1.2. ПАУТИНООБРАЗНАЯ МОДЕЛЬ

D = D (Р),

S = S(P).

Для существования равновесия цена должна быть такой, чтобы товар на рынке был распродан, или

D(P) = S(P).

Цена равновесия Р задается этим уравнением (которое может иметь множество f решений), а соответствующий объем покупок-продаж, обозначаемый через X, — следующим уравнением:

X = D(P) = S(P).

Динамическая модель получается при наличии запаздывания спроса или предложения.

Dt = D(Pt) и St-SiPt.J.

Это может случиться, если для производства рассматриваемого товара требуется определенный период времени, выбрагнный за интервал. Действие модели таково: при заданном Рг_г предшествующего периода объем предложения на рынке в текущем периоде будет S(Pt_1)t и величина Pt должна установиться так, чтобы был куплен весь объем предложенного товара. Иными словами, Pt и объем покупок-продаж Xt характеризуются уравнением

Xt = D(Pt) = S(Pt_

Итак, зная исходную цену Р0, с помощью этих уравнений мы можем получить значения Р± и Х±. Затем, используя имеющуюся цену Р1У из соответствующих уравнений получим значения Р2 и Х2, и т. д. В общем изменение Pt характеризуется разностным уравнением первого порядка (одно- интервальное отставание):

D(Pt) = S(Pt.1).

Решение можно проиллюстрировать диаграммой, представленной на рис. 1, где D и S — соответственно кривые спроса и предложения, а положение равновесия (со значениями Р и X) соответствует точке их пересечения Q. В динамической модели D имеет тот же смысл, что и в статической, но ордината кривой S показывает объем предложения в данный период времени в зависимости от цен, управлявших рынком в предшествующий момент времени. Цена в начальный момент времени равна Р0.

X

от точки Qt к точке на кривой дающей Х2, а затем по горизонтаіли— к точке Q2 на кривой D. Последняя точка характеризует Р2. Продолжение этого процесса и дает график паутины, показанный на рис. 1. Цены и объемы (покупок-продаж) в последовательные периоды времени являются соответственно координатами точек Ql9 Q2, (?3, ... на кривой спроса D. В рассматриваемом случае последовательность точек стремится к Q. При этом точки поочередно располагаются на левой и правой стороне от Q. Следовательно, и значения цены Pt стремятся к Р, располагаясь поочередно по обе стороны от Р. Точно так же обстоит дело и с объемами покупок- продаж (Xf). Предположим, что D идет вниз, a S — вверх. Тогда интуитивно ясно, что движение с затухающими колебаниями возникнет, если кривая D в точке равновесия Q опускается к оси абсцисс ОР круче (под большим углом), чем кривая S. Взрывное колебательное движение возникает в случае, когда кривая D менее крута по отношению к ОР9 чем S (угол наклона кривой D к оси ОР меньше угла наклона S). При равных углах наклона D и S возникают регулярные колебания, то есть незатухающие и невзрывные7.

Решение можно получить алгебраически для случая линейных функций спроса и предложения: D = а + аР9 S = Р + ЪР. Значения равновесия Р и X будут заданы уравнениями

то есть

Р = ?=Ё,Х = ^(1)

о — а Ъ — а 4 '

Дискретная динамическая модель задается уравнением

= а + = (2)

Ищем сначала решение, дающее равновесие. Для этого положим Pt — P и 1( = Х для всех значений t:

Х = а + яР==р+ЙР. (3)

Получаем те же значения Р и X, что и в (1). Следовательно, если в каком- либо периоде существовали цены и объемы, обеспечивавшие равновесие, то в динамической модели (2) они сохранятся и в последующих периодах.

хІ = aPt ^ ^Pt-i- (4)

Уравнения (4) аналогичны (2), за исключением того, что они описывают отклонения от уровней равновесия (теперь уже известно, что таковые существуют). Оба эти уравнения являются разностными уравнениями первого порядка. Положим c—b/а и подставим его в уравнение (4), так что разностное уравнение относительно pt будет

Pt = cPt~ і-

При данном значении р0 в момент t ~ 0 решение легко получается путем итерации:

или

Рі = Р + (Р,-Р)С*.

Объемы покупок-продаж в каждый период определяются из уравнения (4).

