4.3. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
dY ,, ч 102
Это уравнение первого порядка, и в нем отсутствует член с неизвестной функцией У.
Решением этого уравнения является неопределенный интеграл от функции f(x):У = J f(x)dx + A,
где А — аддитивная произвольная постоянная. Таким образом, интегрирование дифференциального уравнения сводится в данном случае к интегрированию функции, то есть просто к действию, обратному дифференцированию. В следующей таблице приведены решения некоторых наиболее часто встречающихся уравнений рассмотренного типа, правыми частями которых являются простейшие элементарные функции. Формулы дифференцирования элементарных функций Дифференциальные уравнения уравнение общее решение d vxn
dx vre+1 J
QX gX
dx
d . 1 -3— lnx = —
dx x
d .
' z sin x — COS X
dx dY n
dx
dx
dY _ 1 dx x dY
——= cos x
dx rn+1
Y^^J-J+A (пф-1) ra + l
У = lii x-\-A y = siii x-^A Эти результаты легко распространить на случай, когда в правых частях рассмотренных уравнений вместо аргумента х стоит его линейная функция, то есть выражение вида ах + Ь. Так, например, уравнение dY/dx = еах+ъ имеет общее решение У — (1 !a)eax+bJr А, а уравнение dYldx = і/{ах + Ъ) — общее решение У = {Иа)\п(ах + Ь) + А.
Особенностью общего решения уравнений этого типа является то обстоятельство, что единственная произвольная постоянная в этом общем решении является аддитивной. Ясно, что это происходит в силу того, что соответствующее однородное уравнение имеет лишь одно линейно-независимое решение ух(х) = I18. Мы увидим из дальнейшего (см. 4.5), что общее решение любого однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, в котором отсутствует член с неизвестной функцией, как это имеет место в уравнении dYldx = f(x), содержит аддитивную постоянную.
В общем случае линейное дифференциальное уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами имеет вид
Так как а0 Ф 0, мы можем, слегка изменив обозначения, записать это уравнение в следующем виде:
=/(*)• (і)
Соответствующим однородным уравнением будет
&-Ч- <19>
Как было изложено в разделе 4.2, интегрирование уравнения (1) можно практически осуществить в два этапа.
Во-первых, разыскивается какое-либо частное решение У = Y(x) этого уравнения. Чаще всего это делают методом последовательного приближения, видоизменяя уравнение в зависимости от конкретного вида f(x) — правой части уравнения. Во-вторых, мы ищем общее решение однородного уравнения (2). Обозначим у = У — У и заметим, что У и У должны оба удовлетворять уравнению (1):«Г-аУ-К*) и Й-aY-fix).
Вычитая одно уравнение из другого, получаем
dy
то есть y = Y — Y должно удовлетворять однородному уравнению (2). Теперь найдем общее решение у.
Перепишем уравнение (2) в такой форме:
d , __ 1 dy _
dx У у dx
Общее решение этого уравнения есть
In у— ах + А'у
где А' — произвольная постоянная. Иначе говоря, у = еах+А\ или у = Аеах, где А = еА' — новая произвольная постоянная.
Теперь мы можем написать общее решение уравнения (1)
Y = Y(x)+Aeax. (3)
Произвольная постоянная А получает определенное значение, если задано начальное условие вида У = У0 при х = 0.
Имеется другой метод интегрирования однородного уравнения (2); его преимущество состоит в том, что он легко распространяется на однородные уравнения высших порядков. При другом методе решение уравнения разыскивается в виде у = evxy где р — неизвестная постоянная, подлежащая определению. Подставляя это предполагаемое решение в уравнение (2), мы получаем
-jL ерх = аерх, то есть рерх = аерх,
откуда р = а, так как evx Ф 0. Итак, мы нашли частное решение уравнения (2) в виде показательной функции у = еах. В силу общей теории (см. 4.2) общее решение уравнения имеет вид
у = Аеах,
где А — произвольная постоянная. Этот результат был получен ранее другим способом.
