<<
>>

8. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ, ИНТЕГРИРОВАНИЕ И КОМБИНИРОВАНИЕ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ ПРОЦЕССОВ

Рассмотрим гармонику:

y = Acos (a)* + е).

Скорость колебательного процесса определяется производной, то есть = — (йА sin (со* + є) = (оА COS ^ со* + є + .

Таким образом, скорость колебательного процесса изменяется также по гармоническому закону, но фаза скорости на четверть периода обгоняет фазу исходной гармоники, а амплитуда скорости = соЛ.

Рассмотрим теперь затухающий или взрывной колебательный процесс:

у = Aeat cos (со* + є), ^ = Aeat [a cos (со*+ е) — со sin (со* + e)] =

= Aeat l/a2 + cp2[~ r a — cos (со* -f- e) 03 sin (co* + e)l =

r L/a2+co2 v ' /a2-Ho2 4 'J

= qAeat [cos T) cos (со* + є) — sin r) sin (со* + є)] = cos (со* + є + rj),

p = l/a2 + ci)2 и т] — arg (а -f- ш) = arg р.

Вторая производная имеет вид

-^f-« q2Aeat cos (ю* + є + 2т]). Производная w-ro порядка выразится аналогичной формулой: -g- = Dny = QnAe^ cos (со* + є + пц),

где D — оператор дифференцирования, a DnY представляет собой вещественную часть производной DnAei&ept.

Применение оператора дифференцирования D к выражению W (?) = Aeieepi эквивалентно умножению этого выражения на характеристический показатель р = а+ш: (dW/dt) = рАе1ге& = pW и в общем виде DnW = pnW. Эта формула имеет смысл и в случае целого отрицательного п.

Колебательный процесс, запаздывающий на неизменный промежуток времени 0 единиц относительно процесса У (?) = COS(CO? + 8), будет:

У (t — 0) = Леа«-0> cos [СО (t — 0) + Е] = e~aQAeat cos (cot + e — <о0).

Если взять вектор W (t) = Ае*ее&, то запаздывающий вектор будет:

W {t — 0) = Аеівеі>«-^ = Аеіе = e~P&W (t),

то есть запаздывание процесса на 0 эквивалентно умножению вектора W(t) на a Y(t — 0) будет вещественной частью запаздывающего вектора

или У — 0) = cos (со?+є —со0). Итак:

Затухающий (или взрывной) колебательный процесс у (t) — Aeat cos (со? + е) можно рассматривать как вещественную часть комплексной функции:

W(t) = AeieePl,

где р(р = а-\-т) есть характеристический показатель колебательного прс- цесса.

Последовательное дифференцирование функции W (?) сводится к умножению ее на соответствующую степень характеристического показателя р: DnW = pnW, а запаздывание процесса на 0 эквивалентно умножению этой функции на е~0зэ.

Комплексное представление колебательных процессов полезно при исследовании наложения двух процессов с одинаковыми частотами и коэффициентами затухания. Пусть имеется любое число колебательных процессов:

yn = 4aee'cos(tof + en) (тг= 1,2,3, ...),

которые могут иметь различные начальные амплитуды и фазы.

Их сумма., то есть результат наложения колебаний, описываемых уп, выразится так:

у=2ул = 2 К^1 cos (ю* + еп).

| п п

Эта сумма является вещественной частью функции W(t), а последняя равна:' W (t) = 2 Wn (t) = 2 Anei^evt =

n n

где Аеі8= 2 АпеІЄп.

п Следовательно, начальный вектор Аеіе суммарного колебательного процесса является суммой начальных векторов слагаемых процессов. Суммарный комплексный колебательный процесс получается умножением этого начального вектора на е& = еаеш, то есть имеет ту же частоту и тот же коэффициент затухания, что и слагаемые процессы. В случае двух колебательных процессов Y = Y1 + Y2 = (A1eiei + А21е*)е*>г.

На рис. 74 изображен простейший случай — сложение двух гармоник. Соответствующие комплексные гармоники изображены в виде их начальных

векторов] ОРг и ОР2. Начальный вектор суммарного процесса есть векторная сумма ОР = ОР1 + ОР2» то есть направленная диагональ параллелограмма, построенного на слагаемых векторах.

На рис. 74 слагаемые гармоники представлены пунктирной и штриховой линиями, а их сумма—сплошной кривой.

Если у = Aeat cos (

<< | >>
Источник: Р. Аллен. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЭКОНОМИЯ. 1963

Еще по теме 8. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ, ИНТЕГРИРОВАНИЕ И КОМБИНИРОВАНИЕ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ ПРОЦЕССОВ:

  1. 8. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ, ИНТЕГРИРОВАНИЕ И КОМБИНИРОВАНИЕ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ ПРОЦЕССОВ