4.3. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

dY ,, ч 102

Это уравнение первого порядка, и в нем отсутствует член с неизвестной функцией У.

У = J f(x)dx + A,

где А — аддитивная произвольная постоянная. Таким образом, интегрирование дифференциального уравнения сводится в данном случае к интегрированию функции, то есть просто к действию, обратному дифференцированию. В следующей таблице приведены решения некоторых наиболее часто встречающихся уравнений рассмотренного типа, правыми частями которых являются простейшие элементарные функции. Формулы дифференцирования элементарных функций Дифференциальные уравнения уравнение общее решение d vxn

dx vre+1 J

QX gX

dx

d . 1 -3— lnx = —

dx x

d .

' z sin x — COS X

dx dY n

dx

dx

dY _ 1 dx x dY

——= cos x

dx rn+1

Y^^J-J+A (пф-1) ra + l

У = lii x-\-A y = siii x-^A Эти результаты легко распространить на случай, когда в правых частях рассмотренных уравнений вместо аргумента х стоит его линейная функция, то есть выражение вида ах + Ь. Так, например, уравнение dY/dx = еах+ъ имеет общее решение У — (1 !a)eax+bJr А, а уравнение dYldx = і/{ах + Ъ) — общее решение У = {Иа)\п(ах + Ь) + А.

Особенностью общего решения уравнений этого типа является то обстоятельство, что единственная произвольная постоянная в этом общем решении является аддитивной. Ясно, что это происходит в силу того, что соответствующее однородное уравнение имеет лишь одно линейно-независимое решение ух(х) = I18. Мы увидим из дальнейшего (см. 4.5), что общее решение любого однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, в котором отсутствует член с неизвестной функцией, как это имеет место в уравнении dYldx = f(x), содержит аддитивную постоянную.

В общем случае линейное дифференциальное уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами имеет вид

Так как а0 Ф 0, мы можем, слегка изменив обозначения, записать это уравнение в следующем виде:

=/(*)• (і)

Соответствующим однородным уравнением будет

&-Ч- <19>

Как было изложено в разделе 4.2, интегрирование уравнения (1) можно практически осуществить в два этапа.

«Г-аУ-К*) и Й-aY-fix).

Вычитая одно уравнение из другого, получаем

dy

то есть y = Y — Y должно удовлетворять однородному уравнению (2). Теперь найдем общее решение у.

Перепишем уравнение (2) в такой форме:

d , __ 1 dy _

dx У у dx

Общее решение этого уравнения есть

In у— ах + А'у

где А' — произвольная постоянная. Иначе говоря, у = еах+А\ или у = Аеах, где А = еА' — новая произвольная постоянная.

Теперь мы можем написать общее решение уравнения (1)

Y = Y(x)+Aeax. (3)

Произвольная постоянная А получает определенное значение, если задано начальное условие вида У = У0 при х = 0.

Имеется другой метод интегрирования однородного уравнения (2); его преимущество состоит в том, что он легко распространяется на однородные уравнения высших порядков. При другом методе решение уравнения разыскивается в виде у = evxy где р — неизвестная постоянная, подлежащая определению. Подставляя это предполагаемое решение в уравнение (2), мы получаем

-jL ерх = аерх, то есть рерх = аерх,

откуда р = а, так как evx Ф 0. Итак, мы нашли частное решение уравнения (2) в виде показательной функции у = еах. В силу общей теории (см. 4.2) общее решение уравнения имеет вид

у = Аеах,

где А — произвольная постоянная. Этот результат был получен ранее другим способом.

Постоянная а задается; она характеризует «структуру» уравнения (1). Поведение решения (3) при возрастании х зависит от величины и в особенности от знака а. Если а > 0, то член Аеах в уравнении (3) монотонно возрастает при, возрастании х — так называемый «взрывной» случай. Если а < 0, член Аеах по мере возрастания х монотонно уменьшается, стремясь к нулю, то есть имеет место «затухающий» случай.

Интегрирование линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами приводит, как правило, к показательным функциям, свой- ства которых необходимо знать читателю [1, гл. IX], (см. также приложение Б «Комплексные числа» настоящей книги. — Ред.)

Со следующими свойствами чаще всего придется встречаться: I

ех = 1 при х = О, II

-^(еах+ь)=аеах*\ III

еах+ь изменяется с постоянной относительной скоростью, равной а, возрастая до бесконечности при увеличении х, если а > 0, и уменьшаясь до нуля при увеличении х, если а < 0.

Подбор частного решения У (х) неоднородного уравнения (1) видоизменяется в зависимости от вида правой части этого уравнения, f(x). Рассмотрим важный частный случай, когда правая часть неоднородного уравнения постоянна, то есть f (x) = а. Неоднородное уравнение получает вид

dY „ — аУ = а.

dx

Будем разыскивать частное решение уравнения в виде постоянной У = [л, где \х — некоторая постоянная, подлежащая определению. Подставив ее в дифференциальное уравнение, получим

— <7[х = а, то есть [л = —~ .

Мы получаем общее решение уравнения (dY/dx) — aY = а в виде

Y = Aeax- — .

а

Следовательно, решение этого уравнения представляет отклонение (Аеах) от постоянного уровня У = — а/а.

