<<
>>

4.4. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Можно без потери общности линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами и соответствующее однородное уравнение записать в таком виде:

?+«?+*-»• р)

Постоянные а и Ъ могут быть какими угодно величинами (включая нуль).

Они характеризуют «структуру» уравнения. В соответствии с общей теорией (см. 4.2) общее решение уравнения (1) разыскивается в два этапа. Сначала мы ищем частное решение У = У(я) этого уравнения. Возьмем у = У —У, так что у удовлетворяет (2). Затем мы должны найти общее решение соответствующего однородного уравнения (2). Метод интегрирования однородного уравнения, примененный в разделе 4.3, оказывается при- ложимым и в этом случае. Будем искать решение однородного уравнения (2) в виде показательной функции у = ерх. Подставим это предполагаемое решение в уравнение (2). Заметим, что dy/dx = рерхи d2y/dx2 = р2ерх. В результате мы получим

(р2 + ар+Ь)е*>х = 0.

Так как evx Ф 0, то наша функция будет действительно решением уравнения (2) в том и только в том случае, если р удовлетворяет так называемому характеристическому уравнению20

р* + ар + Ь = 0. (3)

Это —квадратное уравнение с неизвестным р и корнями]

— а± У а2 — 46 //ч

Р 1,2 = ^ « (4)

Корни могут оказаться вещественными различными (когда а2 > 4&), вещественными равными (когда а2 = 4&) и комплексными сопряженными (в случае а2 < 4Ь). В каждом из этих случаев мы можем, как это будет сейчас показано, написать, пользуясь У (х), общее решение уравнения (1).

Случай а2 > 46. Корни характеристического уравнения (3) — вещественные различные числа, заданные формулой (4). Мы получаем два част- ных решения однородного уравнения: ух(х) — е^х и у2(х) = ер*х. Эти решения линейно-независимы21. Следовательно, общее решение уравнения (2) имеет вид

Y = Y(x) + А±е^х + А2е^х, (5)

где Ах и А2 — произвольные постоянные.

Значения этих постоянных можно найти, если задать два начальных условия, например У = У0 и dY/dx —Y'0 при х = 0. Решение аналогично решению уравнения первого порядка из раздела 4.3.

Характер решения зависит от знаков и величин рг и р2, которые в свою очередь зависят от а и Ъ первоначального уравнения. Обычно вызывает интерес отклонение У от тенденции равновесия У и то, что происходит с этим отклонением при возрастании х. Если отклонение бесконечно возрастает, проходя через положительные или отрицательные значения, то изменение У будет «взрывным» по отношению к тенденции У. С другой стороны, если отклонение уменьшается до нуля {с колебаниями или без них), то тогда У имеет «затухающее» изменение вокруг тенденции У. В последнем случае отклонение состоит из двух членов: А±е^х и A2ev*x. Вопрос сводится к следующему: который из них является преобладающим членом, то есть который в действительности определяет движение г/ = У —У при возрастании х?

Ответ в этом случае прост: численно больший корень характеристического уравнения определяет преобладающий член в решении. Предположим, что этот больший или преобладающий корень есть рг. Если рг положительно, то Аге^х бесконечно возрастает, и изменение У будет «взрывным». Другое слагаемое в решении не имеет большого значения; оно может возрастать (р2 > 0) или уменьшаться (р2<0) без воздействия на «взрывную» природу изменения У при возрастании х. Если р1 отрицательно, тогда р2 должно быть также отрицательным, и оба слагаемых (Аге^х и А2ер2*) уменьшаются до нуля, то есть отклонение У от У «затухает».

Случай а22 = 4Ь. Корни характеристического уравнения (3) вещественные равные; иначе говоря, уравнение имеет один двукратный корень. Из (4) следует, что в этом случае р1 = /)2== — а/2. Однородное уравнение принимает вид

Его характеристическим уравнением будет р2 + ар + 1/4а2 = [р + (а/2)]2 = 0.

і

—. _ ах

Одно решение однородного'уравнения (6) найдено: у = е 2 . Однако, как известно из общей теории, для построения общего решения линейного однородного уравнения второго порядка нужно знать два линейно-независимых частных решения.

Недостающее решение мы попробуем найти, подставив

--ах

в уравнение (6) функцию у = херх = хе 2 как решение этого уравнения. Вычислим первую и вторую производные этой функции:

у-*ерзс; = + g = (2р + ?х)ё>*, где — Подставляя рассматриваемую функцию и ее производные

в уравнение (6), получаем:

? 2р + р2х + а (1 + рх) + ~ а2х J ерх = 0, так как р = — у а.

