<<
>>

6.8. ИССЛЕДОВАНИЕ КОНЦЕНТРИРОВАННЫХ (СКУЧЕННЫХ) КАПИТАЛОВЛОЖЕНИЙ

Так как в настоящем разделе мы применим несколько отличный подход к вопросу, уместно резюмировать характер решения для первого случая, концентрированных капиталовложений, совпадающего с простой моделью (при w2=0).
Пусть 5 = 0, то есть предельная склонность к сбережениям равна нулю (хотя сбережения и не фактические). Тогда решение запишется в виде yt =A1+A2wt и будет сходиться к постоянной (см. 6.2, упражнение 4). В необычном случае (w<0) возможен знакочередующийся ряд, но сходимость в общем будет равномерной (0<г^<1). По мере увеличения 5, решения, дающие колебательное движение, становятся более возможными. При данном w колебания возникают, когда остановится достаточно большим. Условие формулируется в виде 5>(1 —]/й)2(см. 6.1, упражнение 5). Независимо от того, будет ли движение колебательным или нет, последовательность yt сходится, и фактор затухания колебаний определяется w. Второй случай отложенных и концентрированных капиталовложений является новым. Характеристическое уравнение (3) из раздела 6.7 принимает вид (при 1^=0 и w2— w)

Я3 —(1 — 5) W-wX + w^ 0,

или

(l-l){№-w) + s№ = 0. ' (1)

Если 5 = 0 и0<ш<1, корнями уравнения (1) в порядке убывания будут:

^ = 1, Х2 = Уш> А,3 = —

Первый корень является доминирующим, и решение уравнения (4) из раздела 6.7 примет вид:

y^A. + A.iVwY + A.i-VwY. (2)

Как и в первом случае, это решение сходится к постоянной. Разница заключается в наличии знакочередующегося члена с ( — Хотя он

не является доминирующим, но представляет собой важное дополнение. Далее, если 5 = 0 и действует лишь слабый акселератор (w < 0), то корни Я2, Х3 являются комплексными, и yt содержит элементы колебательного движения, которое будет очень сильно затухающим (см. упражнение 1).

Влияние увеличения s во втором случае на три корня уравнения (1) легче всего видеть из графического представления (рис. 14).

Значения корней даются точками пересечения кривых f(X) и g(X):

f(X) = (X-l)(X2-w) и g{X)=-sX\

Рис. 14 сделан применительно к случаю 0 < w < 1 (необычный случай w < 0 рассматривается в упражнении 2). Кривая /(А,) пересекает ось ОХ в точках X = l, Yw и — Vw> которые будут корнями при s = 0. Кривая g(X) является параболой, достигающей максимума (вершины) в точке О. Она слабо выпукла при малом s и более выпукла при больших значениях 5. Таким образом, рис. 14 показывает, что при возрастающих, но

fis /v^ N. ту

\уйР 1/ ! / * / ^ gW-stf Рис. 14

достаточно малых значениях s положительные корни Хг и Х2 приближаются друг к другу и заключены в интервале 1), тогда как третий корень Х3 возрастает по абсолютной величине. Пока ( —Х3)<1, все три корня будут дробями; два — положительными и один —отрицательным. Решение будет сходиться к нулю с затухающим и знакочередующимся членом, представленным величиной Х3.

При возрастании s до некоторой критической точки могут иметь место два следующих обстоятельства. Во-первых, кривая g(A;) может совсем не пересечь кривую f(X) в области положительных значений X. Тогда корни Хг и Х2 станут комплексными, и в решении будет содержаться элемент колебательного движения. Это произойдет при весьма малых значениях s, во всяком случае меньших, чем в простой модели с условием S > (1 — Ywf (см. упражнение 3). Произведение сопряженных комплексных корней Xv X2 — r (cos 0 ± isin 0) будет вещественным числом, то есть ХгХ2 = г2. Из характеристического уравнения (1) имеем

Л Л W

ХгХ2Х3=^—w, то есть ХгХ2 = —л—

для любых корней. По мере увеличения s ( — Х3) становится больше значения Yw, показанного на рис. 14, так что ХхХ2 уменьшается и становится меньше У w. Когда корни становятся комплексными (Я^ = г2), г2 будет меньше Yw и будет уменьшаться по мере увеличения s. Колебания в решении для yt будут затухать, и этот процесс будет идти тем сильнее, чем больше будет становиться s.

Во-вторых, что также интересно, отрицательный корень Х3 становится больше 1 по абсолютной величине: — А3>1.

Критическое значение s теперь будет достигнуто, когда /(A,) = g(A) в точке А, = — 1, то есть после подстановки в (1) 5 = 2(1— w). Значит, ( —А,3)>1, если s>2(l — w). Это возмояшо лишь при достаточно большом s (все же остающемся положительной дробью) при условии, что 1/2<ш<1. В общем в очень часто встречающихся случаях, когда w близко к 1, достаточно и не слишком большой величины s для того, чтобы было — А3 > 1. Тогда в решении будет преобладать знакочередующийся элемент, то есть короткий взрывной цикл с периодом 2.

