7.8. ПОЛИТИКА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ СТАБИЛИЗАЦИИ

I. Политика пропорциональной экономической стабилизации. В этом случае правительственный спрос равен G = — /рУ. Поэтому при падении выпуска продукции У ниже желаемого уровня (У = 0) предъявляемый правительством спрос пропорционален сокращению производства.

И. Политика интегральной экономической стабилизации. Прави-

*

тельственный спрос равен G=—fi^Ydt. Тогда добавочный спрос,

о

• создаваемый правительством, пропорционален накапливающемуся дефициту в выпуске продукции ниже желаемого уровня.

III. Политика экономической стабилизации, при регулировании по производной. Правительственный спрос равен G= —faDY. В этом случае он связан не с дефицитом продукции У, а со скоростью ее сокращения (—DY).

Во всех этих случаях G представляет собой планируемый правительственный спрос. Обозначим фактический государственный спрос, оказывающий непрерывное влияние на экономику, через G. Предположим, что по отношению к планируемому правительственному спросу он имеет непрерывное запаздывание в виде показательной функции со скоростью реакции (3. Следовательно, если все три типа экономической стабилизации применяются одновременно, мы получаем следующие уравнения:

t

G=-(fpY + fi\iYdt + fdBY>) G.

Ті

D + p Модель мультипликатора, включающая правительственную политику экономической стабилизации, описывается следующим образом: Спрос: Z = (l-s)Y + G + A.

А,

Предложение: У = D ^ Z.

В результате подстановки получаем следующее дифференциальное уравнение:

X f/J Р -g+A\.

Y =

то есть

D+K ' Я+Р ' J

(Z) + P)(Z> + X)Y = X{(1-«)(/> + Р)У-

t

-pfa + f^Ydt + UDY^ + iD + ftA}

о

После группировки членов:

t

D*Y + aDY-{ bY + c J Ydt= К (D + p) A, где

(1) a = p + xs + p^/d, b = №(s+fp), c = РЯ.Д.

Если /• = 0, то уравнение (1) будет дифференциальным уравнением второго порядка относительно У.

Модель мультипликатора-акселератора со стабилизирующим правительственным спросом описывается уравнениями: vDY + G + A.

D + к

Спрос: Z = (l-s)Y-

Предложение: У = Снова получаем дифференциальное уравнение

D+X

то есть

(D + $)(D + k)(D + X)Y = X{(1-S)(D + $)(D + X)Y + KV(D + $)DY-

t

-р(?) + н)(/рУ + д| Ydt + fdDY^ + (D + fi{D + x)A\ .

Производим группировку:

t

D*Y + aD2Y +b DY + cY + d \ Y dt = X(D+ $)(D+ к)А,

о

где

a = p + Xs + x (1 - Xv) + p Xfd, (2)

b = K($ + Xs) + f>X(s + fp) + faX(fd-v),

d = РхА,Д.

При fi = 0 это будет дифференциальное уравнение третьего порядка, а при fi Ф 0 дифференцирование приводит к уравнению четвертого порядка. Оно заменяет дифференциальное уравнение второго порядка, которое дает модель при отсутствии политики экономической стабилизации [см. 7.7, уравнение (3)].

Предположим, что Y = 0 есть желаемый уровень выпуска продукции в положении равновесия. Он управляет системой до момента t = 0, когда спрос внезапно падает на заданную величину. Для выявления эффекта политики экономической стабилизации нужно решить уравнение (1) или (2) с отрицательной постоянной А (величина, на которую снижается спрос) и соответствующими начальными условиями в момент t = 0. При выполнении этого па практике мы встречаемся с двумя затруднениями. Первое заключается в том, что, как правило, приходится иметь дело с уравнениями третьего или четвертого порядка, включающими значительное число параметров: структурные постоянные s и v, скорости реакций р, х, X с различными запаздываниями и параметры /р, /., fd принятой политики экономической стабилизации. Поэтому нельзя рассчитывать на получение общего решения.

