7.9. НЕКОТОРЫЕ ИЛЛЮСТРАЦИИ ПОЛИТИКИ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ СТАБИЛИЗАЦИИ

D*Y + ft + ks)DY+ $%(* +fp)Y = X{D + V)A.

Это дифференциальное уравнение характеризует динамику У(?), начиная от исходного положения У = 0, в момент t = 0. Его можно решить первым способом, изложенным в предыдущем разделе. Положим А = const (?>0) и возьмем в качестве начальных условий У = 0 и DY = ХА в момент

? = 0+. Решение будет иметь вид:

где и р2 — корни квадратного уравнения

p* + W + Xs)p + №(s + fp) = О,

а Вг и В2 находятся из начальных условий. Само уравнение и его решение аналогичны случаю, рассмотренному в разделе 7.7. Наиболее вероятные значения параметров наводят на мысль, что У колеблется вокруг уровня Y

= A/(s + fp). Далее, если рг и р2 — комплексно-сопряженные корни для случая колебательного решения а ± ico, то сумма корней равна 2а, и тогда из квадратного уравнения следует

о = |-(Л + А)=-у(Р + ^)<0.

Колебательное движение должно быть затухающим (а < 0), оно не может быть взрывным.

В модели мультипликатора без экономического регулирования У равномерно стремится к уровню Y — A/s. При проведении политики пропорциональной стабилизации У будет, вероятно, колебаться вокруг уровня Y

= A/(s + fp). Цель политики экономической стабилизации состоит в том, чтобы заставить У вновь достичь предшествующего уровня (У = 0), и не совершать при этом колебательного движения. Только что рассмотрешіая политика увенчалась лишь частичным успехом. Во-первых, 0 <Л/($ + / )<

< — , то есть новый уровень У представляет собой промежуточную величину между желаемым уровнем У (У = 0) и уровнем, имевшим место до государственного вмешательства (У = Л/$). Во-вторых, улучшение экономики обычно достигается за счет введения в модель колебательного затухающего движения У.

Пример (а)

8 = 0,25, (3 = 2, А, = 4, /р = 2.

Уравнение:

?>2У + SDY + 18У = 4 (D+2) А.

Решение производим с помощью преобразования Лапласа (второй способ, см. раздел 7.8). Вспомогательное уравнение имеет вид:

г

так как /?2-(-3/>+18=0 имеет корни —1,5 ± гЗ,97, то

У(п\-лл р+2 4А f 43 1 1 90 ' 3>97 1 1

Г ^(/>а + Зр+18) - 9 \р (р+1,5)2 + (3,97)2І~ >™Хр+ 1,5)2НЬ(3,97)* J '

Итак,

У (1-е" ubt cos 3,97*+ 1,89е"" ubt sin 3,97*),

то есть

у = —2,Ue-1'5' cos (3,97*+1,08)}.

Для значения А=—1 это решение графически изображено кривой (II) на рис. 23, и с ней можно сравнить кривую I, характеризующую нерегулируемую модель мультипликатора.

В данном случае скорость реакции на корректирование работы экономической системы (Р = 2) составляет лишь половину запаздывания предложения (А, = 4). Единица времени такова, что запаздывание действия экономической политики на повышение «проса имеет временную постоянную в 1/2 единицы, запаздывание предложения—временную постоянную в 1/4 единицы, В качестве единицы времени можно взять, например, один год. Скорректированная в результате экономической политики динамика У характеризуется теперь сильно затухающим колебательным движением, и У колеблется вокруг уровня У = 4/9Л, ТО есть недалеко от желаемого уровня (У = 0).

. Следующий случай, подлежащий нашему рассмотрению, это —проведение смешанной политики экономической стабилизации в рамках модели мультипликатора. Возьмем дифференциальное уравнение (1) из раздела 7.8. Продифференцируем его, чтобы избавиться от интеграла:

/)3У + aD*Y + bDY + cY = XD (D + P) 4,

где

A = ^ + 6 = РЦ* + /Р), C = РЯД.

Пусть A= const (t > 0), и уравнение будет однородным с решением вида:

У = Ву/еР + В2е*> 2t + В3е*>з\

где pv р2 и р3 — корни характеристического уравнения р3 + ар2 + bp + + с = 0, а В19 В2 и В3 определяются из начальных условий.

Сделаем два общих замечания.

+ + -(P + ^+pVd)<0.

