4.5. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ПРОИЗВОЛЬНОГО ПОРЯДКА

dny , d^y , . dy . ~ /ОЧ

Прежде всего разыскивается какое-нибудь частное решение У = Y(x) уравнения (1). Это может быть сделано путем установления тенденции или линии равновесия У при возрастании х. Тогда отклонение у — У — У будет удовлетворять однородному уравнению (2), общее решение которого у = у(х; А19 А2, ..., Ап) и требуется разыскать. Для этого достаточно найти п линейно-независимых частных решений ук(х) (А = 1,2, п) уравнения (2) и составить из них лицейную комбинацию с п произвольными коэффициентами. Для отыскания этих линейно-независимых решений воспользуемся прежним приемом. Будем искать решение однородного уравнения в виде показательной функции У = где р — постоянная, подлежащая определению. Найдем производные от этой функции до п-го порядка включительно:

DV _ ПРРХ. _ П2Г>РХ. . DNY _ П РХ

dx ~~ре 9 dx* ~Р 6 9 * • '' dx* ~ Р '

Подставив в уравнение (2) рассматриваемую функцию и ее производные, мы обнаруживаем, что она будет решением этого уравнения в том и только в том случае, если р удовлетворяет вспомогательному, или так называемому характеристическому, уравнению (см. выше, стр. 107.—Ред.):

ЧРп + "iP*'1 + .. . + ап_ур + ап = 0. (3)

Это алгебраическое уравнение п-й степени с вещественными коэффициентами имеет ровно п корней, среди которых могут быть вещественные и комплексные, образующие сопряженные пары. Обозначим эти корни через рг, р2, ... ..., Если характеристическое уравнение не имеет кратных корней, то есть среди чисел Рп р2, рп нет одинаковых, мы получаем п линейно- независимых решений уравнения (2), имеющих вид

113

8 р.

ePl*9 ev*x> . . . , еРпХш

Поэтому общим решением уравнения (2) будет

У = Агері* + А2е^х + ... + АпеРп*. (4)

Решение может быть развернуто в другой форме, включающей синусоидальные функции, когда уравнение (3) имеет пары комплексных корней.

В случае, когда характеристическое уравнение имеет кратные корни, мы получаем лишь столько линейно-независимых частных решений уравнения (2), сколько имеется различных корней характеристического уравнения.

В этом случае формула (4) не приводит к общему решению, так как в ней нет полного комплекта членов. Недостающие линейно-независимые частные решения мы тогда найдем, воспользовавшись приемом, изложенным во втором случае, указанном в разделе 4.4, или замечанием в приложении А.З. Можем быть доказано следующее положение. Если рк есть корень характеристического уравнения кратности Qk, то этому корню соответствует Qk линейно-независимых частных решений однородного уравнения, имеющих вид.

X6PKX, X*EVKXY . . . , XQB~IEVKX.

Итак, и в случае кратных корней нетрудно написать ровно п линейно-независимых решений линейного однородного уравнения.

Если все корни (3) вещественны, то доминирующий член в решении (4) есть тот, в который входит наибольший по абсолютной величине корень р±. Если рг > 0, изменение у взрывное при возрастании х. Если рг <0 (каковы бы ни были другие р), у затухает и стремится к нулю. Хотя у имеет поворотные точки, ни в том, ни в другом случае нет регулярных колебаний.

Если существуют комплексные корни уравнения (3), то они встречаются парами р = а ±гсо, и два члена формулы (4), соответствующие каждой паре комплексных корней, приводятся к Ае°-хсо${<йх — є), причем А и є являются произвольными постоянными. Доминирующий член (4) теперь определяется относительной величиной рх— наибольшим вещественным корнем И наибольшей величиной из всех а, входящих в комплексные пары р = а + і со. Следовательно, в изменении у в этом случае всегда присутствуют колебания. Колебания могут быть взрывными сами по себе (ах > 0) или они могут быть добавлены к монотонно взрывной части (^ > 0).

