<<
>>

3.7. МОДЕЛЬ САМУЭЛЬСОНА — ХИКСА, ВКЛЮЧАЮЩАЯ МУЛЬТИПЛИКАТОР И АКСЕЛЕРАТОР

Наиболее полная формулировка взаимодействия мультипликатора и акселератора в дискретной модели впервые была дана Самуэльсоном [18,19] и позднее развита Хиксом [13]. Основная предпосылка модели — осуществление планов потребления.
При наличии запаздываний в функциях ожидаемого потребления и сбережений это оставляет достаточно простора для появления непредвиденных сбережений. Затем налагается условие, что в ходе действия модели осуществляются планы капиталовложений, так что ожидаемые инвестиции равны общей величине фактических сбережений и капиталовложений. Акселератор с запаздываниями представляет собой функцию ожидаемых инвестиций. Эта формулировка отличается от соответствующих положений Харрода (см. раздел 3.6) в двух пунктах: осуществляются планы потребления, а не сбережений, и запаздывания являются существенным элементом ожидаемых соотношений потребления и капиталовложений.

В общем модель включает линейную функцию потребления с распределенным запаздыванием (см. конец 2.7):

Ct = Y + ClYt-l + + .. - • где (1)

сх + с2+ ... г=С.

Мы принимаем, что общая предельная склонность к потреблению и каждый из коэффициентов (сг,с2,...) выражаются положительными дробями (0< с< 1). Функция акселератора также принимается линейной с распределенным запаздыванием (как в 3.2):

h = (Yt.і - Yt.t) + о, (Yt.M - Yt_,) +...,"

где ' (2)

г>іІИ2+ • • • =v.

Общий коэффициент инвестиций v и каждый из коэффициентов (г;1? v2, ...) считаются положительными.

Ожидаемые планы, представленные уравнениями (1) и (2), исчерпывают все возможности. В зависимости от текущего уровня дохода потребители принимают те или иные решения об израсходовании имеющихся у них денег. Соответствующие затраты равными или неравными суммами производятся в течение нескольких будущих периодов, как, например, при покупках в кредит. И, что еще более важно, вследствие текущих изменений в выпуске продукции принимаются решения об инвестициях, и необходимые для этого затраты планируются на несколько будущих интервалов времени.

Соотношения (1) и (2) характеризуют расходы на потребление и затраты на инвестиции. Они могут зависеть и от прежних решений относительно потребления и от инвестиций. Фактические поставки потребительских товаров и капитальных благ могут происходить после осуществления затрат, одновременно с ними или предшествовать им. В данном случае важно лишь, что затраты производятся на протяжении нескольких промежутков времени. Фактическое распределение запаздываний в уравнениях (1) и (2) может принимать различные формы, например они могут «скучиваться» вместе «бугром» («humped») или растягиваться более равномерно. В дальнейшем мы рассмотрим эти случаи.

Полученную таким образом модель Самуэльсона — Хикса надо сравнить с соответствующей непрерывной моделью Филлипса (см. 3.5). Обе модели в полной мере вводят запаздывания или по крайней мере дают возможность этого. Филлипс берет непрерывно распределенные запаздывания спроса на потребительские товары и элементы капиталовложений. И случай с потреблением без запаздываний рассматривается лишь для упрощения математической трактовки (см. раздел 3.5, упражцение 4). Модель Самуэльсона — Хикса включает распределенные запаздывания запланированных затрат на потребление и капиталовложения. При уменьшении коэффициентов в геометрической прогрессии они соответствуют типу запаздываний Филлипса. Во всех других случаях они имеют более общий характер. Различие между моделями Филлипса и Самуэльсона — Хикса заключается в условиях их действия. Филлипс рассматривает спрос и предложение отдельно. Планы потребления и капиталовложений, включающие запаздывания, в сумме образуют совокупный спрос, а предложение с дальнейшим запаздыванием приспосабливается к спросу. Из-за наличия запаздывания предложения центр тяжести лежит на непредвиденных капиталовложениях. Точно так же могут быть реализованы планы потребления и сбережений. В модели Самуэльсона — Хикса также суммируются плановые величины потребления и капиталовложений, но предполагается, что и те и другие планы реализуются.

Следовательно, планы потребления и капиталовложений с запаздываниями превращаются в фактические затраты, дающие в сумме выпуск продукции. Непредвиденные капиталовложения или непредвиденное потребление отсутствуют. Акцентирование делается на непредвиденные сбережения. Все это отчасти вопрос удобства применения непрерывного или дискретного анализа. Но отчасти это и проблема экономической интерпретации. В модели Филлипса за запаздыванием действия акселератора, создающего спрос на капиталовложения, следует другое запаздывание в приспособлении предложения капитальных благ к этому спросу. В модели Самуэльсона — Хикса весь комплекс запаздываний на стороне инвестиций объединен в единственной зависимости акселерации (2). Именно поэтому наиболее важна гибкость в формулировке и интерпретации этой зависимости.

