<<
>>

6.2. ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ ПРОСТОЙ МОДЕЛИ

Общее решение ищется для уравнения

Уі = + W (У!.! — YFГДЄ W = V-C2. (1)

Юно зависит от корней и Х2 характеристического уравнения

f(X)==X2-(w-s+l)X + w=0, где s = l-c. (2)

Тогда решение будет иметь вид:

у^АМ+АЖ, (3)

где А1 и А2 — произвольные постоянные, определяемые начальными возмущениями.

Корни уравнения (2) могут быть вещественными, и решение (3) будет характеризовать неколебательное движение; корни могут быть комплексно-сопряженными, и тогда решение (3) будет описывать колебания. В любом случае решение может быть затухающим или незатухающим в зависимости от величины доминирующего корня и коэффициентов уравнения (3). Решение находится методом, рассмотренным в разделе 5.4.

Расположение корней уравнения (2) можем определить, рассмотрев знак функции /(А,) для отдельных значений А,: — оо - і 0 1 оо Положительна 2(v+ct) + s положительна ш S

положительна Положительна Заметим также, что

X1 + X2 = w — s + l = v + c1>0. (5)

Следовательно, если w < 0, то один корень (А^) будет положительной, а другой (А,2) отрицательной дробью, так как /(А,) в (4) будет всегда отрицательно при А, = 0. Из условия (5) следует, что большее численное значение будет иметь положительный корень А,г. Однако в более обычном случае — при w > 0 — все знаки /(А,) в (4) будут положительны, так что если оба корня вещественны, то они будут находиться в одной из четырех областей: (— оо, —- 1), (—1,0), (0,1), (1, со). Но по условию (5) они могут быть расположены лишь в одной из двух положительных областей.

Решение можно продолжать графически, начертив график / (Я). Рис. 12

d

иллюстрирует два случая. Если (А) = 2Я — (до — 5 + 1) = 0, то X = 1 1

= — (до — s-fl) = у (у + > 0. Следовательно, кривая имеет минимум — 1

в точке А, где X = -j (до — s+l)\ и

f(X)= -1 [w-{І [w-(i-V~sy].

Отсюда следует, что точка минимума находится выше оси ОХ, если (1 — Y~s)33 < ДО < (1 +|Л?)2.

Здесь уравнение (2) не имеет вещественных корней. В противном случае имеются два вещественных корня, и при

О

цу>0 они или оба находятся в интервале (0, 1), или же оба —в интервале (1, оо). Величина Хх + Х2 в уравнении (5) достаточна для суждения об этом. Если до<(1 — Vs)2, то Хг + Х2 = до — s + i < 2 (l — Vs) < 2, то есть Хг и Х2 находятся в интервале (0, 1). Аналогично, если до > (l + , Я1 + Ха = ш —s+1 > 2(1+V"s)> 2, то есть Хг и X2 находятся в интервале (1, со).

Разнообразные случаи можно сгруппировать, как это было сделано в разделе 6.1:

I (a) до < 0, Ац — положительная дробь, X2 — отрицательная дробь и Хг больше по абсолютной величине, то есть, в силу (3), не испытывая колебательных движений, стремится к 0, но при этом возможна перемена знака, (б) 0 < до < (1 — YSY- Хх и Х2 — положительные дроби, то есть yt стремится к нулю без колебательного движения.

и Х2 — комплексно-сопряженные корни, то III

J есть изменение yt описывается колебательным движением. IV

(l +YSY Остается далее рассмотреть случаи II и III. Область значений до здесь:

(l-Vs)2В рассматриваемых случаях корни уравнений (2) комплексно-сопряженные. Обозначим их через г (cos і sin 0). Тогда

rCOsQ=^-(w — 5+1) И r sin 0 = Y V^W (до — s +1 )2, (7)

то есть

r = Vw H.cos0=-^±i. (8)

2 у w

Здесь cos0 и sin0, положительны, так что 0 расположено в интервале (0^ л/2). Структурными коэффициентами будут теперь г и 0, которые выражены с помощью уравнений (7) и (8) через w и s. Теперь общее решение уравнения (1) имеет вид:

yt = Ar* cos (Qt-г), (9)

где А и 8 — произвольные постоянные, определяемые начальными возмущениями.

Колебания, описываемые уравнением (9), будут затухающими при г < 1 и взрывными при г > 1, то есть если соответственно W < 1 И W > Регулярные колебания будут соответствовать промежуточному случаю до = 1. Таким образом, различие между случаями II ц III в области (6) определяется следующим образом:

(II) (1 — VSY < w < 1 (затухающие колебания),

(III) iПериод колебания в решении (9) уравнения равен 2л/0, где cos0 определяется из уравнения (8) и 0 находится между 0 и л/2.

