<<
>>

7.7. МОДЕЛЬ ЭКОНОМИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ ФИЛЛИПСА

Особенности модели Филлипса рассматривались в разделах 3.4 и 3.5. Сейчас мы кратко резюмируем их с помощью дифференциального оператора D = d/dt, а затем используем модель для освещения проблемы экономического регулирования.
Характерной чертой модели является то, что спрос Z и выпуск продукции У рассматриваются отдельно, причем один запаздывает по отношению к другому. Независимые расходы А на предметы потребления и на капитальные блага рассматриваются вместе как заданные, безразлично, являются ли они постоянной величиной или же каким-либо определенным образом изменяются по времени.

Модель мультипликатора описывается следующими уравнениями: Спрос; Z = С + А, где С = (1 — s)Y.

Предложение: У = ^^Z.

Реакция предложения на изменение спроса имеет непрерывное запаздывание типа показательной функции, причем скорость реакции равна Я, а временная постоянная Т = 1Д. Производя подстановки, получаем

Г-ІГЇТКІ—>14-^}.

то есть

(1) (2)

к уровню,

DY + XsY = %A. При У = У0 в f = 0 ті А = const решение будет иметь вид42:

у = і + yo«fW.

Оно характеризует движение У от начального значения определяемому статическим мультипликатором Y = A/s.

Пример (а)

5 = 0,25, А = 4, У=0 в * = 0, Л = const. Уравнение (1): DY+Y = 4A при У = 0 в * = 0. Решение (2) :Y = 4A (1 — еч). Peine ние графически изображается кривой I на рис. 23 (случай А=—1).

Y

Модель мультипликатора-акселератора описывается следующими уравнениями:

СпросrZ = C + I + A, где C = {l-s)Y

и ц-

vDY.

D + K Предложение: У =

Сила действия акселератора равна v. Он имеет запаздывающую реакцию (скорость к) непрерывной показательной формы. Производя подстановки, получаем

У= (д+хнд+ц {(1-')(Д + Х)У + ХРДУ+(Д + Х)ІІ},

то есть

Группируя члены, приходим к дифференциальному уравнению D2Y + aDY + bY = X(D + x)4, y

где (3)

a = ta? + K(l — Kv), b = KXs.

Если A = const, то правая часть уравнения станет равна кХА, так как DA = 0. Выпуск продукции, определяемый статическим мультипликатором, У = будет совместен с уравнением. Решение уравнения будет иметь вид (см. 4.4)

У = 4 + + (4)

где рг и р2 — корни квадратного уравнения р2-\-ар+Ь = 0, а Вг и В2 — произвольные постоянные. Постоянные нужно определить из двух начальных условий, например У = У0 и DY = Y'0 в t = 0.

В численных задачах решение уравнения (3) в форме (4) можно получить «классическим» методом. Его можно найти и с помощью преобразования Лапласа (см. 4.7), объединив процесс нахождения частного решения и постоянных, соответствующих начальным условиям. Так как преобразование Лапласа будет особенно полезно в дальнейшем — при численном решении уравнений выше второго порядка, —то мы покажем его применение теперь для частного случая нахождения решений уравнения (3). Пример (б)

5 = 0,25, 0=0,6, к = 1, Я=4, У = 0 и #У = Ы в t=0, А = const.

Уравнение (3): Я2У—0,4ДУ+У = 4Л, при У = 0 и DY=4А в t = 0. Вспомогательное уравнение будет иметь вид:

л 4 А

(pf-0,4p+l) Y +4Л.

Следовательно,

tin) и р+і -іл (-- p-iA V

Y {Р) А Р (Р*-0,4р+1) ~ V Р P*-0Ap+lJ ? так как

/?2_o,4Jp+l = (jp—0,2)2+0,96 = (р—0,2)2+0,982,

так что р2—0,4/?+1 = 0 имеет корни р=0,2 ± *0,98.

