5.6. ЭКОНОМИЧЕСКИЕ ИЛЛЮСТРАЦИИ

Pq — начальное отклонение.

В расширенной паутинообразной модели из раздела 1.6 отклонение цены от ее уровня в условиях статического равновесия, pt = Pt — Р, описывается разностным уравнением:

Pt = c(1 - в) Pt-i + cQpt_2, (1)

где с = — есть отношение угловых коэффициентов прямых предложения

и спроса, a Q (обычно 0 0 и, следовательно, с <0.

Введя обозначение у = (— с) = . Ъ , мы получим следующее характеристи-

( а)

ческое уравнение:

^2 + Y(1-eH + Ye = 0 156

с сопряженными комплексными корнями Х1у Х2 = r(cos0 ± isin0), если

y

Это будет иметь место при умеренной величине Q (примерно 30/2) и если угловой коэффициент предложения не очень большой по сравнению с угловым коэффициентом кривой спроса. Например, если Q = 1/2, то Y < 8, то есть Ъ < 8( — а). Если (2) выполняется, то на основе раздела 5.4:

r = VyQ И tg 0 = - /, (3)

а общее дискретное решение уравнения (1) получается в виде

Рі =*Аг1 cos (0? — є), (4)

где А и є определяются начальными условиями.

В обычных случаях восходящей кривой предложения и нисходящей кривой спроса и при средней по размеру величине Q условие (2) практически всегда выполняется, и, следовательно, отклонение цены от ее значения в положении равновесия носит колебательный характер.

В колебательном решении (4) период равен 2л/0, и колебания затухают, если r< 1, где г и 0 определяются выражением (3). Полученные результаты интересно сравнить с простой паутинообразной моделью, где изменение цены знакочередуется (период колебания равен 2) и затухает, если Ъ < (—а).

Ъ

Так как tg0Ь

колебания r2 = YQ<1» ТО есть у = -—= должно быть меньше І/Q, которое больше 1. Следовательно, затухающее колебание может иметь место даже в том случае, когда &> — а, то есть если даже кривая предложения наклонена круче, чем кривая спроса.

В рассматриваемой модели затухание колебаний более обычно, чем в простой паутинообразной модели. По сравнению с последней расширенная модель имеет более сильное затухание и более продолжительный период колебания.

Когда в модели изменения цен учитываются запасы товаров (см. 1.7, модель II), отклонение цены от ее уровня в условиях равновесия характеризуется уравнением

Pt = (2 - (Ь - а)} Рі_г - pt_2> (5)

где X > 0. Предположим обычный случай восходящей кривой предложения и нисходящей кривой спроса, так что а < 0, b > 0 и (Ь — а) > 0. Обозна-

чим с= 1 — — Х(Ъ— а), так что с < 1.

Pt = 2*Pt-i — Pt-r (5а)

Оно приводит к граничным решениям (см. упражнение 6 из раздела 5.4). Характеристическое уравнение относительно \i имеет вид:

|Л2 — 2qx + 1 — 0

с корнями |Л2 = с ± Yс2 — 1.

Характер корней зависит от величины X, и мы получаем следующие

случаи: 1

11 -1 < с < 0;

III Ж^, 0<с<1.

Если X невелико (не больше, чем 4/(6 —а)), с является положительной или отрицательной дробью, и вспомогательное уравнение имеет сопряженные комплексные корни:

г (cos 0 + фІП0) = С± i]/l — с2,

так что г = 1 и tg 0 = ± \f — 1 . (6)

Решение уравнения (5) на основе раздела 5.4 имеет вид

Pi — A (cos Qt — є), (7)

где А и 8 определяются начальными условиями. Когда Я; <4/(6 —а), движение цен всегда имеет характер регулярного колебания с периодом 2л/0. В выражении (6), определяющем tg0, знак плюс берется в том случае, когда X < 2/(Ь — а) и с положительно; тогда 0 лежит между 0 и л/2. Если же 2/(6 — а) < X < 4/(6 — а) и с отрицательно, то tg0 берется со знаком минус; 0 лежит здесь между я/2 и я. Следовательно, при увеличении X от 0 до 2/(Ь — а) и далее до 4/(6 —а), 0 увеличивается от 0 до л/2 и далее до л, а период колебания убывает от оо до 4 и далее до 2. Таким образом, хотя колебание всегда регулярно, его период зависит от величины X. Когда X увеличивается, период колебания укорачивается и при приближении X к критической величине 4/(Ь — а) он в итоге стремится к 2 (то есть когда изменение цены знакочередуется).