При s = О решение для yt задается выражением (2). Для совсем малых s решение незначительно изменяется и принимает вид: (3)

У^АМ + АМ + АМ если и А,2 — положительные дроби, а Х3 — отрицательная дробь. Форма решения (3) соответствует равномерной сходимости к нулю (без колебаний). Для больших значений s решение примет вид (4)

yt = Arl cos (Є* —е) + Я( —Л,)', где А, В и є — произвольные постоянные. Решение (4) получается тогда, когда характеристическое уравнение имеет два комплексных r(cos 0 + jsin0) и третий отрицательный корень —К. Решение (4) включает затухающее колебательное движение с периодом 2я/0 и фактор затухания, определяемый величиной г и знакочередующимся элементом, содержащим —Я. По мере увеличения s колебания усиленно затухают, но знакочередующийся элемент может увеличиться настолько, что станет доминирующим и взрывным. При отложенных капиталовложениях w близко к 1,и s достаточно велико. В этом случае в движении выпуска продукции yt может преобладать короткий взрывной цикл с периодом 2.

Несмотря на наличие коротких циклов, решение будет представлять собой затухающее колебание. Это объясняется тем, что во всех рассмотренных случаях 0<гг;<1. Таков же анализ и для случаев, когда 1. Тогда колебания будут взрывными. Все еще остается верным, что величина w — ослабленная сила действия акселератора — определяет сходимость решения (степень затухания колебаний). В общем и целом при любых значениях w, близких к 1, могут возникнуть короткие циклы или знакочередование взрывного типа.

Не следует просто Отбрасывать эти новые возможности, в особенности перспективы появления коротких взрывных циклов. Отсрочка капиталовложений может быть в большей степени правилом, чем исключением. Единичный интервал времени выбирается совпадающим с запаздыванием (самым коротким) потребления. Период для принятия решений о капиталовложениях может быть более длительным, а запаздывания фактических инвестиционных затрат и производства капитального оборудования — еще большими. Однако следует ожидать, что фактические затраты на индуцированные капиталовложения не будут производиться до второго периода после изменения выпуска продукции. В этом случае короткий цикл или взрывная смена фазы в динамике выпуска продукции могут произойти и при умеренной величине предельной склонности к сбережению.

Задачи и упражнения 1.

Исследовать случай II; wx — 0, w2 = w и s = 0 при w 0. Показать, что отличные от 1 корни характеристического уравнения будут комплексными, г (cos 0 ^ г sin 0), где г=У — w и 0 = я/2. Пользуясь этим, показать, что колебательное движение yt будет иметь период 4 и, как правило, будет сильно затухающим. 2.

Рассмотреть предыдущее упражнение (се;<0) при больших s (Ф 0). Произвести соответствующие изменения в рис. 14 и показать, что характеристическое уравнение, как правило, будет иметь один вещественный корень (положительную дробь) и два комплексных корня. 3. Доказать, что минимальным значением f (К) будет —+ 1—9w] при

Показать, что при w= 16/27 минимум будет —16/272 и что g(%)=— 16s/27 в нижней части области (h=yw) отрицательных значений f (к) (см. рис. 14). Вывести, что при таком значении w и s > 1/27 = 0,037 отсроченные капиталовложения непременно породят колебания в уі. Сравнить с условиями возникновения колебательных движений в простой модели

5> (1 —j/V)2 = 0,044. 4.

Исследовать вышеприведенный критерий w > 1 и показать, что в случае отсроченных капиталовложений и при достаточно большом s будет происходить колебательное движение Ух в комбинации со сменой знаков или коротким циклом, причем оба они могут быть взрывными.

<< | >>
Источник: Р. Аллен. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЭКОНОМИЯ. 1963

Еще по теме 6.8. ИССЛЕДОВАНИЕ КОНЦЕНТРИРОВАННЫХ (СКУЧЕННЫХ) КАПИТАЛОВЛОЖЕНИЙ:

  1. 4.3. Необходимые капиталовложения в развитие производства каменных облицовочных материалов на Северо-Западе СССР
  2. 6.1. ПРОСТАЯ МОДЕЛЬ МУЛЬТИПЛИКАТОРА-АКСЕЛЕРАТОРА С КОНЦЕНТРИРОВАННЫМИ КАПИТАЛОВЛОЖЕНИЯМИ
  3. 6.8. ИССЛЕДОВАНИЕ КОНЦЕНТРИРОВАННЫХ (СКУЧЕННЫХ) КАПИТАЛОВЛОЖЕНИЙ
  4. 6.9. АНАЛИЗ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ КАПИТАЛОВЛОЖЕНИЙ
  5. 4.1 Исследование качественного и количественного состава летучих примесей арбузного спирта-сырца и дистиллята
  6. 2.2. Методы исследования ацетата серебра и серебряного нанобиокомпозита
  7. 3.3. Исследование антимикробной активности серебряного нанобиокомпозита
  8. 2.3 Методы исследования свойств сырья
  9. 2.2.2 Методы исследования свойств сырья, полуфабрикатов и готовыххлебобулочных изделий
  10. Концентрированный контроль во всех компаниях
  11. Взятие и направление трупного и иного материалана лабораторное исследование
  12. Экспертное исследование вещественных доказательств
  13. «Ленем (штат Мэриленд).
  14. Радина Надежда Константиновна Использование проективной техники «концентрированный опыт» в биографических интервью иностранных студентов
  15. ИСТОЧНИКИ СВОДНЫХ ДАННЫХ
  16. Регионы биосферы и исследованные биогеохимические провинции СССР, входящие в состав некоторых регионов биосферы
  17. ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОБЛЕМЫ БИОГЕОХИМИЧЕСКИХ ЦИКЛОВ НА ГЕОГРАФИЧЕСКОМ ФАКУЛЬТЕТЕ В МГУ М.А. Глазовская
  18. Роль государства в развитии и стимулировании научных исследований / Университетская наука и государство / 4.3. Пример исследовательского университета — образовательные и научные программы в университете Вандербильта
  19. Две главных линии исследования