Пользуясь таблицами изображений элементарных функций при преобразовании Лапласаполучаем:

У (*) = 4Л (1— е°,2< cos 0,98^+l,225e°j2< sin 0,98*) = 4Л {1 — re°,2< cos (0,98* + є)},

где

г = У~1 + (1,225)2 = 1,58

8 = arctg 1,225 = 0,89 радиана (51°).

Следовательно, решение уравнения характеризует колебательное движение взрывного» типа:

У (0 = АА {1 — 1,58е°cos (0,98*+0,89)}.

Это один из случаев, рассмотренных Филлипсом [7]. Кривая (а) на рис. 9~в [7] представляет собой графическое изображение решения. Оно воспроизводится здесь кривой (/) на рис. 24 (для А=— 1).

Вернемся к решению (4) для общей модели мультипликатора-акселератора. Динамика Y(t) зависит от вида корней (рх и р2) характеристического уравнения. Движение Yt будет монотонным или колебательным в зависимости от того, будут ли корни рх и р2 вещественными или комплексными, оно будет взрывным или затухающим в зависимости от того*

будут ли рх и р2 (или их вещественная часть) положительными или отрицательными. Возможны все перечисленные варианты в зависимости от значений, принимаемых структурными постоянными s, v, я и X. В последующем анализе мы будем считать s и v заданными, а к равным 1. Обратим особое внимание на зависимость динамики У (t) от скорости реакции X (или временной постоянной Т, равной 1/Х) запаздывания на стороне предложения. s и v могут принимать любые значения; они ограничены только неравенствами 0 < s < 1 и v> 0. Однако удобно ограничить обсуждение практически встречающимися величинами, в частности малыми значениями s (до ^0,25) и значениями v, близкими к 1. Анализ главы 6 подсказывает, что силу действия акселератора v можно взять в области значений от (і — y~s)2 до (l + ]/s)2. В данном случае мы примем здесь:

l-\Ts<}/v< 1 + 1/ї. (5>

Движение Y(t), определяемое решением (4), будет колебательным, если корни рх и р2 характеристического уравнения будут комплексно- сопряженными. Характеристическое уравнение имеет вид:

+ p + Xs = 0,

то есть

При комплексных сопряженных корнях

,)•_-*!-< о,

то есть

Г2-2(v + s)T + (v-s)2< 0.

Квадратный трехчлен относительно Т принимает отрицательные значения для всех Т в области Тг < Т < Г2, где

7\, Т2 = (V + 8) ± Y(V+8)*-(V-8)* = {Vv ± 1Гз)\ Следовательно, Y (t) имеет колебательное движение для Т в области

(VV-VSTЗаметим, что в силу неравенства (5) нижний предел меньше 1, а верхний предел больше 1. Колебательное движение Y (t) выражается сочетанием двух показательных функций в (4). Оно имеет форму rea/cos(co? + e), где р == a ± ш — корни характеристического уравнения (6). Нужно различать колебательное движение взрывное (при a > 0) и затухающее (при a < 0). Из решения (6) имеем

а ^-^(T-v + s).

Следовательно, колебательное движение будет взрывным, если —s,

и затухающим, если T>v — s. Легко присоединить к этим случаям условия равномерного изменения Y(t), именно условия, при которых и р2 будут вещественными корнями (6) (см. упражнение 5). Следующая таблица показывает все возможные случаи. Значения Т Корни pi и p2 Движение У (О Вещественные и положи Неколебательное, взрывное тельные {Y~v—Ybf0 Колебательное, взрывное v-s 1. Т будет иметь три следующих критических значения:

(УЪ-\Г*)Ш; v-s;(V'v + V~s)\

В силу неравенства (5) первое и последнее значения будут соответственна меньше и больше 1. Среднее значение может быть меньше 1. Например, при s = 0,04 и v = 1, Т будет принимать значения

14*

211

0,64; 0,96; 1,44. Если

s = 0,25 и v = 0,6, они будут 0,08; 0,35; 1,62.