- - ах

Таким образом, функция у = хе 2 есть также решение уравнения (6) Итак, общее решение уравнения (6) получает вид:

і

/А Л . — — ах

У = {А 1 + Л2х)е 2 , где АГ и Л2 —произвольные постоянные. Общим решением неоднородного уравнения (1) в рассматриваемом случае будет

?^?{х) + (А1 + А2х)е~^а\ (7)

где АХ и А2 могут быть определены снова из начальных условий.

Это почти такое же по форме решение, как и уравнения первого порядка из раздела 4.3. Разница заключается в том, что вместо одной произвольной постоянной теперь в уравнении (7) имеются две произвольные постоянные, объединенные в одном множителе (А1-\- А2Х), умноженном на пока-

— ах

зательную функцию е 2 . Разница эта ощутима для умеренных значений х, но становится незначительной при бесконечном возрастании х.

--ах

Это происходит по той причине, что показательная функция е 2 перекрывает множитель (А14-А2Х). Показательная функция увеличивается быстрее, чем какая-либо степень х\ например, хех возрастает подобно ех

и хе~х уменьшается до нуля подобно е~х при стремлении х к бесконеч-

1

CLX

ности. Изменение У по отношению к У задается выражением (АГ + А2Х) Е 2 ,

-- ах

в котором преобладаюущя по значению часть есть е 2 . Если а < О, изменение будет «взрывным»; если а>0, изменение «затухающее», стремящееся к нулю.

Случай а2<АЬ. Корни характеристического уравнения (3) — комплексные сопряженные числа

PI, 2 = = А ± МО,

где

а =—-іа; co = i-|/"4 b — a2.

Составленные с помощью этих корней частные решения однородного уравнения линейно-независимы. Поэтому общее решение уравнения (1) можно записать в виде

Y = Y(X) + ВГЕ^Х + В2е*>*х,

1 Полученное второе решение является линейно-независимым с найденным прежде, но автор не оговаривает и не доказывает этого.

Докажем, что функции ё&х п хеРх линейно-независимы. Предположим, что существует тождественно равная нулю линейная комбинация этих функций:

С^Рх+СъхеР* = О,

то есть

ерх (Сх + ад = 0.

Так как ёРх ф 0 ни при одном значении аргумента, мы должны иметь в этом случае

Сг + Сгх = 0.

Но это может быть только в случае Сг~С2 = 0, чго и означает, что функции е?х и хё°х линейно-независимы. —Прим. ред.

то есть

У = У (я) + В^-И®)х + ?2e(a~iG))х,

где В І и В2 — произвольные постоянные. Используя (см. приложение стр. 612.—Ред.) формулу Эйлера, мы можем преобразовать сумму двух последних слагаемых следующим образом:

еах (ВіЄтх + В2е~™х) = Єах [Вг (COS СОЯ + І sin СОя) + + В2 (cos (ОХ — і sin соя)] = еах (Аг COS СОЯ + А2 sin соя),

где Аг = Вг + В2 и А2— i(B1 — В2) суть новые произвольные постоянные. Чтобы эти новые произвольные постоянные оказались вещественными„ нужно, чтобы первоначальные постоянные Вг и В2 были комплексными сопряженными числами.

Общее решение однородного уравнения можно подвергнуть далее следующему преобразованию. Введем новые постоянные А и є, связанные с А1 и А2 равенствами

г А^ = A cos є и А2 = A sin є.

Величины А и є можно истолковать как полярные координаты точки плоскости, декартовы координаты которой суть Аг и А2. Новые постоянные можно выразить через Аг и А2 следующим образом:

+ УА\+А\; tge = -^-f или (стр. 610) е = агg(A1 + iA2).

Введя новые постоянные, мы получаем

У — У (я) = еах {Аг cos asx + А2 sin соя) = = еах (A cos сояcos є + A sin (oxsin є) = Aeax cos (соя — є).

Следовательно, общее решение уравнения (1) может быть записано в рассматриваемом случае в двух эквивалентных формах:

У = У (я) + еах (А1 cos соя + А2 sin соя) или (8)

Y = Y(x) +Аеах cos (соя — є);

а и со суть «структурные» постоянные, заданные коэффициентами а и b первоначального уравнения. Произвольные постоянные суть А1 и А2 или А и є. Член У (я) есть частное решение (1), зависящее от формы/(я).

Оно может быть определено так, что явится тенденцией или линией равновесия У. На него накладываются изменения (y = Y — У), даваемые вторым членом (8).