Рассмотрим сначала простейший вариант модели Самуэльсона — Хикса. В нем все затраты на капиталовложения концентрируются, или «скучиваются», в интервале времени, непосредственно следующем за первоначальным изменением выпуска продукции. Можно выбрать интервал достаточно длительным для нейтрализации первоначального влияния изменения выпуска продукции на оборотный капитал, но не столі, большим, чтобы этот интервал включал затраты на новый основной капитал. Рассматриваются лишь чистые индуцированные капиталовложения за вычетом износа. Вторичный эффект не принимается во внимание, то есть считается, что первоначально введенная в объем затрат в одном году величина возмещения основного капитала остается приблизительно такой же и в последующее время.

Рассмотрим лишь первый член акселератора (2). Но он включает два прошлых интервала времени в виде Yt_t и Yt_2. Поэтому мы достигнем лишь небольшого упрощения оттого, что возьмем мультипликатор типа Кана и лишь один член (с Yt_x) в функции потребления (1). Поэтому берутся два члена, включающие Уи1*и Yf_2, и получается распределенное запаздывание в функции потребления. Положив в дальнейшем с2=0, мы придем к специальному случаю мультипликатора Кана и «элементарному варианту» Хикса [13]. Условие действия модели таково:

Yt = Ct+It+At,

где Ct=y+clYul+c2Yt^2 есть потребление, I^viy^—Yt_2) — индуцированные капиталовложения, a At — независимые капиталовложения. Все это фактические величины. Вышеприведенное условие эквивалентно равенству ожидаемых капиталовложений фактическим сбережениям и инвестициям. Не делается никаких предпосылок относительно ожидаемых инвестиций, которые в общем случае отнюдь не обязательно равны фактическим сбережениям и капиталовложениям. Поэтому могут появиться непредвиденные сбережения.

Вышеприведенное условие сводится к конечно-разностному уравнению второго порядка относительно Yt:

Yt = у + с+ с2У(_2 + v (У,.! - У,.,) + Л.

то есть

Yt = (v + ег) Yt_x - (с - с2) У|_2 + (At ч+ у).

Включим у в At и йазовем At . независимыми расходами. Положим с = сг-\-с2 и воспользуемся с и с2, помня, что сг = с — с2. Тогда

У t = (р + с - с2) У,^ — {v - с2) Yt_2 + At,

то есть

У, = cYt_t + (v- с2) (У,_! -Yt.t) + Ar (3)

Для получения изменения во времени Yt требуется решить это уравнение при заданной динамике At. Если At = A (постоянной величине), то, как показывает подстановка в (3), одно решение есть Yt = Y (У = const), где У = Л/(1 — с). Уровень статического мультипликатора совместен с моделью. Положим yt = Yt — Y. Тогда уравнение (3) примет вид

Vt = сУі-1 + (v- с2) ІУг-1 - Vt-2)- (4>

Позднее (см. гл. 6) мы найдем общее решение уравнения (4), и, как увидим, изменение Yf будет представлять обычное взрывное колебательное движение вокруг Y — A/(l — c).

Элементарный случай Хикса включает следующие простейшие зависимости: Ct = cYt_1 и It = v(Yul — Yt_2). При с2 = О конечно-разностное уравнение (4) примет вид

Vt = сУі-і + v (yt-! - yt_2), (5)

где с —предельная склонность к потреблению, а я —мощность акселератора. Действие распределенного запаздывания потребления, характеризуемого с2, сводится к простому уменьшению мощности акселератора от v в уравнении (5) до v— с2 в уравнении (4). Эффект распределенного запаздывания капиталовложений можно объяснить, введя в зависимость (2) ненулевое v2. Особенно интересен случай распределенного в геометрической прогрессии запаздывания капиталовложений. Хикс не рассматривал этого варианта. Пусть при отсутствии запаздывания капиталовложения будут Z^viYt-Y^^vAY^. Тогда

It = X {Z^ + (1 - X) Zut + (1 - ху Zt_з + ...},

где X — скорость реакции (0 < X < 1). Как уже было показано в разделе 1.9,

Подставим это выражение и = в Yt = Ct + It + A (A — const):

Yt = cYt^ + ^(vAYt_1) + Af

то есть AYt + XYt = cAYt_x + cXYt+ XvAYt^ + XA (так как ДA = 0). Положим AYt = Yul — Yt и AYt_1 = Yt — Yt_1. Делая приведение подобных -членов, будем иметь

Yul = {l + c-X + Xv)Yt-(c^Xc+Xv) YM + KA.

Решением снова [будет статический уровень Yt = У = Л/(1 — с). Положим yt = Yt — Y и для удобства перейдем от (?+1) к t:

yt = (l + c-X + Xv) yt-1-(c-Xc + Xv)yt_2i

то есть

где } (6)

с' = (і-к) + кс и V' = (l-X)c + Xv.)

