<<
>>

5.7. ОТСТАВАНИЯ, РАСПРЕДЕЛЕННЫЕ ЗАПАЗДЫВАНИЯ И МУЛЬТИПЛИКАТОР-АКСЕЛЕРАТОР

Непрерывное запаздывание имеет то преимущество, что для частных случаев его временной формы / (т) (например, единичные и многократные запаздывания показательной формы) оно может быть описано дифференциальным уравнением типа (3) из раздела 4.8, имеющим небольшой порядок и легко разрешимым.
Его же недостатком является то, что с его помощью трудно оперировать с «реалистическими» или в действительности имеющими место запаздываниями временной форхмы. Для распределенного запаздывания в дискретном анализе все обстоит наоборот (см. 3.9). Это запаздывание легко ввести в любой форме, как это было сделано, например, в разделе 3.7, в модели мультипликатора-акселератора.

Кроме того, результат изменения формы этого запаздывания легко увидеть (благодаря соответствующим коэффициентам) в решении модели, включающей в себя запаздывание. Но, с другой стороны, использование широко распределенных и, следовательно, «реалистических» запаздываний (таких, как на рис. 9, но в дискретном виде) очень часто приводит к разностным уравнениям высокого порядка, которые трудно решить и истолковать.

Простейшим видом запаздывания является отставание, то есть единственное запаздывание в 0 единиц, или периодов времени, причем 0 путем соответствующего выбора единицы времени часто можно сделать равным 1. Отставание можно применить одинаково и в дискретном и в непрерывном анализе. В дискретном анализе это очень просто; отставание является особым случаем распределенного запаздывания, когда мы берем только первый член. Так, функция потребления в модели мультипликатора Ct = C (У^) означает отставание в один период, что является особым случаем распределенного запаздывания Ct = C (Yt_l9 Yt_2, Yt 3, ...). В непрерывном анализе формальное введение отставания в 0 единиц времени означает только замену в соответствующих функциях и отношениях t на (t — 0); однако этот простой шаг «сжимает» (gum up) весь процесс.

В результате обычно получается не дифференциальное, а смешанное дифференциально-разностное уравнение (дифференциальное уравнение с запаздывающим аргументом). Например, модель мультипликатора-акселератора (без независимых затрат) при отсутствии запаздывания описывается следующим дифференциальным уравнением:

или

dY __ 1-е у dt v '

то есть уравнением Харрода —Домара. Если же ввести отставание на единицу времени в соотношения и потребления и инвестиций, то мы получим смешанное дифференциально-разностное уравнение:

Y(t) = cY(t-i) + v-^Y(t-l),

или

Ау(г_1) = ±{у(0_су

Отставания могут быть введены и в непрерывный анализ, но они ведут к существенным трудностям (см. гл. 7 и 8). Рассмотрим синусоидальную переменную с затуханием а и частотой со, определяемую комплексной переменной z = Aeieevt(p = а + ісо). В этом случае Dnz = pnz (D — СИМВОЛ оператора) является аналогичным синусоидальным изменением (см. 4.9). Введем теперь переменную с отставанием u(t) — z(t — 0):

и (t) = AeieevV-*) = e~^z (t).

Влияние члена проявляется в смягчении амплитуды и задержке фазы переменной z:

и (t) = Аеіее-а*е~шері = (Ае~а0) ^(Є-ЮЄ)^',

где амплитуда смягчена множителем е-00, и фаза є уменьшена слагаемым (—(00). Однако по-прежнему u(t) остается синусоидальной переменной с тем же затуханием и частотой, что и z(t); при этом член ept остается неизменным. Это же справедливо для Dnu — рпи = pne~^z.

В общем случае распределенное запаздывание в дискретном анализе в развернутом виде можно проиллюстрировать на модели мультипликатора-акселератора. В данном случае:

Ct = ?lYt-l + C2Yt-2 + C3Yt-3+ • • гДе с = с1+са + с8+. . Л = уі(У«-і-уг-2) + ^2(Уі_2-Уг_з)+..., где и=иг + иг+... .