Изменение y — Y — Y принимает в таком случае форму синусоидальной функции23 В общем виде I4EAX cos (соя — є) (см. приложение Б, стр. 616), и оно будет колебательным. Амплитуда и затухающий множитель колебания задаются Аеах; уровень фиксируется произвольной постоянной А, например начальными условиями, но изменение амплитуды по мере воз-

1

растания я зависит от «структурной» постоянной а= — — а. Период коле-

бания равен 2я/со; он зависит от другой «структурной» постоянной со =

= — а24. Фаза, или исходный пункт колебаний, зависит от произ-

вольной постоянной є и устанавливается начальными условиями. Следовательно, при возрастании я колебание изменяет амплитуду (зависящую от а), но всегда имеет тот же период (задаваемый со). Из двух произ- вольных постоянных, одна (А) определяет начальную амплитуду и другая (є) —начальную фазу колебания.

Так как амплитуда изменяется, то колебательное движение У вокруг У может быть взрывным, регулярным или затухающим. Это зависит только

от знака а = — у а. Если а > 0, то при возрастании х изменение будет

взрывным; если а = 0, то имеют место регулярные колебания с неизменной амплитудой; если а < 0, то колебания будут затухающими. Эти три случая см. на рис. 72. Доминирующим членом в решении (8) является член с еах, так что если а > 0, то изменение У будет взрывным и колебание является побочным, тогда как при а < 0 изменения затухают и колебание является основной характерной чертой движения У.

Итак, в случае комплексных сопряженных корней характеристического уравнения всякое решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка есть колебательный процесс, начальная амплитуда и фаза колебания которого определяются начальными условиями, а частота колебания и коэффициент затухания от них не зависят.

Частное решение Y{x) неоднородного уравнения (1) во всех случаях зависит от формы правой части уравнения.

Оно разыскивается методом подбора, при котором решение ищут в той или иной форме в зависимости от вида f(x). Наиболее прост случай, когда f(x) = р. Пусть требуется найти частное решение следующего уравнения:

d*Y . іУ . , v fl

Ищем частное решение в виде постоянной У = \i. Подставляя \х в уравнение, получаем Ъц, = (3, откуда р, = Рlb. Поэтому общее решение неоднородного уравнения имеет в рассматриваемом случае вид

У = | +

Таким образом, изменение У происходит вокруг постоянного уровня

?= р/ь.

Разыскивание частного решения неоднородного уравнения в случае правой части других типов рассматривается в задачах настоящего раздела.

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка находят применение при изучении, например, экономической модели паутинообразного типа с запасами товаров (см. 1.7, модель IV), в которой скорость изменения цены Р зависит от величины запаса. Если спрос и предложение являются линейными функциями цены, то есть

В = а + аР, S = $ + bP,

а к есть постоянная, определяющая силу реакции изменения цены на изменение запасов, то процесс изменения цены описывается дифференциальным уравнением

**- + цЬ-а)Р=\{а-Р).

В качестве частного решения можно взять постоянную

имеющую смысл цены равновесия. Отклонение р — Р — Р удовлетворяет тогда однородному уравнению

-%?- + ЦЬ-а)р = 0. (9)

Найдем общее решение этого уравнения. Характеристическое уравнение, в котором неизвестная обозначена через q, будет следующее: q2 + l(b-a) = 0.

В обычном случае (а < О, Ъ > О, К > 0) член %(Ъ — а) положителен. Введем обозначение со = |/ Я(6 — а). Тогда корни характеристического уравнения будут 2=±гсо- Следовательно, общее решение уравнения (9) имеет вид

р =А cos (со* — є),

где А и є представляют собой произвольные постоянные, которые определяются единственным образом, если заданы начальные условия. Следовательно, присоединив Р, получим закон изменения цены во времени:

Р = Р + A cos (со* - є). (10)

Отметим, что фактор затухания а, входящий в общий случай колебательного решения (8), здесь равен нулю. Таким образом, цена Р совершает гармонические колебания относительно уровня равновесия Р. Период колебаний 2я/со = 2я/|/ Х(Ь — а) не зависит от начальных условий, а определяется структурой самой модели. Амплитуда и фаза колебаний (А и є соответственно) устанавливаются начальными условиями. Таким образом, в этой модели начальное возмущение заставляет цену регулярно колебаться вокруг положения равновесия с периодом 2я/со независимо от типа возмущения. Цена равновесия не может быть названа неустойчивой, так как нет нарастающего отклонения цены от ее значения в положении равновесия. С другой стороны, цена не имеет тенденции возвратиться к своему значению равновесия, а скорее колеблется вокруг него. Период колебаний мал, если величины К и Ъ — а велики, то есть если цена быстро реагирует на изменение запаса товара, и если наклоны кривых спроса и предложения — соответственно (—а) и Ъ— сильно меняются при изменении цены.