Период колебания содержит по меньшей мере четыре интервала времени и не имеет верхнего предела. Если s задано, то период зависит от величины w в области (6). Дифференцируем cos 0 в выражении (8) по до:

d , m ш-4-s — 1 -7— (COS 0) = ^ . dw у ' 4w у w

Отсюда

d

(cos 0) < 0 при до<1,

— О при до = 1 — s, > 0 при до > 1 — s,

то есть величина cos 0 минимальна при до = 1 — s. На нижней границе области (6) до = (і — V~s)* и cos0 = (^ — $ + 1)/2|/"до = 1. При w = l— s в области (6) cos 0 = j/1 — s, и эта величина будет минимумом. На верхней границе области (6) до = ( 1 +'VS) »и снова cos 0 = 1. Так как cos0 уменьшается от 1 до 0 по мере увеличения 0 от 0 до у, то 0 увеличивается

от 0 до максимума 0т (где cos0m = V"l — s), а затем вновь уменьшается до 0 по мере возрастания до в интервале (6). Таким образом, период колебания бесконечно велик в нижнем конце интервала до; затем он уменьшается до минимума 2я/0т при до=1 — s, а потом вновь возрастает, становясь бесконечно большим в верхнем конце интервала до.

Первоначальная амплитуда и смена фаз колебаний в решении (9) зависят от двух произвольных постоянных А и е. Эти постоянные, характеризующие колебания, определяются начальными возмущениями.

Таким образом, при данном s решение колебательного типа (9) возникает, если w — v — с2 лежит между

(1-І/*)2 и (1 +V~s)2-

Затухающие колебания имеют место при небольших величинах w\ при w= 1 колебания становятся регулярными, а при больших величинах w они превращаются во взрывные. В точке w=l — s данной области значений w колебания будут затухающими и имеют минимальный период

Г)

(где cos0m = |/l— s). Продолжительность последнего зависит только

от s. В обычном случае, когда s мало, 0Ш также мало и даже минимальный период будет длительным. Небольшая величина s означает, что область возможных значений w для колебаний ограничена, а колебания в случае их возникновения имеют длительный период.

Задачи и упражнения 1.

Написать и объяснить решение для yt при у = 0,05, s = 0,04 и с2=0,0б. 2.

Так как s—положительная дробь, показать, что (l—Ys )2< 1— s< 1, и отсюда установить, что величина w для минимального периода лежит в области значений для затухающих колебаний. Показать, что при s=c2 = 0,25 самый короткий период заключает 12 временных интервалов и появляется при у = 1. 3.

Показать, что при 5=0 решением будет yt = AiJrA2wt, которое равномерно сходится к постоянной при ш< 1 или будет неколебательным взрывным при 4.

Показать, что в пограничных случаях при до = (і ± )2 решение будет иметь вид

уь = {Ах+А%г) (1 ±УТ)',

где Ах и А2 произвольны. 5.

Крайние случаи ш = (і± Уs)2 также соответствуют границам области в выражении (6), то есть колебания имеют бесконечно большой период. Имеется ли несоответствие между этим и результатом, предыдущего упражнения? Или, подходя иначе, показать, что решение yt сходится к 0 при = ( 1 — ]/"s)2 и будет взрывным при 6.

Пусть линия равновесия выпуска продукции Yt =У0 (1+?>)*, причем Q

Yt—Yt с . w

(

задано и положительно. Положить т]г = —-=—- , так что r\t = Лиі И—jqr^" х

т|,_і —' Исследовать решение этого конечно-разностного уравнения относительно r]f. Показать, что оно описывает колебания в той же области значений w (при 5=1 — с), что и уь но что ш = (1 + ?))2 при регулярном колебании. Почему для ^f и yt разница между затухающими, регулярными и взрывными колебаниями неодинакова?

<< | >>
Источник: Р. Аллен. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЭКОНОМИЯ. 1963

Еще по теме 6.2. ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ ПРОСТОЙ МОДЕЛИ:

  1. РАЗДЕЛ 2. Модель Вальраса
  2. 1.2. ПАУТИНООБРАЗНАЯ МОДЕЛЬ
  3. 2.4. ДИНАМИЧЕСКАЯ ДЕНЕЖНАЯ МОДЕЛЬ
  4. 3.4. МОДЕЛЬ МУЛЬТИПЛИКАТОРА ФИЛЛИПСА
  5. 3.7. МОДЕЛЬ САМУЭЛЬСОНА — ХИКСА, ВКЛЮЧАЮЩАЯ МУЛЬТИПЛИКАТОР И АКСЕЛЕРАТОР
  6. 6.1. ПРОСТАЯ МОДЕЛЬ МУЛЬТИПЛИКАТОРА-АКСЕЛЕРАТОРА С КОНЦЕНТРИРОВАННЫМИ КАПИТАЛОВЛОЖЕНИЯМИ
  7. 6.2. ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ ПРОСТОЙ МОДЕЛИ
  8. 6.7. БОЛЕЕ ОБЩАЯ МОДЕЛЬ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ КАПИТАЛОВЛОЖЕНИЯМИ
  9. 6.9. АНАЛИЗ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ КАПИТАЛОВЛОЖЕНИЙ
  10. 7.2. ПРОСТОЙ ВАРИАНТ МОДЕЛИ ГУДВИНА
  11. 11.5. GARCH модели
  12. Модели множественного выбора
  13. 13.2. Обозначения и основные модели
  14. 13.6. Выбор модели
  15. 13.7. Динамические модели