<<
>>

3.5. МОДЕЛЬ ФИЛЛИПСА С МУЛЬТИПЛИКАТОРОМ-АКСЕЛЕРАТОРОМ

Модель, приведенная в разделе 3.4, включает только независимые капиталовложения, акселератора в ней нет. Добавим теперь акселератор с запаздыванием, последний в форме непрерывной показательной функции (3) из раздела 3.2, с коэффициентом инвестиций v и скоростью реакции х.
Следовательно, если / представляет фактические индуцированные капиталовложения в момент t, вызванные изменениями в выпуске продукции, то оно будет описано уравнением

dl ґт dY\ /у| v

Совокупный спрос будет теперь Z — C-\-I-\-A, где, как и прежде, C — cY = (l — s)Y без запаздываний, то есть

Z = (i-s)Y + I + A. (2)

Предложение, как и раньше, берется с непрерывно распределенным запаздыванием и скоростью реакции:

(3)

81

6 Р. Аллен

Выражения (1) —(3) являются уравнениями модели. Модель имеет два непрерывно распределенных запаздывания: одно на стороне предложения (реакция выпуска продукции на спрос со скоростью X), второе на стороне акселератора (индуцированные капиталовложения реагируют на изменение выпуска продукции со скоростью реакции х). Дифференциальное уравнение относительно У получается исключением Z и I из выражений (1) —(3). Сделаем сначала подстановку выражения (2) в (3):

+ -8)Y + I + A},

ТО есть или

d2Y dY dt "" X dt* +S dt '

Подставляем в выражение (1)

1 dW , dY /1 , v Л , dY

то есть

1 d*Y , / , x \ dy , v ,

Получаем дифференциальное уравнение второго порядка относительно У:

+ М = (4)

где

а = Xs + и — хЯа и & = xXs.

Решение уравнения (4), постоянное при всех значениях t, будет У = У, где Y = A/s. Уровень равновесия, заданный статическим мультипликатором, вновь согласуется с моделью. Пусть y — Y — У. Тогда (4) перепишется так:

= 0 ' (5)

с теми же самыми значениями а и 6. Решение (5) характеризует динамику у, а следовательно, и У. Подробно это решение рассматривается в главе 7.

Там будет найдено, что в общем случае решение описывает колебательное движение (оно может быть и взрывным) вокруг Y=Y=A/s.

При подходящих начальных условиях дифференциальное уравнение (4) может представить движение выпуска продукции от одного положения равновесия до другого. Предполагается, что первое положение равновесия достигнуто при У=0 в- 0 в момент, непосредственно предшествующий скачку спроса А. Движение от У=0 к новому положению равновесия Y=AJs задается уравнением^). Кроме того, теперь нужны два начальных условия (см. 4.2). Одно из этих условий состоит в том, что Y=0 в ?=0. Другое условие — начальное значение dYldt в момент ?=0, заданное мультипликатором, так как акселератор еще не пришел в действие. Это значение есть dY/dt=XA (см. 3.4, упражнение 5). Следовательно, динамика от одного положения равновесия к другому описывается дифференциальным уравнением (4), подчиненным условиям У=0 и dY/dt=XA в ?=0.

Задачи и упражнения 1.

Показать, что модель мультипликатора-акселератора не будет иметь непредусмотренных сбережений, если все планы потребителей осуществляются, и что весь разрыв в реализации планов, вызванный наличием запаздываний, выражается в непредусмотренных капиталовложениях. 2.

Иллюстрировать тот факт, что для дифференциального уравнения (4) необходимы два начальных условия. Для этого показать, что если У = 0 и dY/dt = XA в t = 0, то d2Y/dt2 в момент ? = 0 также известно. Каково будет значение d2Y/dt2 и что оно будет означать с точки зрения графического изображения динамики У? 3. Показать, что уравнения (1) —(3) модели можно написать с помощью дифференциальных операторов D—d/dt:

где

Z = C + /+A, С = (

Доказать, что

у= СР+х)ф+ц ««+*-»)ДУ+х(1-')У+н^>

и что это выражение соответствует дифференциальному уравнению (4). 4.

