<<
>>

4.7. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ МЕТОДОМ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА

Пусть дано дифференциальное уравнение относительно y(t):

+ «п-х ^Г+ КУ = / (0. (1)

\

Требуется найти его решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям

dy t d2y * dn~xy /и n л П

Методом преобразования Лапласа решение находится в два этапа.

Первый этап состоит в том, что мы составляем вспомогательное уравнение относительно неизвестного изображения у(р) решения у (?), как изложено" в разделе 4.6. Это вспомогательное уравнение мы разрешаем относительно у(р), получая

* / (р) 4- (Многочлен относительно JP-СТЄПЄНИ < п)

у \Р) ~ аорп+а1рп-1+ ... +an_lP+an ' W

Второй этап интегрирования состоит в том, что по найденному изображению (2) мы, идя от у(р), определяем само искомое решение y(t) путем обратного преобразования Лапласа.

Завершение решения, требующего обратного перехода от у(р)ку(І)9 встречает много трудностей — не теоретических, а практических. Оно очень сходно с практической задачей нахождения интегралов, где пользуются стандартными формулами, рядом правил и приемов. Для преобразования Лапласа также существуют стандартные формулы и правила. Некоторые из них приведены в разделе 4.6, другие могут быть найдены. Имеется также множество приемов, главный из которых состоит в том, что отношение многочленов выражается в виде суммы элементарных рациональных дробей, как это излагается в учебниках элементарной алгебры.

Однако, когда практически задача решена и y(t) получено, оно является единственным решением дифференциального уравнения (1), подчиненного точно установленным начальным условиям. Решение y(t) автоматически содержит начальные значения (,у0, г/о» Уо* -••)» и больше уже ничего делать не надо. В отличие от «классического» метода, метод решения, приведенный в разделе 4.5, не требует приспосабливания произвольных постоянных к начальным условиям.

Несколько простых замечаний разъяснят существо вопроса.

Стандартные формулы из раздела 4.6 показывают, что для многих распространенных форм f(t) изображение/(?) правой части исходного уравнения есть рациональная функция. Так обстоит, например, дело в случае, когда правая часть уравнения представляет собой многочлен, показательную функцию, синус или косинус, а также произведение функций указанного типа и суммы таких произведений. Если же изображение f(t) есть рациональная функция, то из (2) следует, что и преобразование Лапласа у(р) оказывается также рациональной функцией, и можно ожидать, что оно представит собой отношение многочленов невысокой степени относительно р, например отношение вида ар + р к ар2+ bp + с. Кроме того, стандартные формулы и их различные комбинации очень хорошо подходят для обратного перехода от у(р) как отношения многочленов к разнообразным распространенным формам y(t) подобно ґ\ или cosco?. Процесс этот облегчается разложением у(р) на более простые элементы, то есть на сумму очень простых отношений многочленов, к каждому из которых стандартные формулы применяются непосредственно. Таким процессом является представление у(р) в виде «элементарных рациональных дробей».

Итак, в указанных случаях изображение у(р) искомого решения может быть представлено в виде отношения двух многочленов относительно р:

у^-Ш- <3>

При этом полученная рациональная дробь оказывается правильной, то есть степень многочлена F(p) будет меньше степени многочлена G(p). Отметим при этом, что G(p) либо представляет собой знаменатель дроби в (2), то есть многочлен а0рп+ аїр*1'1 + ... + ап_гр + ап, либо произведение этого последнего многочлена на некоторый другой многочлен. Это значит, что в любом случае

G (р) = {аоРп + alPn~i +.a.+an)g{p)9 (4)

где?(р) — либо единица, либо другой многочлен относительно р положительной степени. Заметим, что многочлен а0рп + а^р4'1-^ ... + ап представляет собой левую часть характеристического уравнения, соответствующего дифференциальному уравнению (1), и его множители, соответствующие корням характеристического уравнения, известны. Метод «элементарных рациональных дробей», применяемый к (3), состоит в нахождении всех корней уравнения G(p) = 0, то есть р19 р2, р3, ..., которые включают вещественные и сопряженно-комплексные величины.

Между ними содержатся все корни характеристического уравнения. Таким образом, если многочлен G(p) имеет лишь простые корни, число которых в этом случае равно степени многочлена, то он может быть разложен на п линейных множителей:

G (р) = а0 (Р - Pi) (Р ~ Р*) (Р - Рз)-•• (5)

Выражение (5) мы подставляем в (3).

