<<
>>

9.4. ПОДСЧЕТ УРАВНЕНИЙ

Существенная особенность вышеописанной системы экономического равновесия состоит в том, что число независимых условий в ней равно числу неизвестных, подлежащих определению. Вопрос заключается в подсчете числа уравнений и неизвестных, в контроле их численного равенства.
В этом случае можно утверждать, что система совместна с положением равновесия, что она не является ни переопределенной, ни иедоопределен- ной. Вообще условия включают заданные величины, но форма связи которых точно не установлена.' Лишь в частных случаях можно считать уравнения, например, линейными или квадратными относительно переменных. Поэтому относительно общей экономической системы можно лишь сказать, что она совместна с состоянием равновесия. В некоторых частных случаях система может в действительности и не иметь совсем положения равновесия, то есть уравнения не будут иметь вещественных корней. В других случаях может быть и много решений.

Все сказанное иллюстрируется на рис. 33. Он показывает частные . случаи зависимости между переменными X и У, описываемой линейными, квадратными и кубическими уравнениями. В каждом случае система состоит из двух уравнений, представленных двумя кривыми на плоскости OXY. Система совместна с положением равновесия, то есть

257

17 Р. Аллеи

равновесие характеризуется значениями X и У, полученными из решения уравнений, и соответствующими точками пересечения кривых. В частном случае, показанном на рис. 33, а, существует только одно положение рав- новесия — оно представлено единственной точкой Р пересечения кривых. В другом частном случае (рис. 33, б) равновесия в действительности вообще не существует: система совместна с равновесием, но в данном случае уравнения вовсе не имеют общих вещественных корней. Третий вариант показан на рис. 33, в\ в данном случае существует несколько положений равновесия, представленных рядом точек пересечения кривых (Р1Л P2i ...).

Гораздо больше можно сказать, если по условиям задачи все уравнения линейны или может быть допущена линейная аппроксимация для определенной области значений переменных.

Вообще этот случай рассматривается нами в разделе 13.2, здесь мы резюмируем лишь результаты. Если уравнений меньше, чем переменных, то имеются «излишние» переменные, и их численные значения нельзя определить из уравнений. Если уравнений больше, чем переменных, то существуют «излишние» уравнения, которые могут быть совместны или несовместны с остальными. В случае совместности их можно получить из остальных уравнений, а потому и исключить. Эта процедура нами уже рассматривалась ранее. Несовместность уравнений указывает на ошибку в формулировке задачи. Ошибку нужно исправить, а излишние уравнения исключить.

Как правило, в системе линейных уравнений число уравнений равно числу неизвестных, либо она может быть приведена к такой форме. В обычном, «неособенном» случае существует решение относительно переменных и притом единственное. Однако встречаются все же обстоятельства, «особенный» случай, когда положение то же, что и при наличии «излишних» уравнений или переменных. Это имеет место тогда, когда определитель, составленный из коэффициентов уравнений, равен нулю. Всегда необходимо принимать меры для избежания такой возможности.

Например, рыночные цены можно определить из системы уравнений, в которой число уравнений равно числу искомых величин цен. В случае линейных уравнений, как правило, существует единственный набор цен для достижения равновесия. Однако при некоторых сочетаниях постоянных в рыночных соотношениях может появиться «особенный» случай, и тогда нельзя определить все цены или нельзя определить * их единственным образом. Таким образом, при анализе экономического равновесия необходимо подсчитать число уравнений. Но и в случае линейных уравнений этого недостаточно для суждения о существовании решения, а тем более о его единственности.

Наконец, когда даже известно положение равновесия или допускается, что оно существует, необходимо все же сказать что-то и о его устойчивости и для различных открытых систем выяснить, что произойдет с одной переменной, когда изменятся какие-либо другие переменные. Все это — проблемы сравнительной статики, к рассмотрению которой мы переходим. По-настоящему же проблема устойчивости может быть исследована лишь в полностью динамической системе.

<< | >>
Источник: Р. Аллен. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЭКОНОМИЯ. 1963

Еще по теме 9.4. ПОДСЧЕТ УРАВНЕНИЙ:

  1. ГЛАВА 4 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
  2. 4.1, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
  3. 4.3. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
  4. 4.4. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
  5. 4.5. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ПРОИЗВОЛЬНОГО ПОРЯДКА
  6. 4.7. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ МЕТОДОМ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА
  7. ГЛАВА 5 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ. ЛИНЕЙНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
  8. 5.1. РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
  9. 5.2. ДИСКРЕТНОЕ РЕШЕНИЕ РАЗНОСТНОГО УРАВНЕНИЯ* ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И СВОЙСТВА
  10. 5.3. ЛИНЕЙНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
  11. 5.4. ЛИНЕЙНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА
  12. 5.5. ЛИНЕЙНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЩЕГО ВИДА
  13. 5.8. НЕПРЕРЫВНЫЕ РЕШЕНИЯ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