Сумма их отрицательна, и все корни могут иметь отрицательные значения; они будут соответствовать монотонно затухающему колебательному движению У. Если рх отрицательно, а р2, р3 = а ± і со, то р1 + р2 + = =:/?! + 2а = —а = —(Р + Xs + рXfd) < 0, и снова рх и а могут быть оба отрицательны. Это означает, что если есть колебательное движение в У, то оно, вернее всего, будет затухающим. Эта вероятность увеличивается с возрастанием коэффициента fd политики стабилизации, ориентирующейся на производную. Никогда нельзя полностью устранить взрывное изменение У. Но энергичная политика стабилизации, связанная с производной, вызывает быстрое затухание колебательного движения выпуска продукции.

В общем и целом политика пропорциональной стабилизации достигает лишь частичного исправления уровня продукции, и только соединение ее с политикой интегральной стабилизации полностью восстанавливает положение. Однако возможно, что это случится лишь за счет допущения колебательного движения выпуска продукции. В этом случае применение политики стабилизации с помощью введения производной вызывает тенденцию к затуханию колебаний.

Пример (б)

5 = 0,25, Р = 2, Х = 4, /р = /і = 2, fd = 0.

Уравнение:

IPY + 3D*Y + 18?>У + 16У = 4D (D+2) А.

Вспомогательное уравнение получается вторым из возможных методов преобразования Лапласа, указанным в разделе 7.8:

(р*+Зр2 + Юр+ЩУ(р)= =4Л (р+2).

Так как ^3-]-3/?2 + 18^+16 = 0 имеет корни —1, —1 + 1-3,87, то

уЫ=Ы р+2 /-J P+44 1 g 87 3,87 )

Ш Р3+3^ + 18/> + 16 15 ІР+1 + (p+W&M* J '

Поэтому1

АЛ

Y (в"'—в"' cos 3,87*+3,87e"< sin 3,870,

то есть

АЛ

Y (0=-jj- є'* {1 — 4 cos (3:87*+1,32)}.

Для случая А =—1 решение показано кривой (///) на рис.

Скорость реакции системы на корректирующую политику остается прежней,, а потому не изменится и сила пропорциональной стабилизации. Действительно, новым является лишь добавление в модель политики интегральной стабилизации. В результате корректирование приводит систему до желаемого уровня выпуска продукции (У == 0), но в то же время вводит в нее колебания медленнее затухающие, чем это было ранее. Политика интегральной стабилизации избавляет экономическую систему от первого дефекта политики пропорциональной стабилизации (лишь частичное исправление уровня выпуска продукции по сравнению с желаемым). Но наряду с этим она усиливает, а не устраняет второй дефект этой политики — колебания выпуска продукции во времепи.

Политика интегральной стабилизации необязательно сопровождается колебательным изменением выпуска продукции. Корни кубического уравнения относительно р могут быть все вещественными (см. упражнение 2). Даже в этом случае выпуск продукции, как правило, значительно изменяется фактически без колебаний, прежде чем он установится вблизи уровня или на уровне У = 0. Добавление третьего типа политики — политики стабилизации (корректирование путем введения производной) — может полностью ликвидировать колебательные движения, вызванные политикой пропорциональной и интегральной стабилизации. Этот факт иллюстрируется упражнением 3.

Наконец, рассмотрим модель мультипликатора-акселератора с применением смешанной политики экономической стабилизации. Такая модель описывается вообще дифференциальным уравнением (2) из раздела 7.8. При столь общей формулировке уравнения немного можно сделать для исследования характера его решения. Легко сделать лишь одно замечание. Если Д Ф 0 и применяется политика интегральной стабилизации, то уравнение (2) нужно продифференцировать, чтобы избавиться от интеграла. Тогда оно превращается в однородное уравнение четвертого порядка. Следовательно, У = 0 представляет собой уровень равновесия, и система полностью отрегулирована.

У = B^vIі + B2e^t + В3еМ -f BtfV*.

Из первого коэффициента уравнения (2) из 7.8 получается следующее равенство:

Рі + Р* + Рз + Р*= -{P + A* + *( +

Оно справедливо как для вещественных, так и для комплексно-сопряженных корней. Динамика У несомненно будет взрывной, если выражение в правой части положительно. Динамика со взрывным элементом еще вполне возможна, когда выражение отрицательно. И только тогда, когда это выражение одновременно велико и отрицательно, можно ожидать затухающего колебательного движения У. Очевидно, что v — сила действия акселера- тора — стремится сделать сумму положительной, a fd — вызвать появление отрицательных величин. Коэффициент fd измеряет силу воздействия политики стабилизации* ориентирующейся на производную. Снова мы находим, что он оказывает затухающее влияние, необходимое теперь для нейтрализации взрывного действия акселератора.