Как доказывается в учебниках алгебры, правильная рациональная дробь

Л/ ч F(p)

может быть в этом случае единственным образом разложена на сумму элементарных рациональных дробей вида

^(г-1,2,3,...).

При этом каждый линейный множитель в (5) порождает соответствующую элементарную дробь. Можно доказать, что коэффициент Ат в случае простых вещественных корней можно определить по формуле27

л „ F(pr) г~ (У (Рг) '

где G'(p) = dG(p)/dp, a F(pr) и G'(pr) обозначают результаты подстановки значения р — рг в соответствующие функции. Таким образом, если G(p) представлена в форме (5) if все корни простые и вещественные, то разложение правильной рациональной дроби на элементарные в случае простых корней знаменателя может быть записано в следующем виде:

УУР) G(P) 2Л G' Q?r) p—pr W

г

Здесь сумма 2 берется по всем корням pi,p2> ••• знаменателя исходной дроби.

г

Теперь у(р) непосредственно обращается^ y(t). Оригинал, соответствующий каждому слагаемому в правой части (6), можно легко написать, пользуясь стандартной формулой (4) таблицы изображений и правилом II из раздела 4.6. Именно изображению Аг/(р — рг) соответствует оригинал Ar(Prt. Поэтому оригинал y(t)> соответствующий изображению у(р), можно записать в виде следующей суммы:

а)

г

Итак, формула (7) позволяет найти оригинал y(t), если его изображение может быть написано в форме (3), то есть является произвольной правильной рациональной дробью со знаменателем, не имеющим кратных корней.

Все, что говорилось выше относительно (6), имело в виду частную элементарную дробь 11(р — рг), когда рт и коэффициент при этой дроби вещественны. Когда же среди корней знаменателя рациональной дроби (3) встречаются комплексные сопряженные корни, то можно идти двумя путями.

Пусть, например, р1? р2 = а± і со. Эти корни могут быть оставлены в (5) в виде Двух множителей (р — а — і (о)(р — а + і со), то есть можно поступить с ними, как с вещественными корнями, применив ту же процедуру. Тогда постоянные Аг, ... будут также комплексными, и каждой паре комплекс- ных сопряженных корней будет соответствовать пара комплексных сопряженных коэффициентов. Или же можно объединить две элементарные дроби в правой части (6), соответствующие комплексным сопряженным корням, в квадратичной форме {(р — а)2+ со2}. Тогда соответствующие элементарные- дроби примут вид

А (р-аУ+Вг (р—а)2+со2 '

нетрудно показать, что числитель и знаменатель этой дроби — вещественные- многочлены.

На практике вообще предпочитают избегать комплексных рг и вводимых с ними в (7) комплексных коэффициентов. Поэтому пользуются вторым способом представления комплексных корней, именно берут их попарно и элементарные дроби представляют в последней форме.

Оригш^л, соответствующий дроби 1Аг(р — а) + Вг]Ц(р — а)2+ со2], легко написать с помощью стандартных формул (5а) и (6а) предыдущего раздела. Он имеет вид

ear^A1 cos со? +sinco^ =Aeat cos (со^ + є),

то есть представляет собой знакомый нам колебательный процесс с характеристическим показателем а + і <о (см. приложение Б. 6). Конечно, этот вещественный оригинал можно получить, объединяя два слагаемых в правой части (7), соответствующих двум показательным функциям или паре комплексных сопряженных корней а± і(о.

Если f(t) = 0 и уравнение (1) однородно, то ясно, что решение (7) равносильно тому, которое получается «классическим» методом, изложенным в разделе 4.5 (см. упражнение 1 данного раздела).

Проиллюстрируем практическое применение изложенного метода интегрирования линейных дифференциальных уравнений на двух примерах с частными формами f(t). Он дает вместе и дополнительную функцию и частное решение, а также включает начальные условия.

Пример (а)

Найти частное решение дифференциального уравнения

d*y

dt2

удовлетворяющее начальным условиям y = (dyjdt) — 0 при г = 0.