Следовательно, нужно ожидать колебательного движения Y(t) лишь в случае, если запаздывание предложения много короче или длиннее запаздывания акселератора. Движение, вероятно, будет взрывным, если запаздывание предложения короче; и только тогда нужно ожидать затухающего движения, если оно имеет по крайней мере ту же продолжительность (то есть реакцию по крайней мере такую же медленную), что и запаздывание акселератора. В итоге взрывное колебательное движение Y(t) является, вероятно, наиболее характерной чертой этой модели мультипликатора-акселератора.

Ограниченность описанной здесь модели Филлипса заключается в том, что в ней определяется лишь единственное запаздывание в форме показательной функции на стороне предложения и акселератора. Смягчая это условие в формулировке модели, нетрудно ввести в нее множество запаздываний вида показательной функции и сделать таким образом модель более «реалистичной». Тогда уравнения типа (1) и (3) будут иметь более высокий порядок, и решение их усложнится. Конечно, при введении запаздываний многих видов увеличиваются возможности вариантов колебательного движения Y(t) (см. упражнение 6).

Модель мультипликатора, описываемую уравнением (1), и модель мультипликатора-акселератора, описываемую уравнением (3), можно использовать для приспособления выпуска продукции У к внезапному сдвигу спроса на величину А, происходящему в момент t = 0. Предположим, что система находилась в равновесии вплоть до t = 0. Примем і = 0иУ = 0за уровень равновесия (t < 0). В момент t = 0 спрос внезапно изменяется на постоянную величину А, то есть увеличиваются или уменьшаются независимые расходы. В модели мультипликатора последовательное (при t > 0) изменение У задано уравнением (1) при условии У = 0 в J = 0. В силу уравнения (2), динамика У описывается следующим образом: '

У = (1 —

Это выражение характеризует равномерное приближение к новому уровню равновесия У = A/s.

В модели мультипликатора-акселератора динамика У для t > 0 задана уравнением (3) при условии, что А = const. Для решения уравнения (3) нужно знать два начальных условия. Одно из них будет У = 0 при t = 0. Второе условие задается тем фактом, что в момент t = 0 — когда происходит сдвиг в спросе — система корректируется сама в соответствии только с мультипликатором, акселератор же еще не действует. Поэтому, как и в разделе 3.5, DY = КА, согласно мультипликатору. Движение У от положения начального равновесия У = 0 находится из уравнения (3) при условиях Y = 0 ъ DY = КА ъ момент t = 0. Наиболее вероятное решение будет характеризовать взрывное колебательное движение вокруг У = A/s. Последняя величина представляет собой уровень, определяемый статическим мультипликатором после сдвига в спросе.

Следовательно, сдвиг в спросе вводит новый уровень равновесия У = A/s. Когда действует только мультипликатор, фактическое изменение У будет представлять собой равномерное приближение к этому уровню. Но вероятнее всего оно превратится во взрывное колебательное движение, когда вступит в действие акселератор. В связи с этим возникают две проблемы экономического регулирования. Во-первых, в случае сокращения спроса (А < 0) движение У будет направлено к более низкому уровню (У = A/s), чем первоначальный (У = 0), либо же оно будет представлять собой колебательное движение вокруг этого низкого уровня. Мы можем стремиться достичь предыдущего, более высокого уровня. В связи с этим возникает вопрос: как ликвидировать изменение спроса и вернуться или приблизиться к преж- нему уровню выпуска продукции? Во-вторых, если изменение У представляет собой колебательное движение, в особенности взрывное колебательное движение, вопрос сводится к следующему: как противодействовать неустой-г чивому влиянию акселератора и парализовать колебания выпуска продукции? С такой точки зрения эти проблемы исследовал Филлипс [7]. Мы рассмотрим их в следующих разделах данной главы.

Задачи и упражнения 1.