Заметим, что с'— взвешенная средняя 1 и с с весами (1-Х) и X, где 0 < X < 1; vf является такой же взвешенной средней с и v. Следовательно, если с< то, как правило, с<с'<1ис< z/< v. Сопоставление (6) и (5) показывает, что введение распределенного (в геометрической прогрессии) запаздывания капиталовложений также уменьшает мощность акселератора.

В простой модели Хикса, описываемой конечно-разностными уравнениями (4) или (5), акселератор имеет вид It — v{Yt_1—У^2)- Приводимая здесь интерпретация принадлежит в основном Хиксу [13]: изменение выпуска продукции в интервале t—1 при включении запаздываний ведет к запланированным и реализованным капиталовложениям в период t. Самуэльсон [18] дает несколько иную интерпретацию: индуцированные капиталовложения связаны только с изменением выпуска предметов потребления (см. упражнение 1). Другим путем пришел к тому же самому конечно-разностному уравнению Смизи [20], элиминировав в своей теории ценных бумаг переменную норму процента (см. 2.2).

Задачи и упражнения 1.

Приравнять нулю независимые расходы и написать функцию капиталовложений в виде It = k(Ct — Cf_i). Она представляет собой капиталовложения, вызванные изменением выпуска предметов потребления, и не имеет запаздываний. Взять функцию потребления с запаздываниями C^=cYt_х и вывести акселератор в форме /f = /cc(Yf_i—Yf-г)- Объяснить смысл коэффициента инвестиций v=Arc. Это в действительности и представляет собой вариант Самуэльсона [18]. 2.

Рассмотреть «элементарный случай» Хикса при s=0 и показать, что конечно- разностное уравнение будет иметь тогда вид Zt = vZt_1-{-Atl где Zt=Yt—Yt_ Решить его относительно Zt при At —А (А = const) и объяснить результат. Почему яе достигнуто положение равновесия Yf=y? 3.

Распространить рассмотренный в предыдущем упражнении случай на вариант -с распределенным запаздыванием потребления с2Ф0, но при s = 0. Что можно сказать «о необычном случае очень слабого акселератора при ?><с2?

<< | >>
Источник: Р. Аллен. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЭКОНОМИЯ. 1963

Еще по теме 3.7. МОДЕЛЬ САМУЭЛЬСОНА — ХИКСА, ВКЛЮЧАЮЩАЯ МУЛЬТИПЛИКАТОР И АКСЕЛЕРАТОР:

  1. 3.5. МОДЕЛЬ ФИЛЛИПСА С МУЛЬТИПЛИКАТОРОМ-АКСЕЛЕРАТОРОМ
  2. 6.1. ПРОСТАЯ МОДЕЛЬ МУЛЬТИПЛИКАТОРА-АКСЕЛЕРАТОРА С КОНЦЕНТРИРОВАННЫМИ КАПИТАЛОВЛОЖЕНИЯМИ
  3. ГЛАВА 6 ТЕОРИЯ ЭКОНОМИЧЕСКОГО ЦИКЛА САМУЭЛЬСОНА — ХИКСА
  4. 5.7. ОТСТАВАНИЯ, РАСПРЕДЕЛЕННЫЕ ЗАПАЗДЫВАНИЯ И МУЛЬТИПЛИКАТОР-АКСЕЛЕРАТОР
  5. 3.4. МОДЕЛЬ МУЛЬТИПЛИКАТОРА ФИЛЛИПСА
  6. ГЛАВА 2 КЕЙНС И КЛАССИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ: МУЛЬТИПЛИКАТОР
  7. 2.7. МОДЕЛЬ С ДИНАМИЧЕСКИМ МУЛЬТИПЛИКАТОРОМ
  8. 3.2. АКСЕЛЕРАТОР
  9.   Глава 2      КАЛЛИГРАФИЯ     Когда включается механизм всматривания
  10. Политическая социализация включает несколько основных стадий.
  11. 2.6. СТАТИЧЕСКИЙ МУЛЬТИПЛИКАТОР
  12. Группа С. Медиаобразовательные модели, представляющие собой синтез социокультурной, образовательно-информационной и практико- утилитарной моделей Медиаобразовательная модель А.В.Шарикова [Шариков, 1991]*
  13. ГЛАВА 1 ПАУТИНООБРАЗНАЯ МОДЕЛЬ И ДРУГИЕ ПРОСТЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
  14. Модель материнства и «путь к модели» в условиях современного общества
  15. Логико-философское направление. Модель знака и     семиотическая модель коммуникации Ч. Пирса
  16. Probit- и fogtt-модели Описание моделей
  17. Коростелев, Иван Николаевич. Математическая модель стационарных физических полей и критерий МГД—стабильности В алгоритмах динамической модели алюминиевого электролизера / Диссертация / Москва, 2005