5.5. ЛИНЕЙНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЩЕГО ВИДА

• • • + = (1) *d/x + aiVx-1 + • • • + <*n-iVx-n+i + апУх-п = (2)

Сперва мы находим некоторое частное решение уравнения (1) YX = Y (х), которое обычно характеризует тенденцию или линию равновесия Ух, соответствующую возрастанию х.

Ух = У(х\ Alf А2, ...,Ап).

И, наконец, полное решение уравнения (1) представляет собой сумму какого-либо частного решения (1) и общего дискретного решения однородного (2), и оно имеет вид:

Ух = 7(х) + у(х; А19 А2, . .., Ап).

Для нахождения решения однородного уравнения (2) ищем его в виде ух = Хх, где постоянная % есть корень характеристического уравнения:

а0Кп + аХ'1 + .. - + ап_гК + а„ = 0. (3)

Это уравнение имеет ТІ корней (Я^ ..., Я)г), которые могут быть как вещественными, так и попарно комплексными сопряженными числами. Можно показать, что эти решения линейно независимы, а потому общее дискретное решение уравнения (2) получится в виде:

Ух = ^М* + А2Ц + ... + АпК. (4)

Когда уравнение (3) имеет пары сопряженных комплексных корней, соответствующие члены в (4) могут быть выражены в различной форме, включающей синусоидальные функции. Возможно, что два или больше корней в (3) будут равными; в этом случае решение (4) «дефектно», так как оно не имеет требуемого числа различных членов. В таком случае необходимо употребить прием нахождения решения, который мы применили во втором случае раздела 5.4.

Если все корни (3) вещественные, то доминирующим членом в решении (4) является тот, который содержит наибольший по абсолютной величине корень, пусть это будет, например, АЕсли по абсолютной величине |^i|>lt то решение относительно ух при возрастании х имеет взрывной характер; если | | < 1, то тогда вариация затухает до нуля.

Если уравнение (3) содержит комплексные корни, то они встречаются парами в форме r(cos0 ± sin 0). Для каждой такой пары два члена в (4) при объединении дают Ar* cos фх — є), где А и є — произвольные постоянные. В этом случае доминирующий член в решении (4) зависит Ът наибольшей величины г (пусть это будет, например, г^ в отношении комплексных корней и наибольшего по модулю % (например, в отношении вещественных корней. Движение ух включает колебания с периодом 2я/0 или несколько таких колебаний. Колебание само может быть взрывным (если > 1) или добавлено к отдельному неколебательному члену, являющемуся взрывным (если | | > 1). Однако если по модулю гх ,КХ < 1, то решение будет характеризоваться затухающими колебаниями без взрывного элемента. В случае наличия в (3) равных корней возникает дополнительное осложнение. Найти корни характеристического уравнения для порядка выше второго — нелегкая задача. Даже для уравнения третьего порядка нужно прежде локализовать (например, графически) один корень, чтобы найти два других. Но в некоторых частных случаях можно угадать один или несколько отдельных корней характеристического уравнения (3). Предположим, что сумма коэффициентов разностного уравнения равна нулю:

В этом случае К = 1 является корнем (3), и один из членов в решении (4) есть дополнительная постоянная. Это соответствует тому случаю дифференциального уравнения, когда члены с У отсутствуют (см. 4.5.). Предположим теперь, что

а0 — а1-\-а2 — а3 + ... =0.

Тогда К = — 1 является корнем (3), и решение (4) включает как слагаемое, меняющееся по знаку, постоянную (—\)ЛАХ. Пока мы ничего не сказали относительно частного интеграла Y(x), который входит в полное решение уравнения (1). Он зависит от формы f(x), и его приходится находить методом проб и последовательных приближений, так как любое частное решение уравнения (1) служит для нахождения Y{x).

у _ а

а полное решение (1) представляет вариацию относительно этого постоянного уровня.

Рассмотрим теперь метод решения разностных уравнений, который можно применить на практике. Как и в случае дифференциальных уравнений, этот метод основан на использовании операторов (см. приложение А). В данном случае мы применяем оцератор сдвига Е или соответствующий разностный оператор Д. Они определяются формулами 2?Уж = Уя+1 и AYX = Уя+1 — Yx, где А = Е — 1. С помощью одного из этих операторов можно найти частный интеграл Y(x) уравнения (1).

Запишем разностное уравнение (1) в операторной форме, исходя из следующих формул:

E~*YX = YX_V

В =

Тогда (1) примет вид:

(а0 + ахЕ~х + а2?"2 + . •. + anE*»)Yx = /(х)9

а это представляет собой операторную форму разностного уравнения (1). Введем теперь функцию Е(Е) = а0Е'1 + а1Еп~1+...+ап^Е + ап; преобразуем левую часть полученного выше операторного уравнения и получим тогда наше уравнение в следующем виде:

-±rF{E)Yx = f{x).