Для лучшего понимания модели рассмотрим различные численные примеры и решим соответствующие уравнения с помощью преобразования Лапласа. Мы возьмем здесь два случая, графики решения которых изображаются кривыми (II) и (III) на рис. 24. Их нужно сравнить с кривой /, характеризующей взрывное колебательное движение, возникающее в соответствующей модели мультипликатора-акселератора без регулирования {см. 7.7, пример (б)).

Пример (в)

s = 0,25, г> = 0,6, Р = 2, х = 1, Л = 4, /р=2, /І = /се = 0.

Имеем уравнение (2) из 7.8: D*Y + lfiD*Y+16,2DY+18Y = 4(D+\) (D+2) А.

Решая, как и прежде, с помощью второго способа преобразования Лапласа (см. 7.8),

получаем

(p3+W+16,2jP+18)y(/,)= 4tP+l)CP+ZM ,

р

Так как 1,6р2+1618 = 0 имеет корни —1,15, —0,225 ±>3,89, то

КР) Р (^ + 1,6^ + 16,2^+18)- 9 I р />+1,15 1 пвд />+0,225 oRR 3,89 1

i,uoo ^_j_Q 225)2-|-3,892 (р+0,225)2+3,892 J '

Итак,

4А

У (0=^(l+0,056e~1>15<-l,056e-°'225'cos3,89^+2,266e-°'225то есть

У (0 = ^ {1 + 0,056е—^'15' -2,5е" °'225< cos (3,89*+1,13)}.

Для случая А= —1 реешние изображается кривой (II) на рис.

В данном случае для регулирования системы применяется только политика пропорциональной экономической стабилизации. Временная постоянная запаздывания спроса в связи с проведением политики стабилизации составляет V2 единицы, для запаздывания акселератора—единицу, для запаздывания предложения XU единицы. Стабилизирующее влияние экономической политики сказывается быстрее влияния акселератора, но медленнее реакции предложения.

После экономического регулирования установившийся уровень производства равен У = 4/9Л. Он представляет собой частичное улучшение экономической системы по сравнению с нерегулируемым уровнем (У==4Л) в направлении желаемого уровня производства (У=0). Главной составной частью динамики выпуска продукции является затухающее колебательное движение с периодом 2я/3,89 или приблизительно 1,5 единицы. Но затухание колебания происходит совсем медленно. Политика экономической стабилизации имеет лишь частичный успех как в корректировании уровня производства, так и в отношении ликвидации взрывных колебаний выпуска продукции в первоначальной (нерегулируемой) модели.

Пример (г)

5 = 0,25, v=0fi, р = 2, х=1, Я = 4, /р=/г = 2, /d = 0.

Уравнение І)4У+1,6І)ЗУ + 16,202У+34?)У+16У = 4І>(?)+1)(?)+2)Л получается из уравнения (2) раздела 7.8 с помощью дифференцирования, которое уничтожает интеграл. Тогда вспомогательное уравнение будет иметь вид:

(Р*+1,6^+16,2^ +34р+16) У (р) = *P(P+l)(P+Z)A в

,Р

Следовательно,

уЫ = 4Л />*+3^+2 л Г 0.13 0,07

ур> />4+1>6р3+ 1б,2ра+34/)+16— ІР+0,69 р+1,43

0 21 р~°'26 і і ре 4.03

(р—0,26)24,03а (р—0,26)2 + 4,032 ' так как —0,69, —1,43, 0,26+*4,03 есть корни уравнения четвертой степени относительно р:

^ + 1,6^+16,2-2/>2+34р+16 = 0.

Следовательно,

У (t) = A (0,1 Зе" °'69f + 0,07e- 1'43f—0,21e°>26то есть

у (1)=А{0ЛЗе-1°>ш+0,07е-{>ш — l,08e°'26'cos (4,03* +1,38)}.

Для случая А= — 1 решение изображено кривой (III) на рис. 24.

Сравним это с результатами решения примера (в). Единственное различие заключается в том, что к политике пропорциональной экономической стабилизации из предыдущего случая добавляется еще политика интегральной стабилизации. В результате этого корректирование уровня выпуска продукции до желаемой величины У = 0 теперь полностью закончено. Динамика У вокруг уровня У = 0 определяется теперь не только двумя затухающими и неколебательными компонентами, а включает и более существенное, чем в предыдущем случае, колебательное движение. Последнее имеет период 2я/4,03, или около 1,5 единицы, то есть почти прежний. Но колебательное движение носит умеренно взрывной характер. Политика интегральной стабилизации пригодна для полного регулирования уровня выпуска продукции, но за счет введения в модель взрывного колебательного движения.