Первое соотношение характеризует потребление (мультипликатор), а второе—капиталовложения (акселератор) при условии Yt = Ct + It + At (^ — независимые затраты).

161

11 Р. Аллеи

В распределенном запаздывании потребления коэффициенты с19 с2, с3, ... могут принимать любые значения при единственном ограничении, что в сумме они дают общую предельную склонность к потреблению с31.

Форма запаздывания может как угодно варьировать, но в любом случае оно описывается этими коэффициентами. Например, совсем не обязательно, чтобы с19 с29 с39 ... уменьшались в геометрической прогрессии, что соответствовало бы распре- деленному запаздыванию в форме показательной функции в непрерывном анализе. Аналогичные замечания можно сделать и в отношении запаздывания инвестиций. Когда учитывающие запаздывания выражения для Ct и It подставляются в условие модели (Yt = Ct + It + At), то получающееся в результате разностное уравнение решается относительно Yt, и можно увидеть влияние коэффициентов запаздываний (отдельных ст и vk) на! решение. В модели мультипликатора-акселератора важнее запаздывание инвестиций; мы уже рассматривали предварительно этот вопрос ранее, в разделах 3.7—3.9, но в более общем виде мы исследуем эту проблему в главе 6.

Между тем, и причина этого очевидна, влияние запаздывания потребления можно легко проследить на простой модели мультипликатора (см. 2.7), то есть модели мультипликатора-акселератора, в которой It = 0. Эту модель можно описать разностным уравнением:

Yt = Ct+At, где Ct = c1Yt_1 + c2Yt_2 + c3Yt_3+... .

Если рассматривать только единственное запаздывание (отставание) Ct = cYt_x и At считать постоянной величиной, то вышеприведенное уравнение превращается в уравнение:

решением которого является

Уі = У*% (yt = Yt-Y,Y=

Соответствующее уравнение с запаздыванием, распределенным на два периода (на два временнйх промежутка), будет линейным разностным уравнением второго порядка:

Yt — c2Yt_2 = А.

В данном случае частное решение Y — , так что, вводя новую переменную yt = Yt — Y, получаем однородное уравнение:

Так как с = с1 + с2, положим с1 — с — с2 и напишем уравнение:

Уе - (с - с2) У 1-і - c2yt_2 = 0, (1)

решением которого является:

уг = А±Х[ + А2№2 (Аг и А2 — произво,льные постоянные), (2)

где и —корни характеристического уравнения

Х2-(с-С2)Я-С2 = 0. (3)

Если значения коэффициентов ст установлены и начальные значения у0 и ух заданы, то можно найти численное решение уравнения (1).

3 1 11

Приведем пример. Пусть с = — , С2 = ~, то есть Ct = — Yt.2- Характе-

11 1 г—

ристическое уравнение (3): X2 — Я,—. — = 0 с корнями К=— (1 -j-y 5) = 0,809 и =

= ~(1 —/5)=—0,309. Решение уравнения (2): yt = ^(0,809)'+( — 0,309)Если

Уо = 0 и ух= 1, то, подставляя t = 0 и ^ = 1, получаем ^ = 0,895 и А2 = —0,895, и решение принимает вид:

уt = 0,895 (0,809)' — 0,895 (-0,309)'.

Первый член доминирует, а второй—быстро исчезает, и, следовательно, yt—>0 через положительные значения.

Вообще проблема состоит в том, чтобы определить и Х2 из (3), каковы бы ни были величины коэффициентов с и с2 в запаздывании потреб- ления. Эти корни кг и К2 таковы:

V К = у (С "" С2 ± У(С — +

Относительно коэффициентов потребления обычно предполагается, что 0<с2<с<1, так как все коэффициенты (clt с2 и с = сг + с2) принимаются за положительные правильные дроби. Следовательно, корни и ^ — вещественные; один из них (Хг) положительный, а другой (А,2) — отрицательный, причем по абсолютной величине положительный корень больше. Для более точного определения корней находим изменение знака /(А,) = І2 —

— (с — с2) А,— с2, в зависимости от изменения К. Подстановкой получаем: }

Я = -1 — с2 Осі

f(l)=i + c-2c2 -c2(i-c) -с, — с2(1 —с) 1-е

-г^е — — ve —1)6 -\-ve

Это иллюстрируется графиком f(K) на рис. 10.

