<<
>>

4.2. ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ; НАЧАЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ II ПРОИЗВОЛЬНЫЕ ПОСТОЯННЫЕ

Решение дифференциальных уравнений по существу является делом практики. Нужно найти тем или другим способом, случайно или путем проб, функцию, которая удовлетворяет данному уравнению.
Мы допускаем, что такая функция и такое решение существуют. Этим мы избегаем сложных вопросов о том, имеется ли какая-либо функция определенного типа (алгебраическая, тригонометрическая и т. д.), удовлетворяющая уравнению. Если практическая попытка не удается, то это может быть либо потому, что мы недостаточно далеко продвинулись по намеченному пути, либо потому, что нельзя найти решения.

Практические руководящие принципы могут быть сформулированы совсем просто. Первый из них представляет собой общую теорему об обыкно- венных дифференциальных уравнениях. Она приводится здесь с некоторыми пояснениями, но без формального доказательства.

Общее решение обыкновенного дифференциального уравнения порядка п дает У в виде функции х, включающей точно п произвольных постоянных:

Y — Y (#; А^, ..., Ап).

Следующее соображение приводит к этому правдоподобному результату- Произвольную постоянную всегда можно исключить путем дифференцирования. Таким образом, если функция содержит две произвольные постоянные, то первое дифференцирование исключает одну постоянную, а второе — другую. Решение дифференциального уравнения есть процесс, обратный процессу дифференцирования, и потому снова появляются произвольные постоянные.

Приведенная теорема относится к общему решению уравнения. Но существует большое разнообразие частных решений какого-либо данного уравнения. Смысл теоремы в том, что все частные решения включены в общее; каждое из них соответствует некоторым определенным значениям постоянных

А2, Ап. Не существует решений вне частных случаев общего решения. Частные решения получаются путем установления точного значения постоянных, которые определяются в соответствии с начальными условиями.

Другой основной результат составляют правила (свойства), относящиеся к линейному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами.

Неоднородная форма такого уравнения и-го порядка следующая:

а0 + а1 *SFT + • • . + *п-1 -te+anY = f{z), (1)

и соответствующее ему однородное линейное ^уравнение имеет вид

dny , dn'xy dy . А

Правило I. Если однородное уравнение (2) имеет решения у=^ух(х) II у = у2(х), ТО y — yi(x) + y2(x) есть также его решение.

Правило II. Если однородное уравнение (2) имеет решение у = у(х)г то у = Ау(х) также представляет собой решение с какой-либо постоянной А.

Правило III. Если Y = Y (х) есть какое-либо частное решение любого общего уравнения (1) и если у = у (х\ Аг, А2, ..., Ап) есть общее решение соответствующего однородного уравнения формы (2), то общее решение (1) есть

Y = Y{x) + y(x-A1 4., ...,Ап).

Доказательство этих свойств очень простое. Докажем только последнее свойство.

Рассмотрим линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами:

dny dn-iy

+ ...+anY = f(x).

Пусть найдено какое-нибудь решение Y (х) неоднородного уравнения, не^ содержащее произвольных постоянных. Докажем, что любое другое решение У (я) этого уравнения можно представить в виде суммы У (х) и некоторого частного решения соответствующего однородного уравнения (2).

В самом деле, так как У и У —решения уравнения (1), мы можем напи

сать

dnY dn~xY

7*

99

dny d^-iy , , ~ ,, .

ІЗведем разность y = Y — Y. Вычитая из второго тождества первое, мы получаем Это значит, что разность у удовлетворяет соответствующему однородному уравнению и, следовательно, получается из его общего решения, если постоянным придать определенные значения.

Обратно, сумма какого-либо решения У неоднородного уравнения и любого решения у соответствующего однородного уравнения есть снова решение неоднородного уравнения, в чем легко убедиться, подставив сумму у + Y в левую часть неоднородного уравнения (1).' Из сказанного следует, что, беря сумму одного произвольного решения неоднородного уравнения (1) и всевозможных решений соответствующего однородного уравнения (2), мы получим все решения уравнения (1).