Влияние экономического регулирования достаточно полно разработано на базе предложенной Филлипсом модели мультипликатора-акселератора с единственным запаздыванием в форме показательной функции. Если спрос сокращается на величину А, то соответствующий положению равновесия уровень выпуска продукции снижается на A/s. В нерегулируемой модели с действующим акселератором движение дохода от прежнего уровня равновесия, как правило, будет колебательным и взрывным. Это показывает кривая (/) на рис. 24. Экономическое регулирование преследует двойную цель: возместить падение уровня продукции и свести на нет колебания выпуска ее во времени. Политика пропорциональной экономической стабилизации лишь частично успешна в обоих отношениях. Добавление политики интегральной стабилизации позволяет полностью ликвидировать падение выпуска продукции, но за счет расширения колебательных движений до такого размера, при котором они могут превратиться снова во взрывные. Это показывает важное значение третьего типа экономического регулирования — политики стабилизации, ориентирующейся на производную. Эта политика стремится к сглаживанию динамики выпуска продукции, и в этом отношении ее применение может быть весьма эффективным. Она особенно необходима в случае, когда действует сильный (и, следовательно, взрывной) акселератор. Политика стабилизации с помощью введения производной необходима не только для нейтрализации колебаний, создаваемых политикой пропорциональной (а частично и интегральной) стабилизации, но она должна противодействовать также и присущим системе колебаниям, возникающим в связи с действием акселератора.

Таковы результаты, полученные в модели мультипликатора-акселератора с запаздыванием единственного типа (в виде показательной функции). Они должны быть весьма существенно модифицированы при наличии более сложных и «реалистических» форм запаздывания — двойных, тройных и многократных запаздываний типа показательной функции. Это можно видеть даже из очень упрощенных случаев (см. упражнения 4, 5 и 6 данного раздела). Подробнее это рассматривается в следующей главе. В общем и целом можно сказать, что при наличии многочисленных запаздываний сильнее проявляются колебания, вводимые в модель политикой пропорциональной или интегральной экономической стабилизации. Очень возможно, что они будут и взрывными. В то же время регулирование с помощью политики стабилизации введением производной становится менее эффективным. В самом деле, если проводится энергичная политика пропорциональной или интегральной стабилизации, может оказаться, что никакая политика стабилизации, ориентирующаяся на производную, сколь бы энергично она ни проводилась, не сможет сгладить колебаний выпуска продукции. Все это по крайней мере помогает понять то обстоятельство, что не только само существование запаздываний, но и их форма имеет важнейшее значение при определении динамики экономической системы с мультипликатором и акселератором [8].

Задачи и упражнения

1. Найти дифференциальное уравнение модели мультипликатора для случая: s = 0,25, (5 = 8, А,=4. fp — 2 (при f1 — fd==0). Показать, что его решением будет

У = l,17e"l4>5f cos (7,19*+0,56)}.

Сравнить с результатом решения примера (а) и показать, что следствием более быстрой реакции на мероприятия правительства (маныпего запаздывания) явится затухание колебаний в движении У. Этот случай рассматривал Филлипс [7, рис. 4, кривая с].

2 . В модели мультипликатора рассмотреть случай 5 = 0,25, р = 8, X = 4, /р=Д = = 0,5, ia — 0. Показать, что

OR А

Y (t) = ^{e-t-(i + ijit)e-*t}.

Начертить свободную от колебаний линию движения У к скорректированной величине У=0. Это — случай неэнергичной политики пропорциональной и интегральной стабилизации, оперирующей с коротким запаздыванием. Его рассматривал Филлипс [7, рис. 8, кривая Ь]. 3.

Рассмотреть результаты политики стабилизации с введением производной на следующем примере: s = 0,25, р=2, X = 4, /р=/^ = 8, /д = 1. Показать, что

У(0 = 0,08Л{е-і,Ш__8ї5е-4,9і* Cos (5,50^ + 1,47)}

и что колебания У быстро затухают. 4.

В регулируемой модели мультипликатора, описываемой дифференциальным уравнением (1) из раздела 7.8, заменить одинарное запаздывание предложения показательной формы двойным:

—СА)2-

Показать, что тогда дифференциальное уравнение примет вид:

t

?>3У + aD2Y + bDY+сУ + d ^ Y dt = 4X'(D+$) А,

о

где

а = Р+4А,, & = 4pA,+4A,2(*+P/d), c = 4f>X2 (s+fv)y d = ^X2h. 5.

Рассмотреть модель предыдущего упражнения для случая 5 = 0,25, (3 = 2, Х = 4, /р = 2, /| = /й = 0. Найти решение относительно У (?) и сравнить с результатами решения примера (а). 6.

Рассмотреть модель предыдущего упражнения, заменив /* = 0 на /І=2. Сравнить решение относительно У (*) с решением примера (б).