<<
>>

1.4. ОБЩИЕ СВОЙСТВА МОДЕЛЕЙ

Рассмотренные в разделах 1.2 и 1.3 паутинообразная и непрерывная модели очень просты и хорошо известны. Они являются частично динамическими, так как устанавливают соотношение на рынке только одного товара и учитывают лишь цену его одного, а не цены других товаров и доходы.
Тем не менее они содержат основные формулировки динамики и позволяют вскрыть некоторые важнейшие свойства, общие для всех динамических моделей. Позднее, при показе методов построения более сложных динамических моделей, мы исследуем эти свойства подробнее. Нижеследующие соображения относятся специально лишь к паутинообразной (дискретной) модели в разделе 1.2. Отдельное замечание посвящено и непрерывной модели, рассмотренной в разделе 1.3. 1.

Модель предполагает некоторые функциональные соотношения. В данном случае это — рыночный спрос покупателей и предложение продавцов. Каждое из них представляет собой функцию цены. Эти функции являются по существу построениями на основе прошлого или ожиданий (ех ante). Цена либо дана извне покупателям и продавцам, либо она предугадывается ими. Спрос предстает как планируемая или предполагаемая величина покупок, предложение — как планируемая или предполагаемая величина продаж, причем все эти предположения приурочиваются к началу промежутка времени t. Продавцы ожидают, что цена будет такой же, как и в предшествующий период Pt_i и соответственно предполагают продать St~S (Pt_х). Покупатели считаются лишь с фактической ценой и в соответствии с этим планируют свои покупки в размере Dt~D{Pt). 2.

Форма функции также задана. Задачу можем упростить, рассматривая частный случай при определенной форме функции (например, линейной D=a+аР)ч либо же взяв приближение к данной форме функции (например, линейную аппроксимацию в ограниченной области около точки равновесия). Это можно осуществить с помощью разложения в ряд Тейлора функции спроса с малой разностью Р—Р:

D (Р) = D (Р) + D' (Р) (Р-Р) = а + аР.

Принятая в задаче линейная (или любая другая) форма должна быть подходящей и представлять собой или хорошую аппроксимацию, или удобное упрощение.

Так, коэффициент, обозначенный выше через а, может быть либо коэффициентом при Р в линейной функции спроса, либо наклоном кривой спроса в точке равновесия. В последнем случае он может приближенно отражать малые вариации Р вокруг Р. 3.

Необходимо точно определить условия, при которых действует модель. Это предполагает переход от ожидаемых и планируемых величин на основе прошлого (ex ante) к реализованным фактически (expost). Необходимо точно определить специфическую нрироду связей между фактическими значениями переменных и механизм перехода предполагаемых величин в фактические. В рассматриваемой модели с движением данного товара на одном рынке фактически сложившиеся отношения характеризуются равенством покупок и продаж (Xt, по определению). Далее, в рассматриваемом случае переход от ожидаемых величин к фактическим осуществляется «методом равновесия», где цена и является «уравновешивающей» переменной. В начале периода t продавцы ожидают, что цена будет Pt_ 19 и предлагают для продажи продукцию St. Изменение запасов не предусматривается (хотя возможно, что товар является скоропортящимся), так что предложение должно быть равна Xt (продажи = покупкам). В процессе установления рыночного равновесия спрос, следовательно, становится равным предложению (= продажам = покупкам), так как цена достигает такого уровня, при котором предложение полностью поглощается. Все экономические ожидания реализуются. Исключение составляет лишь цена Pt_ которую ожидали продавцы. Она не совпадает с реализуемой ценой Pt, управляющей рынком в данном периоде.

С помощью очень небольшой модификации этой дискретной модели можно совершенно изменить условия ее действия, введя ступенчатую функцию (метод последовательного нарушения равновесия). В момент t—1 производители выпускают количество товаров, соответствующее доминирующей в этот момент цене Pt_x. В конце периода эту массу товаров приобретают торговцы, так что ее можно продать в течение следующего периода t (как St). В начале периода t на основе всех известных в тот момент данных торговцы устанавливают продажные цены Pt.

Покупатели тогда решают, сколько они купят по этим ценам (Dt). В модели (см. 1.2) предполагается, что торговцы угадывают всегда правильно и устанавливают цены на таком уровне., при котором они могут сбыть весь запас товаров:

St =Dt = объему покупок-продаж.