Постоянная а задается; она характеризует «структуру» уравнения (1). Поведение решения (3) при возрастании х зависит от величины и в особенности от знака а. Если а > 0, то член Аеах в уравнении (3) монотонно возрастает при, возрастании х — так называемый «взрывной» случай. Если а < 0, член Аеах по мере возрастания х монотонно уменьшается, стремясь к нулю, то есть имеет место «затухающий» случай.
Член У (ж), какую бы форму он ни имел, представляет тенденцию или линию равновесия, на которую накладывается взрывное или затухающее изменение. Характер изменения зависит от начального возмущения (которым определяется А) и от величины а. Чем больше численная величина а, тем сильнее взрывное или затухающее изменение.Интегрирование линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами приводит, как правило, к показательным функциям, свой- ства которых необходимо знать читателю [1, гл. IX], (см. также приложение Б «Комплексные числа» настоящей книги. — Ред.)
Со следующими свойствами чаще всего придется встречаться: I
ех = 1 при х = О, II
-^(еах+ь)=аеах*\ III
еах+ь изменяется с постоянной относительной скоростью, равной а, возрастая до бесконечности при увеличении х, если а > 0, и уменьшаясь до нуля при увеличении х, если а < 0.
Подбор частного решения У (х) неоднородного уравнения (1) видоизменяется в зависимости от вида правой части этого уравнения, f(x). Рассмотрим важный частный случай, когда правая часть неоднородного уравнения постоянна, то есть f (x) = а. Неоднородное уравнение получает вид
dY „ — аУ = а.
dx
Будем разыскивать частное решение уравнения в виде постоянной У = [л, где \х — некоторая постоянная, подлежащая определению. Подставив ее в дифференциальное уравнение, получим
— <7[х = а, то есть [л = —~ .
Мы получаем общее решение уравнения (dY/dx) — aY = а в виде
Y = Aeax- — .
а
Следовательно, решение этого уравнения представляет отклонение (Аеах) от постоянного уровня У = — а/а.
Неоднородные уравнения первого порядка с правыми частями других типов рассматриваются в упражнении 6 этого раздела.
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка появляются при изучении простых экономических моделей непрерывного типа. Как было выяснено выше, такие уравнения описывают изменение цены Р как функции времени в экономических моделях паутинообразного типа. Так, в разделе 1.3 мы получили уравнение
dP _ Ь — а р __ а —Р /44
dt ' аг аг ' ^
а в разделе 1.7 (модель III)—уравнение
+ (5)
где D = а + аР и S == р + ЪР представляют собой соответственно спрос и предложение в статике, заданные в виде известных линейных функций цены Р, a h —постоянная, определяющая скорость реакции (то есть изменения цены при изменении запасов товара).
Как было выяснено, цена неуклонно возвращается к своему значению равновесияр_ сх—р Ъ — а '
если только коэффициенты при Р в дифференциальных уравнениях (4) и (5) отрицательны. Так обычно и обстоит дело в силу того, что а < 0, а1<0, b > 0, X > 0. В модели паутинообразного типа (см. 1.3) абсолютная величина коэффициента при Р равна [b + ( — «)]/(— лі); в этом случае мы имеем быстрое приближение к состоянию равновесия, если ах мало. В модели с запасом товара (1.7) скорость возвращения цены к ее значению равновесия зависит от постоянной к.
Простейшие макроэкономические модели также приводят к линейным дифференциальным уравнениям первого порядка, описывающим изменение дохода или выпуска продукции У как функций времени. При изучении простейшей мультипликаторной модели (см. 3.4) получается дифференциальное уравнение (l/K) (dY/dt) — — sYА, описывающее монотонное возвращение У к значению равновесия (У = Л/$); скорость этого возвращения зависит от значения s — предельной склонности к сбережению. Однако в теории роста Харрода — Домара (см. 3.3) действие акселератора приводит к прогрессивному росту функции У,, удовлетворяющей уравнению
dY f v А \
так как в нем Q — коэффициент при У —оказывается в этом случае положительным: q = s/v > 0.