Ч(Р-Рі) (р2 + ар+Ъ) = 0.

Коэффициенты а и Ъ находятся из коэффициентов первоначального характеристического уравнения. Два других корня, будут ли они вещественными или комплексно-сопряженными, получаются сразу как корни квадратного* уравнения p2jr ар + b = 0. Раз один вещественный корень кубического характеристического уравнения определен, нетрудно получить и два других корня. Схемы нахождения необходимого первого корня содержат различные методы графического и численного приближения.

В одном частном случае вещественный корень характеристического уравнения может быть сразу указан. Пусть дифференциальное уравнение не содержит члена с искомой функцией У. При этом характеристическое уравнение не будет иметь свободного члена и поэтому обязательно будет иметь по крайней мере один нулевой корень. Такое однородное уравнение первого порядка исследовано в разделе 4.3. Однородное линейное уравнение второго порядка в этом случае имеет вид d2yldx2-f- a(dyldx) = 0. Характеристическое уравнение р2+ ар = 0 имеет корни р = 0 и р = — а, и общим решением будет

у = А1еах + Аг.

Соответствующее уравнение третьего порядка есть dzy!da?+ a(d2y/dx2)+ + b(dy/dx) = 0, а характеристическое уравнение ръ + ар2+ bp = 0 имеет

1 /•

корни = а±Уа2 — 4Ь) и р3 = 0.

г/ = Агеъх + А 2&>*х + А3.

В каждом случае в решении присутствует аддитивная постоянная, которая соответствует нулевому решению характеристического уравнения. Это есть общее свойство, справедливое и для уравнения гс-го порядка, ибо в числе п линейно-независимых решений однородного уравнения также будет е°* = 1, а, следовательно, общее решение будет содержать произвольную аддитивную постоянную (см. упражнение 2).

«Классический» метод решения линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами может быть резюмирован таким образом. Общее решение уравнения (1) есть

Y = Y(x) + AxevIх + А2е*>з* + . . . + АпеР**, (5)

где все А представляют произвольные постоянные, заданные начальными условиями, а все р являются корнями характеристического уравнения

ЧРп + ajT1 + • • - + п корней уравнения (6) могут включать вещественные и комплексные сопряженные величины, и они могут быть не все различны. Для вещественного корня соответствующий член в уравнении (5) будет просто показательной функцией. Для комплексной сопряженной пары (р = а ± і со) два члена в уравнении (5), соединяясь вместе, дают Ае?хcos (соя — е), где А и е будут произвольные постоянные, замещающие две постоянные Л в (5). В случае двух равных вещественных корней, рх = р2 — р два члена (5) замещаются (Ах +А2х)ерх. Случаи большего количества кратных корней изложены выше (стр. 114).

Относительно способов разыскания частного решения Y(x), входящего в (5), для неоднородного уравнения (1) не было пока сказано ничего, кроме самой общей рекомендации — действовать методом проб. В качестве простого примера можно рассмотреть случай постоянной правой части в (1). Пусть f(x) = р. Ищем решение уравнения (1) в виде постоянной У — У = const. Подставляя в уравнение (1), получим anY = р, откуда У = р!ап. Это и есть искомое частное решение (5). В этом случае У изменяется около постоянного уровня.

Классический метод интегрирования линейных уравнений с постоянными коэффициентами можно облегчить, применяя оператор дифференцирования D = d/dx (см.

Операторный метод не приводит к упрощениям выкладок при отыскании общего решения однородного уравнения. Однородное уравнение (2) записывается в операторной форме следующим образом:

(а0Б* + + . . . + an_xD + ап) у = 0.

8*

115

Ищем решение в виде у — ерх. Для этой функции Dy = pevx = ру, или D — р, то есть действие оператора!) эквивалентно умножению на р. Замейив поэтому D через р и, опуская у, мы получаем характеристическое уравнение (6). Таким образом, задача вновь свелась к разысканию корней характеристического уравнения, то есть операторный метод не дал ничего нового. Однако операторный метод может принести большую пользу при разысканий частного решения неоднородного уравнения Y(x). Введем обозначение F(D) = a0Dn + axDn-i + ... + an_xD + an.