Составляем вспомогательное уравнение

1

(р2 — 1) у (р) = — изображение t = ,

откуда, разлагая на элементарные рациональные дроби, получим:

* 1 1 iY_J 1__Л

У(Р)- рЦр*-1)-р2 2 \р— 1 р+Ол

С помощью формул (2) и (4) таблицы изображений легко находим решение дифференциального уравнения:

у (0 = *-у

Заметим, что «классический» метод дал бы общее решение в виде у (t)~t+A1et-f- -f А2еч (СМ. раздел 4.5, пример (а)), затем было бы необходимо определить значения постоянных А\ и А2 так, чтобы удовлетворить заданным выше начальным условиям. Можно показать, что эти решения эквивалентны (см. упражнение 2). Пример (б)

Найти частное решение дифференциального уравнения

dtз

удовлетворяющее начальным условиям

Изображение правой части f(t) = tet по формуле (2а) из раздела 4.6 есть f (р) = 1/(р—I)28. Поэтому вспомогательное уравнение (3) из раздела 4.6 имеет вид

откуда

У {Р)-(р-I)2 (р+1) 0>«-2/>+2) '

Разлагая на элементарные дроби, получаем

/>-3 , 1 _ 4(/>—1)+3 1 (р-1)-2 1 1

р2_2/?+2 4 (р — I)2 4 (р + 1) (p—lf+i 4 (/>—І)2 ~ґ4р+Г

ч 40»—1) + 3 11,1 1 ,11 у(р)~ —— ' '

(Р—1)24-1 4 р— 1 2 (р — 1)2^ 4 />+ 1 " Следовательно, по формулам таблицы изображений (4), (5а), (6а)

xj(t)=Aelcost+3ets'mt—^et+^tet+^e-t = e*(bcost+3smt) + 2?^et+^e-t = 1

= [5 cos (f-e) + l(2f- 1)] e' + je"'.

3 3

где tg є = — и є = arctg — .

Это есть решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее определенным начальным условиям. Оно эквивалентно общему решению исходного уравнения, полученного выше «классическим» методом (см. 4.5, пример (б)), в виде

г/(*)= [л cos Q—e J 4-1(2*—1)] е* + Ве-*.

Если постоянные А, В и е определить из заданных начальных условий, то мы получим, конечно, то же частное решение, найденное здесь методом преобразования Лапласа.

Задачи и упражнения 1.

Показать, что решение однородного линейного уравнения [/(г) = 0] с постоянными коэффициентами имеет вид

їм

где Р\і »••» Рті—корни характеристического уравнения. Показать, что решение уравнения (1) имеет в данном случае вид

у /Л — ePlt J eP2* !

«0 (Pi — P2)---(Pl— Pn) 4(P2 — Pl)'"(P2 — Pn)

Показать, что общее решение однородного уравнения (1), полученное «классическим» методом (см. (4) в 4.5), совпадет с написанным, если добавить начальные условия и из них определить постоянные. 2.

В решении у (t) — t-\-A1ef-{-A2e~t (см. 4.4, упражнение 2), найти А1 и А2 для начальных условий y = dy/dt=0 при г = 0. Получить решение такое, как в примере (а). 3.

Если d2y/dt2Jr2dy/dt-\~y = t-{-2. показать, что:

I) 2/—^(1 — е'1) при у — dyjdt — 0 и t= 0; II) y = i —(l + 2f)e-' при 2/= —1, dy/dt — 0 и * = 0. 4.

Решить уравнение

14-1*

dt2 * dt А 4 '

при у— 1, dyjdt —х1ъ при t = 0 (см. 4.4, упражнение 6).

<< | >>
Источник: Р. Аллен. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЭКОНОМИЯ. 1963

Еще по теме 4.7. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ МЕТОДОМ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА:

  1. ГЛАВА 4 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
  2. 4.1, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
  3. 4.2. ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ; НАЧАЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ II ПРОИЗВОЛЬНЫЕ ПОСТОЯННЫЕ
  4. 4.3. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
  5. 4.4. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
  6. 4.5. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ПРОИЗВОЛЬНОГО ПОРЯДКА
  7. 4.6. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
  8. 4.7. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ МЕТОДОМ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА
  9. ГЛАВА 5 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ. ЛИНЕЙНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
  10. 5.1. РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
  11. 5.2. ДИСКРЕТНОЕ РЕШЕНИЕ РАЗНОСТНОГО УРАВНЕНИЯ* ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И СВОЙСТВА
  12. 5.3. ЛИНЕЙНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
  13. 5.4. ЛИНЕЙНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА
  14. 5.5. ЛИНЕЙНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЩЕГО ВИДА
  15. |10.8. ДИНАМИЧЕСКАЯ СИСТЕМА ЛЕОНТЬЕВА
  16. ПРИЛОЖЕНИЕ А АЛГЕБРА ОПЕРАТОРОВ
  17. 10.1. Случайные процессы при описании популяций
  18. 5.6.2 Дифференциальное уравнение движения (падения) материальной точки