Разностные уравнения встречаются также в дискретном анализе динамических моделей с мультипликатором и акселератором, которые мы рассматривали в разделах 2.7, 3.6 и 3.7. Динамическая модель мультипликатора (см. 2.7) характеризуется разностным уравнением относительно дохода: Yt — cYt^ = At, где с —постоянная предельная склонность к потреблению, a At независимые затраты. Если эти затраты At рассматривать растущими во времени по закону геометрической прогрессии, то это разностное уравнение примет вид:

У1-вУ,_1 = Л(1 + '-)'. (8)

Дополнительной функцией (или общее дискретное решение соответствующего однородного уравнения) для уравнения (8) является ух = Ас1, а его частный интеграл:

У, = У0(1 + г)!, где У0 = _А_,

'-TP

что легко проверить подстановкой в (8). Полное дискретное решение (8) в случае роста по геометрической прогрессии:

У, = У0(1 + г)*+Ас1.

Если дано, что при ? = 0 Yt = Y0, то произвольная постоянная А = У0 —У0.

При изложении теории роста Харрода — Домара (3.6) были предложены ее различные динамические варианты. Один из них, описываемый уравнением (3) в разделе 3.6, приводится к разностному уравнению:

где $ = 1 — с — предельная склонность к сбережению, a v — мощность акселератора. Характеристическое уравнение будет иметь вид:

W-(l + v)K+(v+s) = 0. (9)

Если уравнение (9) имеет сопряженные комплексные корни, то движение дохода Yt во времени имеет колебательный характер. Условием этого является: (1 + у)2 — 4(a + s) < 0. Следовательно, (1-у)2 <4s, и мы получаем:

1 — 2 У7 < у < 1 + 2 У 7

или

{l-y7)2Этот случай, когда мощность акселератора v около единицы, а предельная склонность к сбережению s мала, встречается часто. Если уравнение (9) имеет корни ге±іе, то, на основании (9) из раздела 5.4, г2 = (а-)-$), и величина 7* определяет, будут ли колебания затухающими или взрывными. Вполне вероятен случай, когда u + s>l, так что следует ожидать колебаний взрывного характера. Точным условием этого является: 1

Второй динамический вариант модели Харрода — Домара приводит к уравнению (5) из раздела 3.6:

с характеристическим уравнением:

+ + О = (10)

Это уравнение отличается от (9) только слагаемым s/v в коэффициенте при X. Однако этого различия вполне достаточно, чтобы изменить всю картину. Уравнение (10) будет иметь вещественные корни, если значение

следующего выражения будет неотрицательным:

+ = ^ + +

Это справедливо для всех v и s. Из этого следует, что в рассматриваемом варианте движение Yt во времени не имеет колебательного характера. Остается выяснить только вопрос, является ли это движение затухающим или взрывным. По формулам Виета, два вещественных корня уравнения (10) Хг и Х2 удовлетворяют следующим условиям:

X, + X2 = v+^>0t Xlf X2 = v+s> 0.

Следовательно, оба корня положительны, и~движение Yt = А1Х[ + А2Х[ имеет монотонно возрастающий характер. Вполне вероятно, что v + s> 1 и, таким образом, Xlt Х2>1. Из этого следует, что по крайней мере один из вещественных корней больше единицы, т. е. в рассматриваемом случае движение Yt имеет взрывной характер, поэтому любое решение окажется неустойчивым.

Задачи и упражнения 1.

Исследовать решение расширенной паутинообразной модели (уравнение (1)), когда Q < 0 и поставщики ожидают, что движение цен будет продолжаться в том же направлении. Показать, что в обычном случае (а < 0, &> 0) характеристическое уравнение имеет вещественные корни, причем больший по абсолютной величине будет отрицателен. Вывести отсюда, что преобладающим движением pt является знакочередо- вание, как и в простой паутинообразной модели, но оно усилено в данном случае ожиданием поставщиков. 2.

В расширенной паутинообразной модели исследовать случай, когда а<0 и Ь<0 и ( — а) >( — &). Что можно сказать об этой модели, если Q = 0 И Q = 1? 3.

В модели с запасами (уравнение (5)), предполагая (Ь — а) > 0, возьмите К > ^ ^ .

Покажите, что Р1=Л1\1^-\-А2\1*2, где р,ь р2 = с ± V^2— і. Покажите также, что доминирующий член содержит отрицательное |хх, превышающее по абсолютной величине 1. Описать движение pt. Исследуйте далее случай, когда (6 — а)<0. Может ли так быть в действительности с экономической точки зрения? 4.

Расширьте модель с запасами, уравнение (5), как это делалось в упражнении 2 раздела 1.7. Решите ее и интерпретируйте для обычного случая а < 0, 6>0. 5.

Завершите анализ уравнения (9) и покажите, что Значение r+s Движение У J Затухающее, неколебательное (l —< P + S< 1 Затухающее колебание Взрывное колебание Взрывное, неколебательное При заданном s (обычно небольшом) истолкуйте это, исходя из мощности акселератора. Сравните полученные результаты с моделью мультипликатора-акселератора Самуэльсона —Хикса (см. 6.1 и рис. 11).

6. Положить в предыдущем упражнении s = 0 и показать, что в этом случае колебательное движение Yt невозможно. Докажите, что v < 1 предполагает затухающее, а У>1 взрывное изменение К/.