<<
>>

5.8. НЕПРЕРЫВНЫЕ РЕШЕНИЯ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ

Разностное уравнение относительно Yx относится к любому ряду равноотстоящих (equally-spaced) значений независимой переменной х. Рассмотренные до сих пор дискретные решения применимы к одному частному ряду значений переменной х = 0, 1, 2, 3, ...
Однако разностное уравнение не ограничивается таким путем; отправной точкой для х может быть любое значение. Если отправной точкой является х = 0, то разностное уравнение порождает дискретное решение У0, Yx, У2, •••• Если в качестве начальной

1

точки выбрать х = , то получится совершенно отличное дискретное решение Уі/2, Уз/2, Г5/2. Очевидно, что не существует ограничений для того, чтобы получить какое угодно число различных дискретных решений. Можно выбрать любое значение х между 0 и 1 в качестве начальной точки, и х можно заставить изменяться непрерывно. Спрашивается, можно ли все дискретные решения объединить в отдельное непрерывное решение, выражающее Yx в виде функции х, вообще для любого ряда равноотстоящих значений х.

Например, предположим, что разностное уравнение характеризует уровень цен Yx в различные моменты времени х, а интервал значений х равен одному году. В этом случае х = 0, 1, 2, ... может означать, например, конец года, и дискретное решение У будет тогда показывать изменение цен на

13 5

конец года от года к году. Но если положить х — y ' ~2 ' 2~' т0 П°ЛУЧИТСЯ

другое дискретное решение Ух, которое будет показывать годовое изменение цен, но только на середину года. В обоих этих случаях, так же как и в других, подобных им, изменение цен в пределах года (например, сезонные колебания цен) в анализе не учитывается. Проблема сводится к тому, можно ли получить непрерывное решение для Yx, которое характеризовало бы полностью изменение цен во времени, то есть не только изменение цен год от года, но и изменение их в пределах каждого года.

Уравнение первого порядка %(х, Yx, Ух-1) = 0 имеет дискретное решение Yx — Y(x\ Л), содержащее одну произвольную постоянную А.

Какой бы частный ряд значений х мы ни рассматривали, А всегда можно выразить через начальное значение У. Если дано У0, решение относится к Yx при я = 0, 1, 2, ...; если начальное значение задано Уі/2, то ре-

V 13 5

шение относится к Ух при я = у, у, ... и так далее для всех задаваемых Yx при х в "интервале 0<я<1. Теперь мы расширим понятие произвольного элемента; вместо одного заданного Ух, например У0 или Уі/2, мы будем рассматривать целую область задаваемых Yx при 0<я<1. Говоря более точно, вместо одной произвольной начальной величины, мы возьмем произвольную начальную функцию в области 0<я<1. Эта функция может начинаться с любого значения У0 и изменяться любым способом от х = 0 до х=\, возвращаясь при ж = 1 к начальному значению. Наша произвольная функция имеет период 1. Если продолжить наш пример с ценами, где Yx характеризует уровень цен, то произвольный элемент, который мы должны указать,— это вся область цен в пределах года, выраженных в форме сезонных изменений, начинающихся и кончающихся на одном и том же уровне. Если это сделано, разностное уравнение дает Yx для любых значений х, изменяющихся непрерывно.

Обозначим через w(x) любую функцию с периодом 1, так что все значения w, разделенные единичным интервалом х, равны. Следовательно, для единичного интервала = Так же как и производная постоянной, разность функций периода 1 равна нулю. Постоянная исчезает при дифференцировании, функция периода 1 исчезает при исчислении дифференцирования по конечной разности. Таким образом, общее непрерывное решение уравнения % (х, Ух, Yx_t) = 0 имеет вид Yx = У (х{, w), где w — произвольная функция периода 1, которая может быть определена через начальные условия для Ух в интервале 0<ж< 1. Понятие непрерывного решения легко обобщить. Разностное уравнение второго порядка %(х, Yx, Yx_±, Yx_2) =0 имеет дискретное решение Yx = Y(x; Av А2) при ж = 0, 1, 2, ..., где Аг и А2 — произвольные постоянные, которые можно отождествить с У0 и Уг Это же уравнение имеет непрерывное решение Yx = Y(x; ОУ2) для любого х, где и ^ — произвольные функции периода 1, которые можно выразить через начальные условия для Yx в двух интервалах 0<я<1 и 1<#<2.