Проанализировать модель мультипликатора-акселератора, характеризуемую уравнением (3), в случае А, ->со (отсутствие запаздывания предложения) и А= const.

Показать, что тогда У=-^-( 1 — eQ'), где Q= ———. Сравнить с моделью Хар-

S OIV—~~S

рода—Домара (см. 3.3), когда также и и—>оо (без запаздывания акселератора). 2.

Показать, что линия движения У (0, полученная для частного случая в примере (б), идентична решению У = — 4—6,32е°»2/ sin (56°г—39°), данному Филлипсом [7], где А— —1. 3.

Показать тождественность динамики У (0 в решении примера (б) с решением (4), полученным «классическим» методом. 4.

Применить преобразование Лапласа к решению дифференциального уравнения (3) общей модели при условиях A— const и У = 0, DY = XA в ? = 0. Показать, что полученное таким образом решение будет иметь вид:

у (Р)=Ы * + Р =М С± + ±ЬPL » + Pl 1 ^

p(p2+ap + b) b \Р Р1 — Р2 P—Pi Р1—Р2 Р—Ръ J '

где

р2+ар + ъ = (р—Pl) (р — р2).

Получить отсюда Y(t), используя таблицы элементарных функций для преобразования Лапласа. 5.

Показать, что корни рх и р2 в решении (4) будут вещественными, если 71 = 1/Х будет либо меньше (Yv—Y s)2> либо больше (Yv-i-Vs)2. Использовать соотношения Рі\-рч——а и PiPz = b для того, чтобы показать, что ру и р2 будут оба положительными в первом случае и оба отрицательными во втором. Объяснить это с помощью Y, 6.

Ввести в модель мультипликатора двойное запаздывание предложения в виде

ґ 2А»

показательной функции У — J ^ И показать» чт0 УРавнение (1) заменяется

уравнением

D*Y+4 XDY+У №sY = 4 АЛ4,

и что решение последнего уравнения дает колебательное движение, если s >0,25. Показать далее, что при введении в модель мультипликатора-акселератора двойного запаздывания типа показательной функции, либо на стороне предложения, либо в акселератор, либо в то и другое, уравнение (3) превратится в уравнение третьего или четвертого порядка.

<< | >>
Источник: Р. Аллен. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЭКОНОМИЯ. 1963

Еще по теме 7.7. МОДЕЛЬ ЭКОНОМИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ ФИЛЛИПСА:

  1. 33.1. Модель экономической свободы, либерального регулирования экономики и роль права
  2. 3.4. МОДЕЛЬ МУЛЬТИПЛИКАТОРА ФИЛЛИПСА
  3. 3.5. МОДЕЛЬ ФИЛЛИПСА С МУЛЬТИПЛИКАТОРОМ-АКСЕЛЕРАТОРОМ
  4. ГЛАВА 7 ТЕОРИЯ ЭКОНОМИЧЕСКОГО ЦИКЛА ГУДВИНА, КАЛЕЦКОГО И ФИЛЛИПСА
  5. ПРЕРОГАТИВЫ АДМИНИСТРАТИВНОГО, ЭКОНОМИЧЕСКОГО И СОЦИАЛЬНОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ
  6. ГЛАВА 8 ЭКОНОМИЧЕСКОЕ РЕГУЛИРОВАНИЕ. УПРАВЛЯЮЩИЕ СИСТЕМЫ С ЗАМКНУТОЙ ЦЕПЬЮ
  7. § 5.3.1. Организованная модель системы управления предприятием как объект корпоративного правового регулирования
  8. 8.1. СХЕМАТИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЭКОНОМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
  9. ЭКОНОМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЧЕЛОВЕКА
  10. ЭКОНОМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ОБЩЕСТВА
  11. Макроэкономика и её проблемы. Модель экономического оборота.
  12. 8.2. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ЭКОНОМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ В ФОРМЕ БЛОК-СХЕМ
  13. Экономическая модель взаимодействия СМИ и аудитории.