Всевозможные решения однородного уравнения (2) или его общее решение выражается формулой (3)

(4)

у = АіУі (х) + А2у2 (х) + ... + АпУп (х). Сумму У(х) и общее решение однородного уравнения (3)

Y(x) = Y (х) + АхУі (х) + А2у2 (*)+...+ АпУп (х) называют общим решением неоднородного уравнения. При этом Y{x) предста-' вляет собой частный интеграл или частное решение (1), а остальную часть (4) — линейную комбинацию с произвольными коэффициентами (то есть общее решение соответствующего однородного уравнения) — иногда называют дополнительной функцией. Мы указали выше, что в общем решении (4) содержатся все решения неоднородного уравнения (1). Если произвольным постоянным в общем решении придать определенные значения, мы получим так называемое частное решение уравнения (1).

Из вышеизложенного вытекает практическая процедура решения любого данного уравнения формы (1). Она состоит в отыскании сначала общего решения однородного уравнения (2) с помощью комбинации правил (I) и (II), а затем в прибавлении частного решения первоначального уравнения (1) для получения общего решения данного неоднородного. Часто предпочтительнее обратная процедура, и обычно она более подходит при решении дифференциальных уравнений, получающихся в экономических задачах. В этом случае практические этапы решения следующие. Данное уравнение (1) выражается в виде функции У (означающей, например, доход или выпуск продукции), подлежащей исследованию. Должны быть, во-первых, найдены некоторые частные решения У = Y(x). Какое-либо частное решение, наиболее подходящее с точки зрения экономического истолкования результата, будет представлять тенденцию или изменение положения равновесия У. Интерес обычно сосредоточивается на движении У по мере неопределенного возрастания х, например на изменении У во времени, если независимая переменная х есть время. В таком случае ищется частное решение У = У (я), которое описывало бы движение, совместное с данным уравнением (1), и которое являлось бы в некотором смысле нормой или значением равновесия.

Следующим шагом будет переход к у = У — У, где у есть отклонение от тенденции или значения равновесия. Из этого следует, что у должно удовлетворять однородному уравнению (2), когда мы подставляем У и У в (1), так как они оба являются решениями, и вычитаем. Последний этап состоит в получении общего решения однородного уравнения (2) в форме, указанной в (3). После этого получается решение, полное и одновременно легкое для истолкования. Отклонения У от У, обозначенные у, даются уравнением (3); переход обратно к первоначальным переменным дается решением (4). Из двух частей этого решения (4) одна представляет собой тенденцию или линию рав- новесия (частное решение), а другая — отклонение от тенденции или линии равновесия (дополнительная функция). Пример этой практической процедуры при решении экономической задачи нами уже был приведен [см. 3.3, уравнение (4)].

Некоторое затруднение возникает относительно произвольных постоянных, появляющихся в общем решении (4) в числе, равном порядку уравнения. Оно вытекает из того обстоятельства, что постоянные, будучи произвольными, могут появляться в разной оболочке. Общее решение может быть написано двумя или более способами, которые на первый взгляд кажутся различными и противоречивыми; на самом же деле они тождественны и различаются лишь в результате какого-нибудь преобразования. Та же трудность встречается, когда одно решение сначала написано с одним рядом произвольных постоянных, а затем — с другим. Это часто бывает удобно, но внешне видоизменяет характер решения.

Например, решение уравнения dY/dx = 1 /(ах + Ъ) есть У = (1 /а)Х ХІп(а# + &) плюс произвольная постоянная (см. 4.3). Это может быть записано различными способами, где постоянные, смотря по надобности, изменяют свой вид таким образом:

Y = ±ln(ax+b) + A, і

У = 1пЛ' (ах + &)а, где А = \пА',

1 -

У = i- In А" (ах + Ъ), где А' = (А"У.

Произвольной постоянной может быть по желанию А, А' или Л".

Наиболее обычный способ истолкования произвольных постоянных отправляется от начальных условий, налагаемых на У и его производные.

Каждой произвольной постоянной в этом случае может соответствовать одно начальное условие, которое и «определяет» постоянную. Дифференциальное уравнение первого порядка имеет общее решение в форме У = Y(x, А) с одной постоянной произвольной Л. Предположим, что уравнение подчинено единственному начальному условию У = У0, когда х = 0. Тогда

У(0, A)=Y0,

что определяет А через У0. И вместо уравнения У = Y(x, А) мы фактически получаем У = F(x, У0). Это есть обычная форма решения с постоянной У0 вместо А. Если дано У0 при х = 0, то дифференциальное уравнение определяет в таком случае значение dY/dx при х = 0, то есть начальное изменение У по сравнению с исходной величиной У0. Основная идея заключается в том, что решение должно «оттолкнуться» от точно определенной начальной величины.