Рассмотрим еще одну экономическую задачу. Пусть доход У возрастает со скоростью, пропорциональной его величине:
dY v
и пусть, кроме того, дефицит в расходах правительства прямо пропорционален доходу У (при коэффициенте пропорциональности к). Дефицит в расходах приводит к возрастанию национального долга D: dD/dt = kY. Здесь мы считаем переменные У и D непрерывными и дифференцируемыми функциями времени t. Пусть начальные условия имеют вид У = У0 и D = D0 при t = 0. Из первого уравнения мы получаем, учитывая начальные условия, Y = Y0eQt. Решение для Y дает постоянный (пропорциональный) рост. Подставляя У во второе уравнение, получаем dD/dt = kY0eQt. Общее решение этого уравнения имеет вид
Q 0
Постоянную А определим из начальных условий.
Именно, подставляя начальные значения в полученное решение, мы получаем D0 = (k/q) У0 + -4. Итак, окончательнод = о0+Ауо(е 0<_і),
то есть национальный долг возрастает с той же относительной скоростью Q, что и национальный доход. Рассмотрим отношение
D Ґ D0 к \ _0< к к
^ °Ч при г—> 00.
у \Yо QJ Q Q *
Мы приходим к заключению, что при t—> оо национальный долг имеет тенденцию стать определенной долей дохода. Эта задача впервые рассматривалась Домаром [4] (см., например, работу Бомоля [2]).
Задачи и упражнения 1.
Дано уравнение dY/dx = ax; показать, что его общее решение имеет вид у = ах/\п а-\-А (при а > 0, а Ф 1). Особо рассмотреть случай а — 1. 2.
Дано уравнение dY/dx=sin (ах-\-Ь). Показать, что его общее решение имеет вид У = -—(1 /а) cos (ах+&)+А. 3.
Показать, что общее решение предыдущего уравнения можно записать также в форме У = (1/д) sin (aa7-j-6 — я/2)+А 4.
Дано однородное линейное уравнение dy/dx = 0. Показать, что у = 1 есть его частное, а у —А—его общее решение. Исходя из этого, найти общее решение неоднородного уравнения dY/dx = f(x) методом, изложенным в предыдущем разделе. 5.
Показать, что уравнение dyjdx-\-y—0 имеет общее решение вида у — Ае~х. 6.
Методом подбора найти частные решения уравнений:
(1)Ж+? = І + Х> №^+Y = smx+cosx.
Убедиться в том, что общие решения этих уравнений соответственно равны У = х-\-Ае~х и y = sin х-\-Ае~х. Дать графическое изображение частных решений при 1 (#>0) и истолковать их характер. 7.
Показать, что общее решение (3) уравнения (1) при а = 0 принимает вид f (х) dx-\-A. Что можно сказать в этом случае о тенденции и изменении Y по
отношению к тенденции? 8.
Рассмотреть комбинацию экономических моделей, описываемых уравнениями (4) и (5) (см. 1.7. упражнение 5). Показать, что коэффициент при Р оказывается в этом случае равным — X(b—а)/( 1 — Ха). Что можно сказать тогда о скорости приближения P к Р?
Еще по теме 4.3. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА:
- 1.3. ПРОСТАЯ НЕПРЕРЫВНАЯ МОДЕЛЬ
- ГЛАВА 4 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
- 4.1, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
- 4.2. ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ; НАЧАЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ II ПРОИЗВОЛЬНЫЕ ПОСТОЯННЫЕ
- 4.3. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
- 4.4. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
- 4.5. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ПРОИЗВОЛЬНОГО ПОРЯДКА
- 4.7. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ МЕТОДОМ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА
- ГЛАВА 5 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ. ЛИНЕЙНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
- 5.3. ЛИНЕЙНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА