<<
>>

3.4. МОДЕЛЬ МУЛЬТИПЛИКАТОРА ФИЛЛИПСА

Следующий шаг заключается во введении запаздываний в модель мультипликатора-акселератора. Если в дальнейшем анализе мы будем пользоваться непрерывным представлением, дающим дифференциальные уравнения, то соответствующее запаздывание примет непрерывно распределенную форму (показательной функции).
Такая модель была построена Филлип- сом [16].

Можно было бы предположить, что путем введения одного или нескольких отставаний вместо непрерывно распределенного запаздывания получатся более простые модели. В действительности это не так, поскольку приводит к неудобным смешанным дифференциально-разностным уравнениям. Это очевидно из упражнения 1 этого раздела и будет показано подробнее на некоторых моделях в главе 7.

Акселератор вначале не принимается во внимание, и анализ ограничивается лишь действием динамического мультипликатора с непрерывным запаздыванием (по показательной функции). Фактически это является непрерывным вариантом предыдущей модели (см. 2.7). Все переменные являются функциями непрерывно меняющегося времени, так что, например, выпуск продукции или доход У выражает Y(t). Везде предполагаются линейные зависимости.

Запаздывания спроса отсутствуют. Планируемое потребление будет C=cY, а независимые расходы (на капиталовложения и потребление) составят А. Тогда общий спрос без запаздываний будет

Z=C + A = cY + A.

Примем А заданным и постоянным и вместо предельной склонности к потреблению воспользуемся предельной склонностью к сбережениям S— 1—С. В самом деле, следуя Филлипсу, s можно истолковать более широко как «предельную утечку денежных средств» («marginal leakage», см. упражнение 2 данного раздела). В этом случае совокупный спрос без запаздываний будет

Z = {i-s)Y + A. (1)

Рассмотрим теперь предложение. Здесь влияние (реакция) выпуска продукции У на спрос Z не предполагается мгновенным, как в разделе 3.3, оно имеет непрерывное запаздывание показательной формы.

Пусть скорость реакции будет А,, или постоянная запаздывания Г = 1Д. Тогда получим

TT--4Y-Z). (2)

Это уравнение описывает изменение выпуска продукции во времени.

Из соотношений (1) и (2), характеризующих модель, получаем дифференциальное уравнение, описывающее изменение выпуска продукции во времени:

+ = = -s)Y±XA9

то есть

f+lsY = KA. (3>

Результатом решения уравнения [(3) вновь является уровень равновесия У — Y = A/s, свойственный статическому мультипликатору. Положим

y — Y — Y и подставим это в уравнение (3), которое перепишется так:

+ = 0. (4)

Как и раньше, воспользуемся тем, что (l/y)(dy/dt) = (d/dt)(lny). Получим решение уравнения (4) в виде Напишем решение в полном виде: (5)

У=У + (У0_У)е-хві. Пусть задан начальный выпуск продукции У0 в момент ? = 0. Тогда уравнение (5) опишет его движение во времени как неуклонное и прогрессирующее приближение к положению равновесия Y = A/s. Движение происходит по показательной функции е~\ и лишь предполагается, что % и s положительны. Скорость приспособления выпуска продукции к изменившимся условиям будет задана выражением Xs, которое представляет комбинацию предельной склонности к сбережениям (как в 2.7) и скорости реакции при запаздывании производства.

Один частный случай —при особых начальных условиях —был рассмотрен Филлипсом. Допустим, что вначале имеет место равновесие. Измеряем У от этого уровня равновесия (У = 0, ? = 0), затем происходит отдельный сдвиг в спросе, представленном А, например, вследствие роста независимых капиталовложений. Тогда новое положение равновесия будет У = А/s. Движение У к новому положению равновесия описывается уравнением (3) с начальным условием У = 0 в момент ? = 0. Значит, содержащееся в решении (5) значение У0 равно 0. Следовательно, в соответствии со сдвигом в спросе А, движение продукции от одного положения равновесия (У = 0) к другому (7 = A/s) будет выражаться следующим образом: Графически это было доказано кривой III на рис.

3, где T = i/Xs и Z0 — A/s. Действительно, при такой форме динамического мультипликатора динамика У представлена движением с запаздыванием вида показательной фунцции со скоростью реакции Ks (см. упражнение 3). Надо сравнить его с движением, которое порождается динамическим мультипликатором с единственным однократным запаздыванием (см. 2.7). Решение уравнения (5) из этого раздела с У0 = 0 и У = Л/(1 — с) будет иметь вид

то есть (так как 1 — с = s) (7)

У, = 4-{1-(!-17)<}, Это решение непосредственно сопоставимо с выражением (6). Решение непрерывной модели включает в себя показательную временную функцию вида e~at (в данном случае a — Xs). Решение же дискретной модели дает функцию вида а1 (где а=с=1— s). Как увидим в главах 4 и 5, это различие характерно для двух типов анализа — непрерывного и дискретного. Более важное различие, представляющее собой свойство этих моделей, заключается в том, что в уравнении (6) скорость реакции зависит от величины Xs, а в уравнении (7) —только от s.

Задачи и упражнения 1.

Дифференциальное уравнение (1) из 3.3. представляет собой комбинированную модель мультипликатора-акселератора без запаздываний. Ввести в функцию потребления отставание продолжительностью 61? а в акселератор продолжительностью 62 и показать, что уравнение (1) примет следующий вид:

v-^rY(t-d2)=Y(t)-cY (t—6j)—А.

Даже в простейшем случае (Э1 = Э2 = 1) оно будет смешанным дифференциально-раз- ностным. Показать, что тем не менее Y — Y, где Y — постоянная величина для всех моментов времени, будет решением, a Y = A/{ 1 — с) дано статическим мультипликатором. 2.

Положим, что совокупный спрос равен Z — C-\-A, где С и А оба линейно зависят от ^величины дохода У. Показать, что совокупный спрос можно выразить через Z = { 1 — l)Y-\-6, где I можно истолковать как «предельную утечку денежных ресурсов» («marginal leakage»), а б — как независимый спрос. Показать затем, что динамический мультипликатор остается точно таким же, как он приведен в данном разделе. 3.

Динамический мультипликатор характеризуется дифференциальным уравнением (3). Написать его в форме dY/dt =—Xs [Y—(^4/s)] й истолковать как действие непрерывного запаздывания. 4.

Приведенная в тексте динамическая модель не упоминает о сбережениях. Показать, что ожидаемое потребление равно (1 — s) Y, сбережения равны sY и капиталовложения = А (предполагая отсутствие независимых потребительских расходов). Показать затем, что сумма потребления и сбережений равна У, а сумма потребления и капиталовложений—ожидаемой величине Z. Вывести отсюда существование непредусмотренных капиталовложений, за исключением того случая, когда все планы потребителей не реализуются и в точности балансируются непредусмотренными сбережениями. 5.

Показать, что при движении уравнения (6) от одного положения равновесия к другому dY/dt = XA в ? = 0 и дать графическую интерпретацию с помощью кривой III на рис. 3.

<< | >>
Источник: Р. Аллен. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЭКОНОМИЯ. 1963

Еще по теме 3.4. МОДЕЛЬ МУЛЬТИПЛИКАТОРА ФИЛЛИПСА:

  1. 3.5. МОДЕЛЬ ФИЛЛИПСА С МУЛЬТИПЛИКАТОРОМ-АКСЕЛЕРАТОРОМ
  2. 7.7. МОДЕЛЬ ЭКОНОМИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ ФИЛЛИПСА
  3. ГЛАВА 2 КЕЙНС И КЛАССИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ: МУЛЬТИПЛИКАТОР
  4. 2.7. МОДЕЛЬ С ДИНАМИЧЕСКИМ МУЛЬТИПЛИКАТОРОМ
  5. 3.7. МОДЕЛЬ САМУЭЛЬСОНА — ХИКСА, ВКЛЮЧАЮЩАЯ МУЛЬТИПЛИКАТОР И АКСЕЛЕРАТОР
  6. 6.1. ПРОСТАЯ МОДЕЛЬ МУЛЬТИПЛИКАТОРА-АКСЕЛЕРАТОРА С КОНЦЕНТРИРОВАННЫМИ КАПИТАЛОВЛОЖЕНИЯМИ
  7. ГЛАВА 7 ТЕОРИЯ ЭКОНОМИЧЕСКОГО ЦИКЛА ГУДВИНА, КАЛЕЦКОГО И ФИЛЛИПСА
  8. 2.6. СТАТИЧЕСКИЙ МУЛЬТИПЛИКАТОР
  9. 5.7. ОТСТАВАНИЯ, РАСПРЕДЕЛЕННЫЕ ЗАПАЗДЫВАНИЯ И МУЛЬТИПЛИКАТОР-АКСЕЛЕРАТОР
  10. Группа С. Медиаобразовательные модели, представляющие собой синтез социокультурной, образовательно-информационной и практико- утилитарной моделей Медиаобразовательная модель А.В.Шарикова [Шариков, 1991]*
  11. ГЛАВА 1 ПАУТИНООБРАЗНАЯ МОДЕЛЬ И ДРУГИЕ ПРОСТЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