ПРИЛОЖЕНИЕ В РЕШЕНИЯ И УКАЗАНИЯ К ЗАДАЧАМ И УПРАЖНЕНИЯМ 1.2

(стр. 25) дОЛЖНЫ быть положительны; отсюда —. а \ а)

где с=-(—*L>0. Необходимо различать два случая: (—Ь)>(—а) и (—Ь)< ( а)

<»(—а).

1. Написать с=-—^—(_f0 и определить знак с. Если ——я, (стр. 26) ъ_а ("«Л

то и с= будет положительно; если —b <—а, то с будет отри-

цательно. 2. Дифференциальное уравнение: —где у=——. При

истолковании этого случая рассмотреть непрерывное запаздывание (типа показательной функции) на стороне спроса, как в 1.9, упражн. 2. 3. Дифференциальное уравнение: р, где . Коэффициенты ^ и 6, характеризуют скорость реакции спроса и предложения. 3 15 117 1.6

1. 1; —-5-; —^7; ; ... Здесь D круче, чем S; отклонения

(стр. 32) 8 64 о

г 7 цены имеют затухающие колебания, медленно сходящиеся к нулю. 2. pt =

9 105 1161

=0; 1; —- ; ; р-гх ; ..., т. е. отклонения знакочередующиеся, взрыв-

о Ь4 512

ного характера. 1.7

1. Когда ( — Ь)<(—я), как в тексте, то (Ь—я)>0. Когда (—&)>—я, (стр. 36) тогда (Ь — а)<0, и с> 1 при всех положительных X, т. е. имеет место

взрывной ( случай. 3. При А,=0 pt = постоянной, независимо от запасов. I есть pt=pi_1; II есть pt = 2pt-i—Pt-2- Каждая из моделей дает pt=p0, если начальная цена p0=pi• При К 00, Pt-i = cpt-2 в обоих случаях

^полагая коэффициент при равным нулю^ , т. е. простая паутинообразная модель. 4. Почти то же, что в модели I, см. выше, упражн. 1. Если (—&)<(—а)у то (& —а)>0 и —? А, (Ь—я)<0, следовательно, (Р0 — Р) е~~Мь~аУ>1 стремится к нулю. Если ( — &)>(—я), то — А, (6 — я)>0

и e-^(b-a)f ^ 00( е При ^ — о р (?)== const.

IV есть при начальном условии -^-=0. При % оо [получается

дифференциальное уравнение, как ранее в модели 1.3. Ср. с дискретным . случаем в вышеприведенных упражнениях 2 и 3.

dY 1

1.9 1. Положить У=0 в —тг=—-7=- (У—Z0) и показать, что касательная

(стр. 45) dt 1

есть OA. 2. Здесь = + ЬР), т. е. D (а + аР) + К (а+аР) —

— А,ф+ЬР)=0 и т. д. Уравнение (1.3) получается при а = а0 и А, = — .

а\

d2Y dY dY

4. У дано уравнением + с У=-^- = 0 при t=0.

Решение (см. далее 4.8): У={1 — (1-{-2Яг) Z0, кривая подобна III

на рис. 3, но касательна к Ot в точке О. 5. Обратить внимание на то, что интеграл (8) есть сумма двух частей: в одной Z (г—т) =Z0 (т< t)\ в другой Z(t—т) = 0 (т>0-

2.2 1. Подставить линейные функции С, / и L в уравнения У—С=1

(стр. 52) и L=ikf, определяющие условия равновесия, и решить их относительно У и і. Смысл постоянных: b—изменение инвестиций при повышении нормы процента, с—возрастание потребления на рубль прироста дохода, и jC2— увеличение сбережений соответственно на рубль увеличения дохода и на единицу снижения нормы процента. 2. Продифференцировать У и і из предыдущего упражнения по р и взять отношение производных. Классический случай: Л2=0; особый случай Кейнса: Лі = 0.

2.4 1. Ожидаемые сбережения = Yt-i — С (У*_х) Ф Yt—C (Уе_1) = / (it).