Как видно из графика, положительный корень лежит между с и 1, а отрицательный %2 между —1 и —с2. Больший по абсолютной величине корець является положительной, а корень Х2—отрицательной дробью. Теперь мы можем сделать вывод, что, каково бы ни было действительное значение с и с2 (0<с2<с<1), решение относительно yt, данное в (2), содержит преобладающий член АгХ[, который монотонно (steadily) сходится к нулю. Второй член А2Ц ВНОСИТ В решение знакочер еду ющийся исчез аю - щий элемент.

Необходимо отметить несколько крайних случаев. Сперва мы рассмотрим величину общей^предельной склонности к потреблению с. Если с мало (следовательно, также и^и с2),то в этом случае график /(X) на рис. 10 только чуть-чуть опускается ниже 0; следовательно, и и Х2 малы, и yt быстро сходится к нулю. Если с велико, то точка В на кривой поднимается только немного выше 0; следовательно, доминирующий корень Кг близок к 1, и yt сходится к нулю медленно. Таким образом, сходимость yt к нулю тем медленнее, чем больше величина с или чем меньше величина 5=1 — с = предельной склонности к сбережению. При данном с решающую роль начинает играть с2 (которое устанавливает распределение запаздывания); оно воздействует на сходимость yt через второй (отрицательный) корень Если с2 мало, то в этом случае точка А на кривой значительно выше 0 и (— Я2) мало; знакочередующийся член в решении исчезает быстро. Если с2 велико, то А только чуть выше 0 и (—Я2) близко к 1; знакочередующийся член, так же как и доминирующий, уменьшается медленно. Может быть очень широкое распределение запаздывания, и запаздывание в среднем будет велико, когда велико значение с2. Следовательно, сходимость тем медленнее, чем больше среднее запаздывание.

В общем случае запаздывания, распределенного на п периодов или единиц времени, разностное уравнение имеет вид:

Yt - + -І- • • • + cnYt_n) = А,

где все сг и с = с1 + с2 + ... + сп — положительные правильные дроби. Частное решение этого уравнения опять-таки , и при yt = Yt — Y

разностное уравнение сводится к однородному уравнению:

У t = сіУг-і + с2Уі-2 + • • • + общим дискретным решением которого является:

В данном случае Я2, ..., Хп представляют п корней характеристического уравнения:

/(X) = Хп— с- с2Хп~* — ... — сп = О,

а Аг, А2, — произвольные постоянные, частное значение которых

определяется начальными условиями.

Характеристическое уравнение должно иметь положительный вещественный корень (Xj), величина которого лежит между с и 1, Подставляя Х = с и Х = і в f(X), получаем:

f(c) = cn - Cicn-* - с2сп~* - ... - сп = с»"* (с - Cl) - «у:»-» - ... - cn = = с2сп-* (с - 1) + с8сп-8 (с*-1)+я..+сп (с»"1 - 1) < О, так как с — сх = с2 + с3 + ... -f сп и с < 1;

/(1) = 1 — — с2 — ... — cn = 1 — с > 0, так как с<1.

Следовательно, f(x) изменяет знак в промежутке 1= си1= 1,ив нем лежит корень характеристического уравнения Можно также показать, хотя это и несколько затруднительно [6], что Хг является единственным положительным корнем и имеет самую большую абсолютную величину. Из остальных (п — 1) корней некоторые могут быть вещественными отрицательными, а другие — попарно сопряженными комплексными. Для отрицательного корня | Xk \ < Если решение будет содержать и сопряженные комплексные корни r(cos0 ± sin0), то абсолютная величина г должна быть меньше Следовательно, ^ — доминирующий корень, и доминирующим членом в yt будет АхХ[. Так как с < Хг < 1, то yt сходится к нулю; скорость этой сходимости зависит прежде всего от абсолютной величины и вообще сходимость тем медленнее, чем больше величина с.