Аналогично дифференциальное уравнение второго порядка имеет общее решение У = У (я, А1, А2). Пусть это уравнение подчинено двум начальным условиям, например,

Y==Yo и ? = Уо ПРИ

Подставляя затем эти значения в уравнение У = Y(x, Аг, А2), мы получаем два уравнения относительно А1 и А2. Из этих уравнений можно выразить Ах и А2 через У0 и У'0 и включить произвольные постоянные в решения: У = F(x, У0, yПример (а)

dY і ЛГ Л n

—г—— j—г при условии Y = 0 и х—0.

dx ах-\- b r J

1

Общее решение: У = — In (ах-\-Ь)-\-А (см.

4.3); при х=0

а

то есть

А= —— 1 пЬ. а

1 1 CLX I- Ь

Частное решение ость Y = — {la (ах + b) — In b} — — In —^— . Пример (б)

— а2у — 0 при условии у = у0 и при х=±0.

Общее решение: у^А^^-^-А^е'^ (см. 4.4, упражнение 1). Тогда

^- = а{Агеах- А2е~ах).

Начальные условия при г=0 в таком случае дают

УО = А1 + А2,

то есть А1 = А<І = ^-УО' Частное решение будет

. у=4уо(важ+в"ах)'

Здесь і/о может рассматриваться как произвольная величина; но решение все еще является частным, так как другая произвольная постоянная задана особым значением.

Задачи и упражнения 1.

Доказать правила (I), (II) и (III), приведенные в тексте. 2.

Рассмотреть решение (4) уравнения (1) как выражение изменения У около тенденции или положения равновесия У. Провести различие, при неопределенном возрастании х> между «взрывными» и «затухающими» изменениями и показать, что достаточно одного ут «взрывной» формы, чтобы У было «взрывным». Что можно сказать о случае «затухания»? Выразить это в виде понятия «доминирующего» члена среди уг (г = 1, 2, 3, ..., п). 3.

Дано неоднородное уравнение

d*Y dY "ST—

Доказать, что функции е~х и 1—суть линейно-независимые решения соответствующего однородного уравнения. Проверить, что У {х)=х3 есть частное решение данного неоднородного уравнения. Каким начальным условиям оно удовлетворяет при х=О? Найти частное решение У, при начальных условиях у(0) = 0; у' (0) = 2;у" (0) —0.

<< | >>
Источник: Р. Аллен. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЭКОНОМИЯ. 1963

Еще по теме 4.2. ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ; НАЧАЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ II ПРОИЗВОЛЬНЫЕ ПОСТОЯННЫЕ:

  1. Глава 14. Рассуждения, используемые в гуманитарных областях знания
  2. § 3. Неопрямые методы (модификация прямого метода)
  3. 2.1. Основные методы обучения праву
  4. IV. СИМВОЛИКА ВИДЕНИЙ 161
  5. 4.2. ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ; НАЧАЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ II ПРОИЗВОЛЬНЫЕ ПОСТОЯННЫЕ
  6. 4.5. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ПРОИЗВОЛЬНОГО ПОРЯДКА
  7. 5.2. ДИСКРЕТНОЕ РЕШЕНИЕ РАЗНОСТНОГО УРАВНЕНИЯ* ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И СВОЙСТВА
  8. 5.7. ОТСТАВАНИЯ, РАСПРЕДЕЛЕННЫЕ ЗАПАЗДЫВАНИЯ И МУЛЬТИПЛИКАТОР-АКСЕЛЕРАТОР
  9. 6.6. КОЛЕБАНИЯ НЕЗАВИСИМЫХ КАПИТАЛОВЛОЖЕНИЙ
  10. ПРИЛОЖЕНИЕ В РЕШЕНИЯ И УКАЗАНИЯ К ЗАДАЧАМ И УПРАЖНЕНИЯМ 1.2