(стр. 56) 2. Равны ожидаемые сбережения и капиталовложения, а не фактические. 4. Условие устойчивости: SI круче, чем Lilf, или

1

(-b)^(l,)' 2.6

1. Разложение в ряд Тейлора функции С (У) для малых (У—У0) (стр. 60) дает

Подставить выражение С (У) в равенство У—C(Y) = A и принять во внимание, что YQ—C(Y0) = A0. Тогда получим требуемую формулу

Преобразуем это равенство следующим образом:

(-SS-) ...

или

(У-У0) (1 -с) = А-А0+ 1 (-^г) (У-Уо)2+. • • • Отсюда при малом (У—У0) получаем требуемую формулу. 2. Средняя

Q

склонность к потреблению (сбережению) =-у • Если С=у+сУ> то средняя склонность к потреблению будет = • 2.7

2.

1 1 3.

Наклон OS есть ^ C~~J * уменьшается по мере возрастания s.

dY — А 4.

Линейный случай: -^--f (1 — с) Y—A с частным решением У= ^ ^ .

Отсюда для у=У—У: — с) г/ ==0, что после интегрирования при-

— А

водит к 2/ = const-e~(1~c)'. 5. В доказываемое неравенство У0<-^—под-

— А А ставить выражение у0 из (7). Получаем < j—^ • Преобразовав это 1 + г

(стр. 78)

неравенство, имеем —сг< 0, что справедливо при с>0 и г>0. 3.3 1. В (II) написать Z—Y—и скорректировать в соответствии

с (I). 3. Написать Z — Y—; =4тг • Следовательно, (1) равно-

1 — с Cut al

сильно (4): = — ^ ert^ . 5. Тенденция роста: Y — Y0ert. При

у= У—У уравнение (4) дает y—y0eQt, как в тексте. Пропорциональные Y у 1

отклонения будут: г) =—, и (4) дает \\ = Первые можно показать графически на натуральной шкале в виде отклонений от тенден- ции роста; вторые — на полулогарифмической шкале, как отклонения от прямой линии тенденции.

dY 3.4

3. Непрерывная показательная форма запаздывания =—х (У—Z), (стр. 81) dt

где K — ks и Z = — . Обратить внимание, что прямая OA является касательной к кривой III в точке О на рис. 3; см. 1.9, упражн. 1.

dY dW 3.5

2. В момент г=0, У0 = 0 и -т— = ХА. Тогда (4) дает -=-5- (xv—$) к2А, (стр. 82) dt

что обычно >0. Следовательно, У есть касательная к Ot, но выпукла

книзу в точке О. Выражение I, данное в задаче, есть операторная запись уравнения (1). Операторная запись уравнения (3) есть DY = —X(Y—Z)r

А.

откуда получаем выражение Y через операторы Y ~ Z.

JJ—j—Л

где

а = b=y (1 — yv); c = n%ys.

Это уравнение превращается в (4), когда у оо (т. е. когда нет запаздывания потребления). 3.6

1. Условие для реализации плана капиталовложений: (а) Дискрет- (стр. 87) ная модель без запаздываний (рассматриваемое упражнение) sYt =

= v(Yt—Y^ 1).

sY —V —j^-. В каждом из этих случаев существует гарантированный теми

роста, Q' > Q при условии s>0 и V>s. 2. Если v < s, то гарантирован-

1 s ный темп роста в (а) упражн. 1 есть Q'= <0, ср. Q=—> 1 в (б)

и (в). 3.7

2. В (4) подставить с2 =0, s = 1—с=0 или с = 1. Zt А имеет

(стр. 90) _ А . . А

1 решение = j—- + const vl^—Это есть рост дохода при

равновесии, а не уровень дохода. Обратить внимание, что уровень статического мультипликатора бесконечно велик при s = 0. 3. Тот же

результат, но v уменьшается до (и—са), пока а>с2. Если а<с2, тогда Zt попеременно меняет знак. 3.8

1. Из неравенства v > c2-f-(l-f-}fs)2 следует, что чем ниже s, тем менъ- (сгр. 92) ше может быть г;. Если подставить в указанное неравенство с2 = 0,

5 — 0,04 и s = 0,25, то должно быть соответственно v > 1,44 и v > 2,25. Положительная величина с2 просто увеличивает критическое значение v на такую же величину. 2. Если 5 = 0, то один корень R есть нуль, а другой будет положительным в том случае, если v—с2>1. Кривая на рис. 8 пройдет через точку О. 3. Подставить в уравнение (3) из 3.7 частное решс-

А Ц I

ниє yt при г/0=—° д , — (l+^)f и выражение R из 3.8.