Неоднородные уравнения первого порядка с правыми частями других типов рассматриваются в упражнении 6 этого раздела.

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка появляются при изучении простых экономических моделей непрерывного типа. Как было выяснено выше, такие уравнения описывают изменение цены Р как функции времени в экономических моделях паутинообразного типа. Так, в разделе 1.3 мы получили уравнение

dP _ Ь — а р __ а —Р /44

dt ' аг аг ' ^

а в разделе 1.7 (модель III)—уравнение

+ (5)

где D = а + аР и S == р + ЪР представляют собой соответственно спрос и предложение в статике, заданные в виде известных линейных функций цены Р, a h —постоянная, определяющая скорость реакции (то есть изменения цены при изменении запасов товара). Как было выяснено, цена неуклонно возвращается к своему значению равновесия

р_ сх—р Ъ — а '

если только коэффициенты при Р в дифференциальных уравнениях (4) и (5) отрицательны. Так обычно и обстоит дело в силу того, что а < 0, а1<0, b > 0, X > 0. В модели паутинообразного типа (см. 1.3) абсолютная величина коэффициента при Р равна [b + ( — «)]/(— лі); в этом случае мы имеем быстрое приближение к состоянию равновесия, если ах мало. В модели с запасом товара (1.7) скорость возвращения цены к ее значению равновесия зависит от постоянной к.

Простейшие макроэкономические модели также приводят к линейным дифференциальным уравнениям первого порядка, описывающим изменение дохода или выпуска продукции У как функций времени. При изучении простейшей мультипликаторной модели (см. 3.4) получается дифференциальное уравнение (l/K) (dY/dt) — — sYА, описывающее монотонное возвращение У к значению равновесия (У = Л/$); скорость этого возвращения зависит от значения s — предельной склонности к сбережению. Однако в теории роста Харрода — Домара (см. 3.3) действие акселератора приводит к прогрессивному росту функции У,, удовлетворяющей уравнению

dY f v А \

так как в нем Q — коэффициент при У —оказывается в этом случае положительным: q = s/v > 0.

Рассмотрим еще одну экономическую задачу. Пусть доход У возрастает со скоростью, пропорциональной его величине:

dY v

и пусть, кроме того, дефицит в расходах правительства прямо пропорционален доходу У (при коэффициенте пропорциональности к). Дефицит в расходах приводит к возрастанию национального долга D: dD/dt = kY. Здесь мы считаем переменные У и D непрерывными и дифференцируемыми функциями времени t. Пусть начальные условия имеют вид У = У0 и D = D0 при t = 0. Из первого уравнения мы получаем, учитывая начальные условия, Y = Y0eQt. Решение для Y дает постоянный (пропорциональный) рост. Подставляя У во второе уравнение, получаем dD/dt = kY0eQt. Общее решение этого уравнения имеет вид

Q 0

Постоянную А определим из начальных условий. Именно, подставляя начальные значения в полученное решение, мы получаем D0 = (k/q) У0 + -4. Итак, окончательно

д = о0+Ауо(е 0<_і),

то есть национальный долг возрастает с той же относительной скоростью Q, что и национальный доход. Рассмотрим отношение

D Ґ D0 к \ _0< к к

^ °Ч при г—> 00.

у \Yо QJ Q Q *

Мы приходим к заключению, что при t—> оо национальный долг имеет тенденцию стать определенной долей дохода. Эта задача впервые рассматривалась Домаром [4] (см., например, работу Бомоля [2]).

Задачи и упражнения 1.

Дано уравнение dY/dx = ax; показать, что его общее решение имеет вид у = ах/\п а-\-А (при а > 0, а Ф 1). Особо рассмотреть случай а — 1. 2.

Дано уравнение dY/dx=sin (ах-\-Ь). Показать, что его общее решение имеет вид У = -—(1 /а) cos (ах+&)+А. 3.

Показать, что общее решение предыдущего уравнения можно записать также в форме У = (1/д) sin (aa7-j-6 — я/2)+А 4.

Дано однородное линейное уравнение dy/dx = 0. Показать, что у = 1 есть его частное, а у —А—его общее решение. Исходя из этого, найти общее решение неоднородного уравнения dY/dx = f(x) методом, изложенным в предыдущем разделе. 5.

Показать, что уравнение dyjdx-\-y—0 имеет общее решение вида у — Ае~х. 6.

Методом подбора найти частные решения уравнений:

(1)Ж+? = І + Х> №^+Y = smx+cosx.

Убедиться в том, что общие решения этих уравнений соответственно равны У = х-\-Ае~х и y = sin х-\-Ае~х. Дать графическое изображение частных решений при 1 (#>0) и истолковать их характер. 7.

Показать, что общее решение (3) уравнения (1) при а = 0 принимает вид f (х) dx-\-A. Что можно сказать в этом случае о тенденции и изменении Y по

отношению к тенденции? 8.

Рассмотреть комбинацию экономических моделей, описываемых уравнениями (4) и (5) (см. 1.7. упражнение 5). Показать, что коэффициент при Р оказывается в этом случае равным — X(b—а)/( 1 — Ха). Что можно сказать тогда о скорости приближения P к Р?