Задачи и упражнения 1.

Показать, что общим решением уравнения d2y/dx2 — a2y является функция y=A1eax-\-A^e'ax. Показать также, что знак а не является существенным и что доминирующий член в решении всегда взрывной (при а ф 0). 2.

а) Проверить, что общее решение уравнения

D2Y

__+«*(*_У) = 0

имеет вид

Y = x+A1eax+A2e~ax.

б) Проверить что общее решение уравнения

имеет вид

У = е-* + Агеах +А2е~ах. 3.

Найти частное решение уравнения d2y/dx2-\-2(dy/dx)-\-y — Qi удовлетворяющее начальным условиям у —і и dy/dx — О при х = 0. Построить график решения и объяснить его. 4.

Показать, что функция Y = x( 1 — б?"*)+Уо (1+я) е~х есть частное решение уравнения d2Y/dx2 2 (dY/dx) -f- Y = х-\-2, удовлетворяющее начальным условиям Y = Y0 и dY/dx = 0 при х = 0. 5.

С помощью дифференцирования и исключения постоянных Л и 8 найти два дифференциальных уравнения второго порядка, общими решениями которых служат соответственно функции у — Аех cos (я—8) и у = Ае~х cos (х — є). Проверить, проинтегрировав уравнения методом, описанным в данном разделе. Начертить графики решений и объяснить их основные свойства.

і

- о * 6.

Проверить, что функция Y = x-\-Ae * cos (я—є) есть общее решение уравнения 4 [(d2Y Jdx2)-Ar(dY/dx) —1] = 5 (x—Y). Найти Л и є, если заданы начальные условия:

I. У = 1, dY/dx=±- при *=0.

Jt Jt

II. Y = i при аг=0, Y=— при x=—. Почему А ие-те же бамые?

СІ ?

1

-ах 7.

В случае а? = 46 найти решение однородного уравнения (6) в виде у=ие * , где и — некоторая функция от х, подлежащая определению. Показать, что U=AI~\-A2X есть решение уравнения (7). 8.

Пусть в экономической модели, описываемой уравнением (9) и решением (10), графики спроса и предложения суть прямые с отрицательным наклоном к оси Р (а <0, b < 0). Показать, что цена совершает гармонические колебания, если | а | > | b |, но что будет взрывное изменение по сравнению со значением равновесия, если | а | < | b |. Истолковать эти условия. Исследовать случай | а | = | b j. 9.

Обобщить рассмотренную в тексте экономическую модель, взяв вместо уравнения (9) уравнение вида

IST-Ъ f'

(см. 1.7, упражнение 5). Найти общее решение й истолковать полученный результат* 10.

Из системы уравнений, к которой мы пришли в задаче о национальном долге и доходе (см. 4.3), исключить Г и получить уравнение d2D/dt2—Q(dD/dt) = 0 с начальными условиями Z)=Z)0, dD/dt = kYQ при * = 0. Показать, что решение имеет вид D=DQ-\-[(k/Q) Y0 (eQt — 1)], что совпадает с результатом, найденным нами другим путем

<< | >>
Источник: Р. Аллен. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЭКОНОМИЯ. 1963

Еще по теме 4.4. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ВТОРОГО ПОРЯДКА:

  1. ГЛАВА 4 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
  2. 4.1, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
  3. 4.2. ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ; НАЧАЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ II ПРОИЗВОЛЬНЫЕ ПОСТОЯННЫЕ
  4. 4.3. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
  5. 4.4. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
  6. 4.5. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ПРОИЗВОЛЬНОГО ПОРЯДКА
  7. 4.6. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
  8. 4.7. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ МЕТОДОМ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА
  9. ГЛАВА 5 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ. ЛИНЕЙНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
  10. 5.1. РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
  11. 5.2. ДИСКРЕТНОЕ РЕШЕНИЕ РАЗНОСТНОГО УРАВНЕНИЯ* ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И СВОЙСТВА
  12. 5.3. ЛИНЕЙНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
  13. 5.4. ЛИНЕЙНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА
  14. 5.5. ЛИНЕЙНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЩЕГО ВИДА
  15. |10.8. ДИНАМИЧЕСКАЯ СИСТЕМА ЛЕОНТЬЕВА
  16. ПРИЛОЖЕНИЕ А АЛГЕБРА ОПЕРАТОРОВ
  17. 10.1. Случайные процессы при описании популяций
  18. 5.6.2 Дифференциальное уравнение движения (падения) материальной точки
  19. Глава 11 МАТЕМАТИЗАЦИЯ ФИЗИКИ