<<
>>

2.7. МОДЕЛЬ С ДИНАМИЧЕСКИМ МУЛЬТИПЛИКАТОРОМ

Остается ввести в анализ запаздывания и ожидания и использовать таким образом свойства динамической модели, описанныев разделе2.5. Помимо всего, это покажет, устойчиво ли равновесие при статическом мультипликаторе.

В рассматриваемой здесь модели мы предполагаем, что потребители рассчитывают на неизменные размеры дохода в течение каждого ближайшего промежутка времени, то есть в интервале t ожидаемый доход составит Планы потребителей на интервал t таковы:

Ожидаемое потребление = C(Yt_1), \ (1)

Ожидаемые сбережения = Yt_1 — С(Уг_г).

J Далее мы принимаем, что планы потребления осуществляются, то есть фактическое потребление Ct = С(Уиі), и что реализуются планы капиталовложений, причем даны независимые инвестиции, постоянные во времени:

Капиталовложения It = А. Условие действия модели в каждом интервале t будет

lWf+'t.

что приводит к конечно-разностному уравнению первого порядка

Yt-C(Yt.1) = A. (2)

Если задана величина первоначального дохода У0, то путем итерации находим из уравнения (2) значения последующих величин Yt при * = 1, 2, 3, ... .

Планы потребления и инвестиций осуществились; что же происходит со сбережениями? Ожидаемые сбережения определяются формулой (1), и она не была использована при выводе формулы (2) и для характеристики движения Yt. Однако, коль скоро Yt известно, фактические сбережения можно определить из Yt = Ct-\-St:

Фактические сбережения St = Yt —С (У^). (3)

Сравнение формул (1) и (3) показывает, что фактические сбережения отличаются от ожидаемых в случае изменения дохода от одного промежутка времени до другого. В модели с конечно-разностным уравнением (2) доход изменяется во времени. Поэтому в этой модели могут быть непредвиденные сбережения.

В линейном случае независимое потребление включается в инвестиции Л, а для потребления, зависящего от дохода, берем С = сУ. Тогда

Yt = Ct + It+At,

где Ct = cYt^, 7f = О и At = A (заданные независимые расходы в .сумме на потребление и капиталовложения).

Разностное уравнение будет иметь вид

Yt — cYt_1 = A. (4)

Подставим Yt = Y при всех значениях t:

Y-cY = A,

то есть

что характеризует величину дохода, обеспечивающего равновесие при статическом мультипликаторе. Положим

Vt = Yt-Y.

Тогда выражение (4) можно выразить так:

Vt = cVt-i с решением (путем итерации)

или

Уі = УоС> Yt = Y + (Y0-Y)c'.

Так как 0<с<1, решение (5) представляет собой путь Ур стремящегося монотонно к У—уровню равновесия. Следовательно, при статическом мультипликаторе уровень равновесия устойчив; в случае какого-либо начального возмущения доход стремится вернуться к уровню равновесия. Скорость реакции, или темп, с которым х ^ стремится во времени к У у зависит от двух факторов: продолжительности запаздывания и размера

предельной склонности к сбережению 5=1 — с. Если продолжительность запаздывания уменьшается (например, с 6 до 3 месяцев), то каждый этап движения Yt к У требует меньше времени. Если s увеличивается, то уменьшение величины с в формуле (5) означает большее изменение Yt от одного интервала до следующего.

Описанная здесь модель показывает динамический эффект простого мультипликатора, или мультипликатора Кана. Ее можно развить и расширить многими способами. Некоторые из них относятся к настоящему изложению, и мы рассмотрим их в следующей главе. Хиксом [5] предложено графическое изображение мультипликатора Кана в вышеприведенной линейной форме (4) и (5). Оно представлено на рис. 7 в виде линии S. Первоначальный доход составляет У0 = МР0 = M'Q0; ЭТО МОГЛО бы быть доходом в состоянии равновесия при независимых расходах ОМ'. Происходит сдвиг независимых расходов к ОМ, и доход в новом состоянии равновесия равен Y — MP. В интервале 1 доход Y1 становится равным MPгде в силу уравнения (4)

У1-У = с(Г0-У), или, прибавляя к обеим частям равенства разность У —У0,

У1-У0 = (1^С)(У-У0),

то есть геометрически

PJPx = (l-c)PJP.

Наклон (tg угла с осью OA) прямой S равен 1/(1 —с), следовательно^ Р0Р/^0Р0 = 1/1 или Q0P0 = (i-c)P0P.

Значит, P^P^Q^ и прямая Q0Pi наклонена под углом 45° к горизонтали. То же самое получается^ в следующих интервалах, и все прямые QXP2, • • • также наклонены

к горизонтали под углом 45°. Таким образом, получен наглядный графический метод построения этапов от Р0 к Рг, к Р2, к Р3, ..., стремящихся к Р.