Отсюда можно формально написать частный интеграл:

/<*>•

Истолкование и способ алгебраического преобразования выражений с Е для получения частного интеграла изложены в приложении А. Рассмотрим применение этого метода на двух примерах.

Пример (а)

Корни характеристического уравнения Л2— я2 = О суть 2 = ±я. Поэтому общее дискретное решение однородного уравнения (дополнительную функцию) получаем в виде:

ух = {Аг-[-( — \)х А2}ах (А1 и А2 — произвольные постоянные). Данное неоднородное уравнение в операторной форме запишется так:

(1 — а2Я"2) Yx = ax,

и частный интеграл его будет:

Е2 ра2

Yx = ссх = а2_1а2 (п0 Формуле (4) из приложения А).

В результате получаем полное решение исходного разностного уравнения: Х+2

/у-

А} «*,

которое содержит знакочередующийся элемент, представленный членом с (— 1)*.

Характеристическое уравнение А,3—Л,2 + 2 = 0, или (Л,+ 1) (Л2—2А,+ 2) = 0, имеет корни A^l-f-i и —1. Комплексные корни суть ге±гЄ = г (cos 0 ± і sia0), где r = j/"2 и 8 = jt/4 {см. 5.4, уравнение (9)]

Следовательно, дополнительная функция будет

yx—A(yr2)xcos^^-x — e>^-j-( — l)xB (А, В и є —произвольные постоянные).

Частный интеграл данного неоднородного уравнения:

?3 ?з 23

Ух== ?3—?2+2 (g+2*)= ЕЗ-Е*+2 (Х)+ 23-22+2 2* [пРиложение А> РазДел (4)1-

4

Второй член равен просто -g- 2х. Чтобы определить первый член, перейдем от Е к разностному оператору А = Е—1. Подставляем в первое слагаемое частного интеграла ?=Д + 1:

(Л

\ А+2 Д2 + 1 J

Е3 ^ (А + 1)3 _ (А + 1)3 _ (А + 1)3 f 1 А—2 #з_?2+2 (А + 1)3— (Д + 1)2+2 (Д+2)(Д2+1) 5

в элементарных рациональных дробях. Разложим дроби в скобках по степеням А. Имеем:

1

А + 2 2 А —2

(2-А) (1 + А2Г1=(2-А)(1 —А2+ ...) = 2—А — 2А2+

А2 + 1

5 Ґ 1 3 Л

и сумма равна — ( 1 — — А — А2+ ... J . Следовательно,* первый член в Yx:

у <1 + Д)® (l-y А—I Д2+ • • •) * = у (1+ЗА + ЗД2+А3) (*-j) =

гак как Да:=1 и Д2# = ДЗа? = ... =0. Частный интеграл данного неоднородного уравнения будет

Yx=±-(2x+5) + j2*. 155 и его полное решение имеет вид

(l/"2)« cos е^)

Задачи и упражнения 1.

Проверить, ЧТО Ух—А (1/2)* COS — с^ -\-В является решением уравнения

Ух — ЗУх-і+4ух- 2 — 2г/х_3 = 0.

Показать, что в этом случае, так. же как и выше, в примере (б), решение ух имеет взрывной колеблющийся характер с периодом 8. Какая разница между этими двумя решениями? 2.

Линейное разностное уравнение выражается через последовательные разности Ух, ЛУХ, Л2УХ, .... Исследовать случай, когда уравнение не содержит Ух, например AYx = f(x), A2Yx+aAYx = f (х) и т. д. Выразить это в уравнениях, содержащих Yx, Ух-і, Yx_2, ..., и показать, что корень характеристического уравнения X равен 1 и что решение для Yx в каждом случае содержит аддитивную постоянную.

Частным решением уравнения •: • + ^nYx_n = а является

У = ——*

а0 + а1+ • •• +ап *

Показать, что, когда а0+аі+ ••• +Лп = 0, частным решением этого уравнения будет

У= гт;—і і • Каким будет частное решение, если и а1+2а2+ ...

... 4-пап равно 0? 4.

Дано разностное уравнение yx — 3ayx_1-{-3a2yx_2—a?yx_s = 0. Показать, что решениями этого уравнения являются ух~осх, ух = хах и ух = х2ах. Вывести отсюда общее решение данного уравнения, а также обобщить результат для такого типа разностных уравнений высшего порядка. 5.

Характеристическое уравнение разностного уравнения имеет два сопряженных комплексных корня г (cos 0 ± isin 0). Что будет, если 0 = Jt, и период решения сводится к 2? Показать, что решение стремится к (А1-[~А2х) (— гх), то есть что наименьший период колебания (два интервала х) эквивалентен знакочередованию. 6.

Линейное однородное разностное уравнение четвертого порядка имеет характеристическое уравнение с двукратной парой сопряженных комплексных корней г (cos 0 ± isin 0). Показать, что общее решение имеет вид

ух = rx {(Ах+А2х) cos xQ + (Вг + В2х) sin хЩ.