Очевидно, это можно обобщить для разностного уравнения любого порядка. Все, что раньше было сказано о произвольных постоянных или начальных значениях в дискретном решении, в равной степени относится и к произвольным функциям периода 1 в непрерывном решении.

Решения разностных и дифференциальных уравнений имеют ряд отличающих их друг от друга черт. Например, область возможных решений линейных разностных уравнений (зависящих от показательной функции типа ах) вообще значительно шире или богаче, чем для линейных дифференциальных уравнений, решения которых зависят от показательной функции типа еах. Это ясно из нашего анализа в разделах 5.3 — 5.5. Однако сравнение, настоящей и предыдущей глав показывает, что методы решения линейных дифференциальных и разностных уравнений имеют очень много общего, хотя они в значительно большей степени освоены и разработаны для дифференциальных уравнений.

Наконец, отметим, что разностные уравнения можно решать методами, аналогичными преобразованию Лапласа для дифференциальных уравнений (см. 4.7). Если положить YX = Y0 во всем интервале 0<#< 1, то частное дискретное решение Yx(x = 0, 1, 2,...) превращается в частное непрерывное решение. Это решение становится в таком случае ступенчатой функцией непрерывной переменной:

Y(x) = Y0 (0<а<1); =УХ (1<я<2);...,

и можно' применить метод преобразования Лапласа [4]. Альтернативно для дискретного ряда Yx преобразование можно определить через суммы — аналогично интегралу преобразования Лапласа для функции непрерывной переменной. Простым преобразованием такого типа является функция женератриса (generating function)32:

со х=0

в которой коэффициенты при возрастающих степенях s образуют последовательность значений Yx. Решение разностных уравнений преобразованием Yx в У (я) очень похоже на преобразование Лапласа в случае дифференциальных уравнений (см. [5], особенно пример там на стр. 194).

<< | >>
Источник: Р. Аллен. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЭКОНОМИЯ. 1963

Еще по теме 5.8. НЕПРЕРЫВНЫЕ РЕШЕНИЯ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ:

  1. 1.3. ПРОСТАЯ НЕПРЕРЫВНАЯ МОДЕЛЬ
  2. 1.4. ОБЩИЕ СВОЙСТВА МОДЕЛЕЙ
  3. 2.7. МОДЕЛЬ С ДИНАМИЧЕСКИМ МУЛЬТИПЛИКАТОРОМ
  4. 3.4. МОДЕЛЬ МУЛЬТИПЛИКАТОРА ФИЛЛИПСА
  5. 3.9. РАСПРЕДЕЛЕННЫЕ КАПИТАЛОВЛОЖЕНИЯ. ДИСКРЕТНЫЙ И НЕПРЕРЫВНЫЙ АНАЛИЗ
  6. 4.1, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
  7. 4.3. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
  8. ГЛАВА 5 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ. ЛИНЕЙНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
  9. 5.1. РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
  10. 5.2. ДИСКРЕТНОЕ РЕШЕНИЕ РАЗНОСТНОГО УРАВНЕНИЯ* ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И СВОЙСТВА
  11. 5.3. ЛИНЕЙНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
  12. 5.4. ЛИНЕЙНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА
  13. 5.5. ЛИНЕЙНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЩЕГО ВИДА
  14. 5.8. НЕПРЕРЫВНЫЕ РЕШЕНИЯ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ
  15. 6.2. ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ ПРОСТОЙ МОДЕЛИ
  16. 7.5. РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНОГО УРАВНЕНИЯ