В модели необходимо предусмотреть и варьирование в качестве меры предосторожности против неправильных предугадываний цен торговцами. Пусть установленная ими цена Pt такова, что Dt превосходит количество продаваемых товаров St. При наличии торговых запасов спрос (равный покупкам- продажам) можно покрыть за счет их уменьшения. Тогда предполагавшееся предложение St будет меньше фактических продаж и разницу придется покрыть за счет запасов. В результате покупатели реализуют свои планы (предположенный спрос = фактическим покупкам), но продавцам придется произвести неожиданные изъятия запасов. С другой стороны, если отсутствуют или малы запасы (например, скоропортящихся товаров), то спрос не удастся удовлетворить, и его вынужденное сокращение потребует ограничения потребления или других подобных мер. Тогда предполагаемый спрос будет урезан до величины фактических покупок, и у покупателей возникнут незапланированные сбережения, продавцы же реализуют свои планы. В большинстве моделей обычно принимается, что планы покупок реализуются (ожидаемый спрос равен фактическим закупкам), а возможный «разрыв» компенсируется вложениями. Такое предположение может быть разумным или удобным, но, как показывает приведенный пример, оно, конечно, не необходимо (см. также [5]).

4. Условие действия модели, удовлетворяемое в фактических рыночных отношениях, записывается в виде уравнения с соответствующей переменной. В данном случае цена является такой уравновешивающей переменной. Задача заключается в том, чтобы избавиться от остальных переменных (Z>t, St и обычно фактического значения Xt) и сосредоточить наибольшее внимание на одной (Pt). Остальные переменные (например, Xt) можно найти, коль скоро определена важнейшая переменная (Pt). Уравнение паутинообразной модели является простейшей формой разностного уравнения с одноинтервалъ- ным запаздыванием (Pt и Pt_l явно входят в уравнение). Ищется решение этого уравнения. В случае равновесия без запаздывания вопрос сводится к нахождению одного или нескольких значение Р, совместных с условиями равновесия. При наличии запаздывания в конечно-разностном уравнении решение предполагает, что заданы и определены какие-то начальные значения или условия, в данном случае начальная цена Р0. Уравнение характеризует действие модели в каждый промежуток времени, но результат на протяжении времени, взятого в целом, зависит от существовавшей начальной конфигурации, подобно тому как опущенная в автомат монета приводит его в действие. Модель может «стартовать» лишь из какого-то исходного положения. Экономически это означает, что изменение цены во времени можно опреде- лить, лишь зная начальное нарушение равновесия или отклонение ее от положения равновесия. Тот факт, что в данном примере требуется знать лишь одно начальное значение, является случайным. Он представляет собой результат существования только одноинтервального запаздывания, того, что соответствующее конечно-разностное уравнение будет первого порядка. При многократном или распределенном запаздывании конечно- разностное уравнение будет иметь более высокий порядок и потребуется знать не одно, а несколько начальных значений.

5. Решение разностных уравнений является делом математики. Решение упрощается тем, что в данном случае, как и во многих других, модель этого типа, описанная Валдом [14], является рекурсивной. Это значит, что если даны все переменные до (?—1), то модель обеспечивает и получение одного за другим значений переменных для интервала t. В рассматриваемом случае при заданных Рг_г получается сначала Xt=St, а затем и Рг

Однако относительно решения можно сделать некоторые общие замечания. Они не только полезны с математической точки зрения, но имеют и экономический смысл. Первым всегда возникает следующий вопрос: существует ли положение равновесия, совместное с уравнением? Ответ дается подстановкой в уравнение Pt—P для всех t. В данном случае такое Р существует, и это есть статический уровень. В других случаях такое Р может не существовать. Применяется и другой искусственный прием: определив Р, проследить не изменение первоначальной величины Pt, а ее отклонения от положения равновесия, pt=Pt—Р- Это имеет экономический смысл, так как интерес представляет именно отклонение от положения равновесия. Математически наилучший способ такого переключения сводится к вычитанию уравнения, характеризующего точку Р, из уравнения, выражающего Pt\ например» в разделе 1.2 уравнение (3) вычитается из уравнения (2).