Теперь уравнение (1) можно записать в операторной форме следующим обра- 8ом: F(D)Y = f(x). Можем получить формальное решение

Формальное решение может помочь при отыскании частного решения неоднородного уравнения. Это действительно оказывается так, если алгебраические действия над оператором D производятся по определенным установленным правилам. Изложению этих правил посвящено приложение А. Здесь мы ограничимся тем, что рассмотрим два простых примера дифференциальных уравнений второго и третьего порядка, показывающих применение опера- горного метода.

Пример (а)

<7>

Характеристическое уравнение имеет вид р2—1 = 0; его корни 1. Поэтому

общее решение соответствующего однородного уравнения есть у = АгехА2е~х, где Ах и А2— произвольные постоянные. Частное решение ищем из операторного равенства:

= t25-^2)"1 *= (i+D*+D*+...)

Общее решение уравнения (7) есть

Y^x+AiieF+Atf-*

(см. 4.4, упражнение 2). Пример (б)

d*Y d2Y

2 Y=xex. (8)

dxs dx2

Характеристическое уравнение имеет вид р3—/?2 + 2 = 0, то есть (р+1) (р2 — 2/?+2) = 0; его корни: р1і2 = 1 ± і, р3=—1. Следовательно, общее решение однородного уравнения есть

у—Аех cos (х—е)+Ве~х, где А, В, е — произвольны.

1

Y==D*-D2+2ХЄ*' Разложим операторную дробь на элементарные:

1 1 D-3 \

П^—D2 —J-2 ~~(D+\){D2—2D+2) 5 \D+1 D*—2D+2 J '

і'аким образом, пользуясь правилами приложения А, получаем частное решение:

w 1 х D—3 х- х _А (Д + 1) —3

ЪУ-ЩЛхе - D*-2D+2 ХЄ (D + l)+iX Є (D+\)2-2(D+l) + 2X' Следовательно

+ (1 + D2)-*x=

=1 +V-D) х = = (2a:—1).

1

Итак, Y=-^(2x—l)ex. Легко проверить, что мы, действительно, получили частное

1 1 = -?-(2#4-3)e*; daY/dx3=—(2х-\-Ь)ех. Подставляя в левую часть уравнения (8) значения У и производных, получаем хех, то есть правую часть уравнения (8). Поэтому общее решение этого уравнения есть

У= cos (х—в)4--^- (2я—1) J ех + Ве~х.

Оно представляет взрывное колебание, наложенное на монотонно развивающуюся тенденцию -Т-(2х — 1) ех.

Задачи и упражнения

1. Показать, что частное решение уравнения d^yjdx^ — a (dy/dx), удовлетворяющее начальным условиям у=г/0 и dy/dx=k при аг=0, имеет вид 2/=2/0+(А/а) (еах—1)* 2. Показать, что общее решение однородного уравнения га-го порядка

не содержащего г/, имеет вид y==yi (х)-\-А, где уг (х) есть общее решение уравнения (п — 1)-го порядка

dn-ly dn-2y

а А—произвольная аддитивная постоянная. 3.

Решить уравнение (8), не пользуясь операторным методом. Для этого показать, что частное решение можно искать в виде Y=(ax-{7b) еР. Подставив его в дифференциальное уравнение, найти а и Ь. Показать, что У = -~(2а?—1) ех есть частное решение,' 4.

Показать, что общее решение уравнения

имеет вид У—[A cos {Х—е)+2?1 ЕХ, где А, В, є—произвольные постоянные. Имеется ли в нем доминирующий член? 5.

Что можно сказать относительно решения (и, в особенности, относительно доминирующего члена) дифференциального уравнения третьего порядка в свете предыдущего упражнения и примера в тексте, когда характеристическое уравнение имеет пару сопряженных комплексных решений?