<<
>>

5.5. ЛИНЕЙНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЩЕГО ВИДА

Теперь ясен общий метод нахождения дискретных решений. Линейное разностное уравнение п-то порядка с постоянными коэффициентами и соответствующее однородное уравнение имеют вид:

• • • + = (1) *d/x + aiVx-1 + • • • + <*n-iVx-n+i + апУх-п = (2)

Сперва мы находим некоторое частное решение уравнения (1) YX = Y (х), которое обычно характеризует тенденцию или линию равновесия Ух, соответствующую возрастанию х.

Затем введем новую переменную — отклонение Ух^Ух — У* которое удовлетворяет однородному уравнению (2), и далее требуется найти его общее дискретное решение, которое содержит п произвольных постоянных:

Ух = У(х\ Alf А2, ...,Ап).

И, наконец, полное решение уравнения (1) представляет собой сумму какого-либо частного решения (1) и общего дискретного решения однородного (2), и оно имеет вид:

Ух = 7(х) + у(х; А19 А2, . .., Ап).

Для нахождения решения однородного уравнения (2) ищем его в виде ух = Хх, где постоянная % есть корень характеристического уравнения:

а0Кп + аХ'1 + .. - + ап_гК + а„ = 0. (3)

Это уравнение имеет ТІ корней (Я^ ..., Я)г), которые могут быть как вещественными, так и попарно комплексными сопряженными числами. Можно показать, что эти решения линейно независимы, а потому общее дискретное решение уравнения (2) получится в виде:

Ух = ^М* + А2Ц + ... + АпК. (4)

Когда уравнение (3) имеет пары сопряженных комплексных корней, соответствующие члены в (4) могут быть выражены в различной форме, включающей синусоидальные функции. Возможно, что два или больше корней в (3) будут равными; в этом случае решение (4) «дефектно», так как оно не имеет требуемого числа различных членов. В таком случае необходимо употребить прием нахождения решения, который мы применили во втором случае раздела 5.4.

Если все корни (3) вещественные, то доминирующим членом в решении (4) является тот, который содержит наибольший по абсолютной величине корень, пусть это будет, например, АЕсли по абсолютной величине |^i|>lt то решение относительно ух при возрастании х имеет взрывной характер; если | | < 1, то тогда вариация затухает до нуля. В обоих случаях знак ух может чередоваться, но ук не колеблется в обычном смысле (то есть с периодом колебания большим, чем два интервала х).

Если уравнение (3) содержит комплексные корни, то они встречаются парами в форме r(cos0 ± sin 0). Для каждой такой пары два члена в (4) при объединении дают Ar* cos фх — є), где А и є — произвольные постоянные. В этом случае доминирующий член в решении (4) зависит Ът наибольшей величины г (пусть это будет, например, г^ в отношении комплексных корней и наибольшего по модулю % (например, в отношении вещественных корней. Движение ух включает колебания с периодом 2я/0 или несколько таких колебаний. Колебание само может быть взрывным (если > 1) или добавлено к отдельному неколебательному члену, являющемуся взрывным (если | | > 1). Однако если по модулю гх ,КХ < 1, то решение будет характеризоваться затухающими колебаниями без взрывного элемента. В случае наличия в (3) равных корней возникает дополнительное осложнение. Найти корни характеристического уравнения для порядка выше второго — нелегкая задача. Даже для уравнения третьего порядка нужно прежде локализовать (например, графически) один корень, чтобы найти два других.

Но в некоторых частных случаях можно угадать один или несколько отдельных корней характеристического уравнения (3). Предположим, что сумма коэффициентов разностного уравнения равна нулю:

В этом случае К = 1 является корнем (3), и один из членов в решении (4) есть дополнительная постоянная. Это соответствует тому случаю дифференциального уравнения, когда члены с У отсутствуют (см. 4.5.). Предположим теперь, что

а0 — а1-\-а2 — а3 + ... =0.

Тогда К = — 1 является корнем (3), и решение (4) включает как слагаемое, меняющееся по знаку, постоянную (—\)ЛАХ. Пока мы ничего не сказали относительно частного интеграла Y(x), который входит в полное решение уравнения (1). Он зависит от формы f(x), и его приходится находить методом проб и последовательных приближений, так как любое частное решение уравнения (1) служит для нахождения Y{x). Рассмотрим, например, простейший случай, когда f(x) = a (const). Испытаем решение уравнения (1) в виде Yx = У (const), так что (я0+аі+ ••• +ап)^/==а- Следовательно, частный интеграл

у _ а

а полное решение (1) представляет вариацию относительно этого постоянного уровня.

Рассмотрим теперь метод решения разностных уравнений, который можно применить на практике. Как и в случае дифференциальных уравнений, этот метод основан на использовании операторов (см. приложение А). В данном случае мы применяем оцератор сдвига Е или соответствующий разностный оператор Д. Они определяются формулами 2?Уж = Уя+1 и AYX = Уя+1 — Yx, где А = Е — 1. С помощью одного из этих операторов можно найти частный интеграл Y(x) уравнения (1).

Запишем разностное уравнение (1) в операторной форме, исходя из следующих формул:

E~*YX = YX_V

В =

Тогда (1) примет вид:

(а0 + ахЕ~х + а2?"2 + . •. + anE*»)Yx = /(х)9

а это представляет собой операторную форму разностного уравнения (1). Введем теперь функцию Е(Е) = а0Е'1 + а1Еп~1+...+ап^Е + ап; преобразуем левую часть полученного выше операторного уравнения и получим тогда наше уравнение в следующем виде:

-±rF{E)Yx = f{x).

Отсюда можно формально написать частный интеграл:

/<*>•

Истолкование и способ алгебраического преобразования выражений с Е для получения частного интеграла изложены в приложении А. Рассмотрим применение этого метода на двух примерах.

