt- з)' (*)

Мы подробно рассмотрим здесь случай, когда задано w=wl+w2 и 0Даже если w=w1-\-w2 положительно, все же возможно, что wx или w2 будет отрицательным, так как оба коэффициента представляют «ослабленный» тип. Если капиталовложения скучены главным образом в первом периоде, то w2 может быть отрицательным и wl > w\ если же капиталовложения откладываются главным образом до второго периода, то wx может стать отрицательным и w2 > w. Мы пользуемся здесь коэффициентами w и w2. Обычным случаем будем считать 0 w.

Решение для случая распределенных капиталовложений будет yt = = АгХ[ + Л2Ц + А3Х*3, где Х2, Х3 — корни характеристического уравнения [см. 6.7, уравнение (3)]

Xs -{w-w2 — s+ 1) X2-\-(w — 2 w2) X + w2 = 0. (2)

Сравним это с решением для соответствующей простой модели (см. 6.2) с теми же значениями w и s, но при отсутствии распределения капиталовложений, то есть с yt = А1Х[ + А2Х*2, где Хх и Х2 — корни уравнения

X2-(w-s-\-l)X + w = Q. (3)

Так как X Ф 0 до тех пор, пока w2 Ф 0, то уравнение (2) можно преобразовать следующим образом:

X2-(w-s-\-l)X + w = -w2 , '

то есть

(4)

f(K)=g(x). J

Если приравнять здесь к нулю левую часть f(X) = X2 — (w — s + 1) X + w, lo получим характеристическое уравнение простой модели (3), a g(X) = = — w2(X — 1)2/Х вводит постоянную w2 распределения капиталовложений.

Корни уравнения (4) можно найти графически, определив точки пересечения кривых f(X) и g(X), нанесенных на тех же осях.

— V~w)2, кривая на рис. 12,6 и простая модель характеризуются затухающими колебаниями yt.

Кривая g(X) (рис. 15) при хю2 > О представляет собой гиперболу (случай w2 < О рассмотрен в упражнении 2). Кривая зависит от значений w2. На рис. 15 показаны два случая. Точка минимума А приходится на Х = — 1, и для нее величина g равна 4w2, точка максимума В

имеет координаты Х = 1 и g = 0. При возрастании w2 кривая становится везде круче. Налево от точки О касательная к кривой также сдвигается вверх, но направо от точки О она проходит вблизи точки В.

На рис. 16 изображены кривые /(А,) и g(A,) вместе. Хотя w принимается неизменным, s и w2 могут принимать различные значения. Увеличение s сдвигает f(X) вверх и влево, а изменение положения g(X) при росте w2 показано на рис. 15. При малых значениях s и почти независимо от w2 кривая f(X) опускается ниже ОХ между 0 и 1 и на этом промежутке пересекает g(X) в двух точках, а также в одной точке — в интервале (0, —1). Уравнение (4) имеет три корня, по абсолютной величине меньших 1: два положительных (Хх и X.) и один отрицательный (Х3), и решение yt сходится к нулю без колебаний.

Однако при увеличении s или w2, кривые перемещаются так, что они не пересекаются друг с другом в области значений X (0, 1). Тогда положительные, меньшие единицы корни уравнения (4) заменяются комплексными, и в решении yt появляется элемент колебательного движения. Точно так же при увеличении s или w2 отрицательный корень возрастает по абсолютной величине. В решении относительно yt более важное значение получает член с Х13.

Член с XI представляет собой новое свойство, которого не было в простой модели: он вводит в решение yt чередование знаков или короткий цикл с периодом 2.

—5 + 1) + ДО< 4 W2y

то есть s > 2(l + W—2W2), ИЛИ W2 > /4(l + W—Vzs). При достаточно больших значениях s или г^2или соответствующей их комбинации, получается (— Х3) >1 и знакочередующееся изменение yt будет взрывным. В частности, если отложенные капиталовложения настолько велики, что юъ не только больше w, но и больше — w), то условие (—Х3) > 1 будет справедливо при всех s. При меньших значениях w2 условие (—Я3) > 1 может соблюдаться все же при достаточно больших значениях s.

В модели с распределенными капиталовложениями, как и в простой модели, колебания yt при данном w возникают лишь при достаточно больших s. В простой модели условием возникновения колебаний является s> (1—1/w)2, и положение кривой /(X) тогда выше оси ОХ. В модели с распределенными капиталовложениями колебания могут возникнуть и при несколько меньшей области значений s, так как кривая f(X) может опуститься ниже оси ОХ и все же не пересечься с кривой g(A;). Из характеристического уравнения (2) следует, что произведение трех корней Хх, Хъ и Х3 будет равно (—w2), то есть

независимо от того, будут ли Xi и Хъ вещественными или комплексными. При увеличении s (—Х3) возрастает, а произведение Х^ъ убывает. Когда оба этих корня вещественны, то они представляют собой положительные правильные дроби; когда же они комплексны [r(cos0± jsin B)], то произведение ХгХ2 равно г2. Следовательно, г2 меньше 1 и уменьшается по мере увеличения s. Колебания затухают сильнее при увеличении значений s.

Таким образом, для модели с распределенными капиталовложениями при заданном г^(0<г^<1)ине слишком малом s решение yt будет иметь следующую форму:

Vt = Аг37 cos (0f - є) + В (- X)1,

где А, В и 8 — произвольные постоянные, а X означает численную величину отрицательного корня Х3. Как и в простой модели с концентрированными капиталовложениями, модель с распределенными капиталовложениями содержит член, выражающий затухающее колебание; различие в том, что оно возникает при значительно меньших значениях s, а затухание ускоряется при увеличении s (а не остается постоянным). В добавление к этому в решении имеется выражение, характеризующее чередование знаков (или появление короткого цикла) вследствие отсрочки части капиталовложений. Чем больше величина откладываемых капиталовложений и чем больше s, тем большую роль играет выражение, характеризующее чередование знаков, и тем более вероятным становится появление взрывного короткого цикла, доминирующего в решении. Короткий цикл становится превалирующим при малых или отрицательных значениях wx и, значит, при величине близкой или превышающей w. Большая величина предельной склонности к сбережению s вызывает затухание колебаний yt и усиливает возможность появления доминирующего в решении короткого цикла. Все это представляет собой развитие очень сходных результатов, порученных выше (см. 6.8) для модели с отсроченными капиталовложениями.

Задачи и упражнения 1.

Показать, что g (к) = — w2 (X— 1)2Д для ш2>0 имеет максимум 0 при Х = 1 и минимум 4w2 при Х=—1 (см. рис. 15). Каковы будут результаты при w2<^0? 2.

Показать, что при ш2<С0 и 0<ш<1 кривая g (X) будет такой же, как на рис. 15, но отраженной в ОХ. Изменить соответствующим образом рис. 16 и показать, что решение у[ в общем случае будет содержать, кроме выражения, показывающего наличие колебаний, также и дополнительный член, характеризующий равномерное затухание. Сравнить с простой моделью (при w2 — 0). 3.

Показать, что характеристическое уравнение (2) имеет корень Х= — 1 при

Щ= + ш — у и что Два других корня будут заданы выражением:

А,2 + (ш — 3w2) X+w2 = 0. Объяснить этот случай с помощью рис. 16 и показать, что «короткий цикл» представлен теперь постоянным знакочередующимся выражением. 4.

Показать, что случай с s = 0 соответствует корню А = 1 характеристического уравнения (2) и наоборот. Каким образом этот корень появляется в решении для yt? Показать далее, что остальные два корня определяются из уравнения А2 — дохА— w2 = 0. Исследовать это уравнение при положительных wx и до2- 5.

Показать, что в случае. 5 = 0 (А —1) конечно-разностное уравнение (1) приводится к уравнению второго порядка относительно zt = yt — yt-i- Решить его относительно zt и сравнить с результатами решения предыдущего упражнения. 6.

Привести характеристическое уравнение (2) к форме /(A) = g(A), где /(А) =

= А2 — (wx — 5+1) k-\-wx и g (X) — w2 у ^ » и графически расположить корни. Сравнить с рис. 16. 7.

Привести характеристическое уравнение (2) к виду:

(А —1) (X2 — w1X — W2) = —SK2.

Исследовать сначала случай 5 = 0 (см. упражнения 4 и 5). Затем для s ф 0 и А Ф 1

А2

привести уравнение к виду f(k) = g(K), где / (А) = A2 — дохА —w2, g (%)= —s ,

и графическим методом найти корни, как это показано на рис. 16. Вывести отсюда результаты возрастания s от нуля. 8.

Рассмотреть случай равномерного распределения капиталовложений на протяжении двух периодов (^w1 = w2 = w . Показать, что конечно-разностное уравнение (1) примет вид:

Уі = сУі-і+^ w (yt.i — yt-з)

и будет иметь характеристическое уравнение

F (А,) = А3— ^-і-ш-f-c^ А2-]—ш = 0.

Показать, что: а) либо существуют два вещественных корня А, больших 1, и один отрицательный А; б) либо существуют два вещественных положительных значения А, меньших 1; в) либо же не существует вещественных и положительных значений А. Показать, что случай (а) характеризует неколебательный взрывной рост, а случай (в)— колебательное изменение дохода во времени. Какой смысл имеет случай (б)?

— 2 9.

Показать, что в предыдущем упражнении F (А) имеет минимум при А=— х X ^-і-до-f-c^ . Исследовать знак F(k) при А=1, показать, что

взрывной случай (а) из предыдущего упражнения наступает, когда

одновременно больше как 1, так и fw . Показать, что, когда до = 2, взрывной рост будет происходить лишь при с >0,9, но что при до=1 взрывной случай не может возникнуть. 10.

Распространить условия двух предыдущих упражнений на модель с равномерно распределенными капиталовложениями на протяжении п периодов ^до1==до2 =

1 Л

= до3... =wn = — до ) , описываемую конечно-разностным уравнением