В линейной модели (4) А принимается неизменным во времени. Модель можно распространить и на случай с независимыми расходами, варьирующими во времени, если только задана точно установленная форма их изменения. Нужно лишь заменить А на At, где At — конкретная форма изменения А во времени. Например, она может представлять собой рост- по прогрессии или какой-либо тип колебаний. Возьмем случай, где независимые расходы возрастают в геометрической прогрессии с темпом г (г>0):

(б>

Никакое статическое положение равновесия невозможно ни теперь, ни в будущем; это можно проверить, подставив Уг = У для всех t в выражение (6). Либо же можно принять другую альтернативу, что доход и независимые капиталовложения растут с одинаковым темпом. Подставим = Yо(1 + г)1 в выражение (6)

У0 (1 + r)< - сУ0 (1 + г)'"* = А0 (1 + г)',

то есть, разделив на (1-t-r)',

V ^О

Следовательно, если увеличение дохода начинается с уровня, определяемого равенством (7), то принятый характер роста дохода У0(1 + г)/ соответствует модели.

Но это еще не все. Далее нужно найти направление движения Yt при любом другом ИСХОДНОМ уровне (или при наличии возмущений) У0 Y0. Оно легко получается в следующей форме (вывод см. в 5.6): (8)

У| = У0(1+г)Чаго-1го)е'. Первый член выражения (8) означает непрерывный рост; второй член монотонно затухает, стремясь к нулю. Действительно, в этом случае решение то же, что и для уравнения (5). Различие лишь в том, что Yt устойчиво стремится не к фиксированному уровню равновесия У, а к растущему уровню У0(1 + /•)'. Последний определяется принятым темпом роста независимых капиталовложений.

Сходные результаты получаются и при иных формах заданного изменения А і во времени. Общий вывод таков: любому заданному движению At соответствует своя форма динамики Yt, являющаяся результатом «домноже- ния» независимых расходов. Если Yt уклонится с этого пути, то оно будет стремиться возвратиться к нему, причем скорость этого процесса зависит от величины 5 = 1 — с.

Этот вывод представляет некоторый ограниченный интерес. Мультипликатор воспроизводит в доходе или продукции любой уровень независимых расходов, соответственно «домножая» их. Но с экономической точки зрения здесь что-то упущено. Даже если независимые капиталовложения действительно возрастают в геометрической прогрессии, экономически было бы неразумно предполагать, что доход будет увеличиваться точно таким же темпом. Возможно, это было бы верно в отношении роста населения, который трактуется иначе и проще. Но, как показал Александер [1],рост независимых расходов в геометрической прогрессии экономически нереален. Более вероятно, что независимые капиталовложения развиваются «скачками» («spurts»), как это описывалШумпетер. Следовательно,соответствующее движение Av подставляемое в выражение (4), является не какой-либо правильной математической формулой, а скорее эмпирическим временным рядом. Простой мультипликатор лишь показывает, что при любых независимых расходах «умножение» их на 1/(1—с) дает доход или выпуск продукции и что в динамике этот результат устойчив. Одно расширение простого мультипликатора может быть получено сразу. До сих пор мы принимали, что функция потребления Ct = С (У*_і) зависит только от дохода предыдущего периода; запаздывание имело форму простого однократного отставания. В более общем случае существует распределенное запаздывание, когда Ct зависит от дохода нескольких прошлых периодов (см. 1.9). В линейном случае Ct = у + cYt-i заменяется выражением

где

с1 + с2+'.. . = с.

В этом случае существует последовательность предельных склонностей к потреблению (с1э с2, с3, ...), которые в сумме дают общую предельную склонность к потреблению с (0<с<1). В частности, в случае геометрического запаздывания эти коэффициенты могут уменьшаться в геометрической прогрессии.

Теперь открывается гораздо больше возможностей. Следует заметить, что Ct характеризует расходы на потребление в течение промежутка времени t, а не потребление и даже не поставки потребительских товаров.

Особый случай, характеризуемый уравнением (9), возникает, когда доход колеблется во времени и потребители как-то «осередняют» (average up) свои расходы. Наиболее важен тот факт, что расходы на потребление производятся для приобретения разнородного набора товаров и услуг; решения о покупках (на которые влияет текущий или недавно полученный доход) могут привести к увеличению различных видов расходов в будущем. Примером может служить покупка в рассрочку. Решение о покупке в рассрочку, принятое сейчас на основании текущего дохода, влечет за собой платежи на протяжении нескольких последующих периодов; фактическая поставка товара не имеет значения, ибо в данном случае важны только расходы.

Даже при введении Запаздывания, распределенного в течение двух интервалов, гибкость модели с мультипликатором возрастает. При Ct = ^ c2Yf_2, гДе ci + с2 ^ с> конечно-разностное уравнение (4) при

нимает вид

Yt c1Yt_1 — c2Yt _2 = А.