Модель со всей очевидностью показывает, что статика и динамика не отгорожены друг от друга водонепроницаемой стеной. Динамическая модель типа паутинной рассматривает движения вокруг положения равновесия или отклонения от него. Заметим, однако, что устойчивое существование положения равновесия (то есть раз достигнутое, оно сохраняется постоянно), совместного с моделью, вовсе не предполагает, что за всяким отклонением (5удет следовать возвращение в исходное статическое положение. Движение может удаляться от исходного статического положения или быть направленным к какому-то иному, отличному от исходного. И, наоборот, вопрос об «устойчивости» положения равновесия в статическом случае должен и может рассматриваться лишь с точки зрения динамической модели. Положение равновесия устойчиво, если начальное возмущение порождает возвратное динамическое движение к положению равновесия, а не в сторону от него и не к какому-либо другому положению. К этому вопросу мы вновь вернемся (см. 1.8).

Рассмотренная в разделе 1.3 непрерывная модель имеет в общем те же свойства, отличаясь главным образом в акцентировании или в деталях. Функции модели представляют спрос и предложение в зависимости от цены и скорости изменения последней. Предположения и планы покупателей и продавцов представляются непрерывно приспосабливающимися во времени к движению цен. Как и в предыдущем случае, эти ожидания должны представлять собой звенья одной цепи, чтобы быть совместными. Выражающая соотношение ожидаемых величин спроса и предложения модель действует опять-таки по методу приближения к положению равновесия. Рыночные силы непрерывно изменяют цены так, чтобы предложение было полностью реализовано. Цена является переменной, обеспечивающей равновесие, изменяющейся от одного момента к другому для поддержания равенства спроса и предложения, являясь общей для покупок и продаж (потоков в соответствующий момент времени). Основное различие заключается в интерпретации модели с точки зрения решений покупателей и продавцов. В дискретном анализе единицей времени был выбран интервал принятия решений или пересмотра планов, характерной чертой было различие между ожиданиями (намерениями) и их осуществлением (реализациями). Все это в общем исчезает в непрерывной модели, так как предполагается, что принятие- решений, пересмотр их и приспособление к изменившейся обстановке происходят непрерывно. Однако многие свойства дискретной модели можно ввести и в непрерывную, например запаздывания или изменения запасов.

С математической точки зрения непрерывная модель ведет к дифференциальному уравнению относительно какой-либо переменной [в данном случае <Р(?)К а не к конечно-разностному. В общем техника решения примерна одинакова, а существенные различия имеются лишь в деталях. Например, решение уравнений из раздела 1.3 включает показательную функцию ect вместо функции с1 уравнений, приведенных в разделе 1.2. Поэтому решение, полученное из непрерывной модели, охватывает меньшее количество различных случаев. В последующих главах будет рассмотрена техника решения копечно-разностных и дифференциальных уравнений, так как и дискретный и непрерывный анализ применим к решению экономических проблем различного типа.

<< | >>
Источник: Р. Аллен. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЭКОНОМИЯ. 1963

Еще по теме 1.4. ОБЩИЕ СВОЙСТВА МОДЕЛЕЙ:

  1. 1.4. ОБЩИЕ СВОЙСТВА МОДЕЛЕЙ
  2. 2.3. ОБЩЕЕ РАВНОВЕСИЕ. МОДЕЛЬ МОДИЛЬЯНИ
  3. 14.7. ОБЩИЙ СЛУЧАЙ ИГРЫ ДВУХ^УЧАСТНИКОВ НУЛЕВОЙ СУММОЙ
  4. 16.9. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ; МОДЕЛЬ РОСТА НЕЙМАНА
  5. 2.3. Линейная регрессионная модель с двумя переменными
  6. 11.5. GARCH модели
  7. Модели множественного выбора
  8. 8.1. Статистическая модель процесса
  9. 1.7. Обзор существующих моделей и состояния работ в области оперативно-календарного планирования
  10. К вопросу об общих и частных свойствах нервной системы[36]
  11. 2.2.2.1. Определение и общие свойства внимания.
  12. КОМПЛЕКСНЫЕ И МНОГОФАКТОРНЫЕ МОДЕЛИ РУДНЫХ МЕСТОРОЖДЕНИЙ