Хотя член АгХ\ и доминирует в yv интересно рассмотреть и другие члены. Поскольку Лд, ..., Хп имеют отрицательные или сопряженные комплексные значения, то эти члены вызывают знакочередования или колебания в yt или и то и другое. Следовательно, вообще yt сходится к нулю, а У, к Г, но с чередованиями знака и с колебаниями, налагающимися на основное движение. Эти дополнительные движения замедляют или ускоряют сходимость. Как показал Солоу [9], в данном случае важно, в противоположность общей предельной склонности к потреблению с, именно распределение запаздываний, задаваемых сх: с2\ ...: сп. Вообще при прочих равных условиях скорость сходимости Yt к Y тем медленнее, чем больше среднее запаздывание и дисперсия коэффициентов ck(k = 1, 2, ..., п) в распределенном запаздывании.

Задачи и упражнения 1.

Исследовать модель мультипликатора с запаздыванием, распределенным на два периода при с1 = 0. Чем будет отличаться решение этой модели от решения модели с единственным запаздыванием? 2.

В модели мультипликатора с запаздыванием, распределенным на два периода, с —> 1 и сх и с2 являются положительными дробями. Исследовать, в какой форме выражается решение относительно yt. Что в данном случае можно сказать о сбережениях (предполагаемых и фактических)? 3.

Пусть в решении для уь данном в (2), начальные величины будут: при г = 0 yt — y0 и yt — y1 при t = 1. Показать, что

л — + _ л _ ХіУо — Уі

— Ї Л И - .

Л^ — Л2 л1 — л2

Как влияют на характер движения yt знаки и абсолютные величины у0 и у J

<< | >>
Источник: Р. Аллен. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЭКОНОМИЯ. 1963

Еще по теме 5.7. ОТСТАВАНИЯ, РАСПРЕДЕЛЕННЫЕ ЗАПАЗДЫВАНИЯ И МУЛЬТИПЛИКАТОР-АКСЕЛЕРАТОР:

  1. 3.5. МОДЕЛЬ ФИЛЛИПСА С МУЛЬТИПЛИКАТОРОМ-АКСЕЛЕРАТОРОМ
  2. 3.7. МОДЕЛЬ САМУЭЛЬСОНА — ХИКСА, ВКЛЮЧАЮЩАЯ МУЛЬТИПЛИКАТОР И АКСЕЛЕРАТОР
  3. 6.1. ПРОСТАЯ МОДЕЛЬ МУЛЬТИПЛИКАТОРА-АКСЕЛЕРАТОРА С КОНЦЕНТРИРОВАННЫМИ КАПИТАЛОВЛОЖЕНИЯМИ
  4. 1.9. ЗАПАЗДЫВАНИЯ В ДИНАМИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ
  5. 3.2. АКСЕЛЕРАТОР
  6. 3.4. МОДЕЛЬ МУЛЬТИПЛИКАТОРА ФИЛЛИПСА
  7. 2.7. МОДЕЛЬ С ДИНАМИЧЕСКИМ МУЛЬТИПЛИКАТОРОМ
  8. 2.6. СТАТИЧЕСКИЙ МУЛЬТИПЛИКАТОР
  9. ГЛАВА 2 КЕЙНС И КЛАССИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ: МУЛЬТИПЛИКАТОР
  10. 6.1. Поведение серы6.1.1. Распределение серы между фазамн. Опыт работы установки РОМЕЛТ показал, что распределение серы между продуктами плавки существенно отличается от традиционной восстановительной плавки в доменной печи: Продукты плавка
  11. 6.7. БОЛЕЕ ОБЩАЯ МОДЕЛЬ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ КАПИТАЛОВЛОЖЕНИЯМИ
  12. 3.9. РАСПРЕДЕЛЕННЫЕ КАПИТАЛОВЛОЖЕНИЯ. ДИСКРЕТНЫЙ И НЕПРЕРЫВНЫЙ АНАЛИЗ