Пример (а)

Корни характеристического уравнения Л2— я2 = О суть 2 = ±я. Поэтому общее дискретное решение однородного уравнения (дополнительную функцию) получаем в виде:

ух = {Аг-[-( — \)х А2}ах (А1 и А2 — произвольные постоянные). Данное неоднородное уравнение в операторной форме запишется так:

(1 — а2Я"2) Yx = ax,

и частный интеграл его будет:

Е2 ра2

Yx = ссх = а2_1а2 (п0 Формуле (4) из приложения А).

В результате получаем полное решение исходного разностного уравнения: Х+2

/у-

А} «*,

которое содержит знакочередующийся элемент, представленный членом с (— 1)*. Решение имеет затухающий или взрывной характер в зависимости от величин а и а. Пример (б)

Характеристическое уравнение А,3—Л,2 + 2 = 0, или (Л,+ 1) (Л2—2А,+ 2) = 0, имеет корни A^l-f-i и —1. Комплексные корни суть ге±гЄ = г (cos 0 ± і sia0), где r = j/"2 и 8 = jt/4 {см. 5.4, уравнение (9)]

Следовательно, дополнительная функция будет

yx—A(yr2)xcos^^-x — e>^-j-( — l)xB (А, В и є —произвольные постоянные).

Частный интеграл данного неоднородного уравнения:

?3 ?з 23

Ух== ?3—?2+2 (g+2*)= ЕЗ-Е*+2 (Х)+ 23-22+2 2* [пРиложение А> РазДел (4)1-

4

Второй член равен просто -g- 2х. Чтобы определить первый член, перейдем от Е к разностному оператору А = Е—1. Подставляем в первое слагаемое частного интеграла ?=Д + 1:

\ А+2 Д2 + 1 J

Е3 ^ (А + 1)3 _ (А + 1)3 _ (А + 1)3 f 1 А—2 #з_?2+2 (А + 1)3— (Д + 1)2+2 (Д+2)(Д2+1) 5

в элементарных рациональных дробях. Разложим дроби в скобках по степеням А. Имеем:

1

А + 2 2 А —2

(2-А) (1 + А2Г1=(2-А)(1 —А2+ ...) = 2—А — 2А2+

А2 + 1

5 Ґ 1 3 Л

и сумма равна — ( 1 — — А — А2+ ... J . Следовательно,* первый член в Yx:

у <1 + Д)® (l-y А—I Д2+ • • •) * = у (1+ЗА + ЗД2+А3) (*-j) =

гак как Да:=1 и Д2# = ДЗа? = ... =0. Частный интеграл данного неоднородного уравнения будет

Yx=±-(2x+5) + j2*. 155 и его полное решение имеет вид

(l/"2)« cos е^)

Задачи и упражнения 1.

Проверить, ЧТО Ух—А (1/2)* COS — с^ -\-В является решением уравнения

Ух — ЗУх-і+4ух- 2 — 2г/х_3 = 0.

Показать, что в этом случае, так. же как и выше, в примере (б), решение ух имеет взрывной колеблющийся характер с периодом 8. Какая разница между этими двумя решениями? 2.

Линейное разностное уравнение выражается через последовательные разности Ух, ЛУХ, Л2УХ, .... Исследовать случай, когда уравнение не содержит Ух, например AYx = f(x), A2Yx+aAYx = f (х) и т. д. Выразить это в уравнениях, содержащих Yx, Ух-і, Yx_2, ..., и показать, что корень характеристического уравнения X равен 1 и что решение для Yx в каждом случае содержит аддитивную постоянную. (Сравните с результатом для дифференциальных уравнений в 4.5). 3.

Частным решением уравнения •: • + ^nYx_n = а является

У = ——*

а0 + а1+ • •• +ап *

Показать, что, когда а0+аі+ ••• +Лп = 0, частным решением этого уравнения будет

У= гт;—і і • Каким будет частное решение, если и а1+2а2+ ...

... 4-пап равно 0? 4.

Дано разностное уравнение yx — 3ayx_1-{-3a2yx_2—a?yx_s = 0. Показать, что решениями этого уравнения являются ух~осх, ух = хах и ух = х2ах. Вывести отсюда общее решение данного уравнения, а также обобщить результат для такого типа разностных уравнений высшего порядка. 5.

Характеристическое уравнение разностного уравнения имеет два сопряженных комплексных корня г (cos 0 ± isin 0). Что будет, если 0 = Jt, и период решения сводится к 2? Показать, что решение стремится к (А1-[~А2х) (— гх), то есть что наименьший период колебания (два интервала х) эквивалентен знакочередованию. 6.

Линейное однородное разностное уравнение четвертого порядка имеет характеристическое уравнение с двукратной парой сопряженных комплексных корней г (cos 0 ± isin 0). Показать, что общее решение имеет вид

ух = rx {(Ах+А2х) cos xQ + (Вг + В2х) sin хЩ.

<< | >>
Источник: Р. Аллен. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЭКОНОМИЯ. 1963

Еще по теме 5.5. ЛИНЕЙНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЩЕГО ВИДА:

  1. ГЛАВА 5 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ. ЛИНЕЙНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
  2. 5.4. ЛИНЕЙНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА
  3. 5.3. ЛИНЕЙНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
  4. 5.1. РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
  5. 5.8. НЕПРЕРЫВНЫЕ РЕШЕНИЯ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ
  6. 7.5. РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНОГО УРАВНЕНИЯ
  7. 5.2. ДИСКРЕТНОЕ РЕШЕНИЕ РАЗНОСТНОГО УРАВНЕНИЯ* ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И СВОЙСТВА
  8. 11.2. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
  9. 4.3. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
  10. 13.2. СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И ЕЕ РЕШЕНИЕ