.Обычно кривая спроса идет вниз (а < 0), а кривая предложения — вверх (Ъ > 0), то есть с — bja < 0. В этом случае положим г — | с | = Ь/( — а)у так что г будет положительно. Тогда

Pt^Poi-iyr1

и последовательные значения pt при ^ = 0, 1, 2, 3, ... будут соответственно

/V А/2» -Рог**

так что pt принимает поочередно положительные и отрицательные значения. Следовательно, чередуются и знаки Pt, которые поочередно будут располагаться выше и ниже Р. Имеются следующие три возможности: 1)

Ъ > (— а), угол наклона S (к ОР) больше, чем угол наклона D. В этом случае г>1, и ряд последовательных значений pt является бесконечно возрастающим по абсолютной величине. Следовательно, Pt—>-boo, и имеет место взрывное колебание (при чередовании

знаков). 2)

Ь = ( — а), углы наклона D и S равны. В этом случае r= 1, и ряд значений pt будет просто состоять из чередования р0 и (— р0). Поэтому Pt будет последовательно больше и меньше Р на одну и ту же величину, равную первоначальному расхождению (Р0 — Р), то есть будет иметь место регулярное колебание (с чередованием знаков). 3)

&<(—а), угол наклона D (к ОР) больше, чем 5. В этом случае г< 1, и последовательные pt уменьшаются по абсолютной величине. Значит, Pt—>P последовательно слева и справа, то есть стремится с затухающими колебаниями к уровню равновесия.

В случае (3), чем больше будет —а по отношению к bf то есть чем круче D сравнительно с S, тем скорее будут затухать колебания и тел» быстрее Pt будет стремиться к Р. Начальные возмущения также оказывают влияние на амплитуду колебания. Чем дальше Р0 от Р, тем больше будет размах колебаний и тем длительнее промежуток времени, необходимый для того, чтобы они прекратились.

Следует отметить, что случай (2) с продолжающимися и правильными колебаниями настолько редок, что его можно считать почти тривиальным — на базе его нельзя построить никакой теории цикла. Интересен случай (3), несмотря на возможное возражение, состоящее в том, что затухающие колебания «нереальны». Однако существует очень простое развитие модели (3) с затухающими колебаниями, которое позволяет представить движение Pt с продолжающимися колебаниями во времени. Для этого вместо кривых спроса и предложения, неизменных во времени, возьмем кривые, которые под воздействием внешних сил изменяются во времени либо регулярно, либо циклично, либо случайно, либо как-нибудь иначе. Тогда еще до прекращения колебаний, показанных на рис. 1, какой-нибудь сдвиг в кривой D или S приведет к возмущению, и колебания появятся снова. Например, Q0 могла находиться в точке равновесия или вблизи нее до сдвига вверх кривой D к положению, показанному на рис. 1. Тогда колебания будут происходить вышеописанным образом, продолжаясь, скажем, до точки Q3f где колебательное движение будет нарушено сдвигом вверх кривой S. Возникнет, следовательно, колебательное движение с еще большей амплитудой, которое постепенно прекратится до появления какого- либо нового возмущения. Для линейной модели возможно алгебраическое истолкование в случае параллельного перемещения кривых спроса и предложения. Уравнение (2) тогда будет иметь вид

Х^щ + аР^Ь + ЬР^,

где af, Р/ характеризуют сдвиги в момент t — 0, 1, 2, 3, ... . Разностным уравнением относительно цены будет

+ (5)

Для решения уравнения (5) необходимо лишь определить разность — at сдвигов во времени спроса и предложения. Различные случаи, возникающие здесь, были рассмотрены Гуд вином [4].

Задачи и упражнения 1.

Получить (4) из (2), используя (1) для выражения a, р через Р, X. Что значат a, Р в этой модели? Если дано, что а>0, а<0, 6> О, каковы будут пределы величины р? 2.

Исследовать движение Р/ в более редком случае, когда одновременно идут вниз обе кривые: и спроса, и предложения. Сделать это сначала графически (подобно рис. 1), а затем для линейного случая и алгебраически («<[0, 0). 3.

Построить и проанализировать динамическую модель паутинообразного типа с одноинтервальиым временным запаздыванием спроса, но без запаздывания предложения. С математической точки зрения между этой моделью и моделью с запаздывающим предложением нет никаких различий. Существуют ли экономические соображения для какого-либо предпочтения? 4.

Регулярные линейные сдвиги во времени кривых спроса и предложения характеризуются уравнениямм a^ = a0 + ai^ Pf = Po + fM (* = 0. 1» ...)в уравнении (5). Существует ли для цены решение типа Pt = Xo + т0 есть регулярный прямолинейный рост во времени?