Снова получаем решение Yt — У= А/(1—с), как и для статического мультипликатора. Положим z/f= Yt—У, и уравнение примет вид

Это конечно-разностное уравнение второго порядка. Полное и общее решение приводится ниже (см. 5.7). Однако факт существования большего количества возможностей, включая колебательные и знакочередующиеся функции, можно проверить методом последовательных решений путем подстановки разных пар первоначальных значений yt и выписывания последовательных значений, полученных из разностного уравнения.

Задачи и упражнения 1.

Рассмотреть другую возможную модель, в которой выполняются планы сбережений, а пе потребления. Обозначить ожидаемые сбережения периода t как S (У*_і) и показать, что условие модели состоит в том, что S (Y*_i) являются фактическими капиталовложениями. Если планы капиталовложений реализуются (например, существует только фиксированная величина независимых капиталовложений), то ? (Уг_1) = Л. Показать, что в результате не получим никакой динамической модели; только /4/(1 —с) — доход в состоянии равновесия —будет соответствовать системе. Почему является столь жесткой двойная предпосылка об осуществлении планов сбережений и капиталовложений? 2.

В динамической модели, представленной уравнением (2), взять фактическое время запаздывания между моментом получения дохода и его расходованием так, чтобы У/_і была та сумма, которая тратится в период t. Показать, что применяется

то же самое уравнение (2) и что единственная разница в истолковании состоит в том, что фактические сбережения можно разделить:

Yt-CiYt.J^iYt-Yt^ + lYt^-CWt^)]. Объяснить смысл этих двух членов. 3.

Использовать рис. 7 для иллюстрации того факта, что при заданном дискретном запаздывании скорость реакции при изменении Yt до уровня У, дающего равновесие, изменяется в соответствии с уравнением s = 1 — с. 4.

Для динамической модели, приведенной в тексте, показать что ожидаемая разность (капиталовложения минус сбережения) равна (Yt—Yt-1). Объяснить смысл. Использовать этот результат для построения соответствующей непрерывной модели:

dY

-jj- — Капиталовложения—Сбережения=А—У -\-С (У). В линейном случае показать, что решением y^=Y—У является выражение

которое представляет собой результат сходимости ряда У к У со скоростью, зависящей ОТ 5=1 — С.

5. В уравнении (6) для роста в геометрической прогрессии можно ожидать решения Уt = Мо/(1 — С)1 (1Нгг)'> гДе — «домножаемый» коэффициент. Действительный коэффициент равен У0 = Л0/[1 — с/(1-[- г)]. Показать, что при 0<с<1 и г>0 У0<Л0/(1 — с). (См. рис. З в работе Хикса [5].)

<< | >>
Источник: Р. Аллен. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЭКОНОМИЯ. 1963

Еще по теме 2.7. МОДЕЛЬ С ДИНАМИЧЕСКИМ МУЛЬТИПЛИКАТОРОМ:

  1. ГЛАВА 1 ПАУТИНООБРАЗНАЯ МОДЕЛЬ И ДРУГИЕ ПРОСТЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
  2. 3.4. МОДЕЛЬ МУЛЬТИПЛИКАТОРА ФИЛЛИПСА
  3. ГЛАВА 2 КЕЙНС И КЛАССИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ: МУЛЬТИПЛИКАТОР
  4. 3.5. МОДЕЛЬ ФИЛЛИПСА С МУЛЬТИПЛИКАТОРОМ-АКСЕЛЕРАТОРОМ
  5. Коростелев, Иван Николаевич. Математическая модель стационарных физических полей и критерий МГД—стабильности В алгоритмах динамической модели алюминиевого электролизера / Диссертация / Москва, 2005
  6. 6.1. ПРОСТАЯ МОДЕЛЬ МУЛЬТИПЛИКАТОРА-АКСЕЛЕРАТОРА С КОНЦЕНТРИРОВАННЫМИ КАПИТАЛОВЛОЖЕНИЯМИ
  7. 3.7. МОДЕЛЬ САМУЭЛЬСОНА — ХИКСА, ВКЛЮЧАЮЩАЯ МУЛЬТИПЛИКАТОР И АКСЕЛЕРАТОР
  8. 13.7. Динамические модели
  9. Глава 9. Динамические модели
  10. 11.2. Динамические модели
  11. 2.4. ДИНАМИЧЕСКАЯ ДЕНЕЖНАЯ МОДЕЛЬ
  12. 1.9. ЗАПАЗДЫВАНИЯ В ДИНАМИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ
  13. 8.2. Динамическая математическая модель процесса
  14. 16.9. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ; МОДЕЛЬ РОСТА НЕЙМАНА
  15. Динамическая модель социально-территориальной системы
  16. 6.2. Динамическая модель распределения серы между фазами
  17. 2.6. СТАТИЧЕСКИЙ МУЛЬТИПЛИКАТОР