Тизард [10] предложил иной метод — перенести весь анализ назад, ко времени, непосредственно предшествующему моменту t = 0. В этом

случае начальные условия будут чрезвычайно простыми:

У = ?)У = /)2У=: ... =0,

так как У = 0 будет постоянным уровнем равновесия вплоть до момента * = 0. Однако это упрощение влечет за собой то усложнение, что независимые расходы А не являются уже больше постоянными, а представляют собой скорее ступенчатую функцию A (t), определяемую следующим образом:

Л (f) = 0 (t < 0); A(t) = ±A {t = 0);A{t) = A (t > 0). (3)

Правые части уравнений (1) и (2) содержат производные от А, которые нельзя будет игнорировать, если А не является постоянной величиной. Далее, чтобы применить производную от ступенчатой функции (3), последнюю нужно сначала аппроксимировать с помощью непрерывной функции^ стремящейся при переходе к пределу к данной ступенчатой функции.

f{D)Y(t) = где

/ (D) = a0Dn + 4Dn-i + ... + an_tD + an > (4)

и

q> (D)^b0Dm+b1Dm^+...+bn_1D + bm. ]

Уравнения (1) и (2) приводятся к этой форме после исключения дифференцированием интеграла из первоначальных уравнений. К уравнению (4) нужно добавить соответствующие начальные условия, то есть начальные значения У и их последовательные производные У0, Y'Q, У^, ..., а затем получить решение с помощью преобразования Лапласа. Возможны следующие альтернативы.

Во-первых, можно принять А (?) = А = постоянной для t > 0, так что правая часть уравнения (4) станет bmA = const. Необходимые начальные условия будут получены для момента, непосредственно следующего за t = 0:

У0 = У(0 + ) = 1іюУ(8); У; = У'(0 + ) = 1ітУ'(є).

є->0 є->-О

Вспомогательное уравнение (см. 4.6) будет иметь вид:

f(p)*(p) = bjr + (Выражения у0, у;, у;,...), (5>

что и дает У(р) — преобразование Лапласа для получения решения У (t) уравнения (4). Исключение ? = 0 из уравнения (5) требует, чтобы преобразование Лапласа имело следующий смысл:

оо

У (р) = lim ^ e'ptY (t) dt. 8->0 J

Є

Если Y (t) непрерывно, то с ^(р) не возникает затруднений. Трудность этого метода решения заключается в определении соответствующих значений У0, у;, у;,...

Вторая возможность заключается в том, чтобы считать A(t) ступенчатой функцией (3), а в качестве начальных условий принять начальные значения в момент, непосредственно предшествующий ? = 0;

Yd = Y(0-) = limY(-e); = У'(0-) = 1ітУ'(-є);

є-j-O є-»0

так что Уq = Ур = ... = 0, поскольку У — 0 есть установившееся положение вплоть до момента ? = 0. Тизард [10] показал, что тогда вспомогательное- уравнение для (4) будет иметь вид:

f(p)Y(p)^^f-A. (6)

Это уравнение снова дает У (р) — преобразование Лапласа для решения Y(t). В данном случае преобразование Лапласа будет иметь следующий смысл:

со

Y{p) = lim \ e~piY (t) dt, е-о _Je

так что t = 0 включается и не исключается.

Мы можем сравнить и проверить для очень простого случая альтернативные варианты применения преобразования Лапласа. Рассмотрим модель мультипликатора-акселератора без применения политики экономической стабилизации. Пусть модель имеет те же параметры, что и в примере (б) раздела 7.7: 5 = 0,25, v = 0,6 х=1, X = 4. Тогда, в силу уравнения (3) из раздела 7.7, задача сводится к решению следующего уравнения относительно У:

?>2У-0,4/)У + У = 4(?> + 1)А.

Положим, во-первых, что А = const (t > 0), и возьмем следующие начальные условия:

У = 0 и ?У = 4А в t = 0+. Тогда вспомогательное уравнение (5) будет иметь вид:

Во-вторых, примем, что А представляет собой ступенчатую функцию в ? = 0, а начальные значения будут

У = DY = 0 в * = 0-.

Тогда вспомогательное уравнение (6) перепишется так:

то есть оно тождественно с предыдущим. Тот и другой методы дают то же решение, что и в примере (б) (см. 7.7):

У (f) = 4А {1 - l,58e°>2f cos(0,9» + 0,89)}.

В нижеследующих примерах эффективности политики экономической стабилизации даются решения различных численных уравнений. Можна применить любой вариант преобразования Лапласа, но второй способ, в общем, предпочтительнее.