Приведенная в тексте модель предполагает отсутствие запаздываний потребительского спроса. Ввести в модель непрерывно распределенное запаздывание потребления, положив dC/dt= —у (C—cY)> где у—скорость реакции. Доказать, что изменение модели заключается в замене C = cY в уравнении (2) на данное здесь значение С, и показать, что в этом случае получается дифференциальное "уравнение третьего порядка. Показать, что в обозначении предыдущего упражнения

где

Z = C + I+A, С=="=г-Ї— cYf І—тгт— vDY, 1 1 Я+Y D+и

и получить отсюда дифференциальное уравнение третьего порядка относительно Y.

<< | >>
Источник: Р. Аллен. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЭКОНОМИЯ. 1963

Еще по теме 3.5. МОДЕЛЬ ФИЛЛИПСА С МУЛЬТИПЛИКАТОРОМ-АКСЕЛЕРАТОРОМ:

  1. 2.7. МОДЕЛЬ С ДИНАМИЧЕСКИМ МУЛЬТИПЛИКАТОРОМ
  2. 2.8. ЗАВИСИМОСТЬ МЕЖДУ СБЕРЕЖЕНИЯМИ И КАПИТАЛОВЛОЖЕНИЯМИ
  3. 3.3. ТЕОРИЯ РОСТА ХАРРОДА — ДОМАРА
  4. 3.4. МОДЕЛЬ МУЛЬТИПЛИКАТОРА ФИЛЛИПСА
  5. 3.5. МОДЕЛЬ ФИЛЛИПСА С МУЛЬТИПЛИКАТОРОМ-АКСЕЛЕРАТОРОМ
  6. 3.7. МОДЕЛЬ САМУЭЛЬСОНА — ХИКСА, ВКЛЮЧАЮЩАЯ МУЛЬТИПЛИКАТОР И АКСЕЛЕРАТОР
  7. 3.8. ВОЗМОЖНОСТЬ РАВНОВЕСИЯ ПРИ РОСТЕ В ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ
  8. 3.9. РАСПРЕДЕЛЕННЫЕ КАПИТАЛОВЛОЖЕНИЯ. ДИСКРЕТНЫЙ И НЕПРЕРЫВНЫЙ АНАЛИЗ
  9. 5.7. ОТСТАВАНИЯ, РАСПРЕДЕЛЕННЫЕ ЗАПАЗДЫВАНИЯ И МУЛЬТИПЛИКАТОР-АКСЕЛЕРАТОР
  10. 6.1. ПРОСТАЯ МОДЕЛЬ МУЛЬТИПЛИКАТОРА-АКСЕЛЕРАТОРА С КОНЦЕНТРИРОВАННЫМИ КАПИТАЛОВЛОЖЕНИЯМИ
  11. 6.7. БОЛЕЕ ОБЩАЯ МОДЕЛЬ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ КАПИТАЛОВЛОЖЕНИЯМИ
  12. 7.1. ВВЕДЕНИЕ
  13. 7.6. МОДЕЛИ КАЛЕЦКОГО. ПОЗДНЕЙШИЕ ВАРИАНТЫ
  14. 7.7. МОДЕЛЬ ЭКОНОМИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ ФИЛЛИПСА
  15. 7.8. ПОЛИТИКА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ СТАБИЛИЗАЦИИ
  16. 7.9. НЕКОТОРЫЕ ИЛЛЮСТРАЦИИ ПОЛИТИКИ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ СТАБИЛИЗАЦИИ
  17. 8.2. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ЭКОНОМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ В ФОРМЕ БЛОК-СХЕМ
  18. 8.4. ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ ОБРАТНОЙ СВЯЗИ
  19. 8.8. ПОЛИТИКА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ СТАБИЛИЗАЦИИ