Тогда получится тождество. 4. На рис. 8 видно, что для кривой i?3 ординаты точек ее между Qi и q2—отрицательны (Д<0). 3.9

2. Д = $>0 при г = 0; Д—^^оо, когда г—>±оо. Следовательно, (стр. 95) кривая пересекает Or один раз слева от О. Если она пересекает Or снова,

то могут быть две дальнейшие точки пересечения, либо обе слева, либо обе справа от точки О. Отсюда вытекают три варианта.

dY

4.1 1. Если = const, то это значит, что У=У0-)-яя:, т. е. объект дви-

(стр. 98) гается с постоянной скоростью а. Если У есть народный доход или про-

dY

дукция за ж-и год, то const означает, что годовое приращение по

стоянно, а У есть объем народного дохода или продукции в последнем

d2Y

х-ом году.

п(х+ій) 11

Л—>00,^1+--^r —т. е. >ег. Следовательно, Yx = Y0erx.

FfY

Отсюда ^=Y0rerx=rYx. 4.2

3. Частное решение данного неоднородного уравнения будет У = (стр. 102) =х*-\-ех — е~х.

d ґ ах \ 4.3

1. —:— ( т при аф 1; отсюда получается решение У —

dx \ In а / -/

(стр/106) =-jЕсли а = 1, то дифференциальное уравнение превращается

в -^- = 1, так что У = 2. Проверить решение путем дифференциро-

dx

вания. 3. Воспользоваться соотношением sin (ах+&) = cos ^ ах-\-Ь—; (ах-\-h)= — sin ^ ах-^-Ь—. 4. У = ^ / (ж) Жг+А 5. Продифферен-

cos

1 ' v. z / л

. ^ dy

цировать уравнение у = Ае~х и подставить у и в заданное уравнение;

получится тождество. 6. Дополнительную функцию взять из упражн. 5. Проверить частные решения: (I) Y = x и (II) Y = sin х. Решения монотонно приближаются: (I) — к постоянно возрастающей тенденции, (II)—к колебательной тенденции. 7. Тенденция будет Y = ^ f (х) dx как частная линия

движения Y. Изменение по сравнению с тенденцией постоянно. 4.4

1. Характеристическое уравнение дает р2—а2 = 0 или р = ± а- Неза- (стр. 112) висимо от знака а один член всегда будет взрывной. 2. Дополнительную

функцию взять из упражн. 1. Проверить частные решения: Y = x и Y = e~x. 3.

у = (А1-{-А2х) е~х с ^=^42=: 1, что получается из начальных условий. 4.

Дополнительная функция из задачи 3. Проверить в качестве частного решения Y = x( 1 — е~х); найти постоянные (A1 = A2 = Y0) из начальных

условий. 5. ^ = ±у-Ае±хвт(х-г); + 6. А = 1,

8 = 0; то же самое для обоих начальных условий, так rfaK из (1) следует,

^ л я ^ i-r ~kax tn, d*u л

что Y = — при я——. 7. Подставить у = ие * в (6); тогдаО,

что дает и-=А1-\-А2х. 8. Если (—а) < (—&), то характеристическое уравнение будет я2= я (а — &)>0, т.

d2p

ражн. 1. Если (—я) = (—Ь), -ф- = 0 и p=^Ax-\-A2t. 9. Колебания будут

4

только тогда, когда — Правая часть здесь положительна

(а < О, Ь>0), но может быть совсем мала, например, если численная велм-

d*D , dY , dD dW dD л v

чина а велика. 10. _ = * *Qy==Q — , т. e. —-<>—=0. Xa-

рактеристическое уравнение: Я2—(Ж,=0; отсюда ^ = 0 и и решение

D Постоянные Аг и Л2 определяются по начальным усло

виям: Ax = Dq—и Подставляя выражения ^ и А2 в />,

получаем требуемое решение для D. 4.5

1. Однородное уравнение второго порядка без члена, содержащего у, (стр.117) имеет решение у = А1-\-А2еах. Из начальных условий получаем А1 = у0^~

—— и А2 — — . Цодставляя Ах и А2 в у, получаем частное решение, ука-

dy

занное в задаче. 2. Подставив —=z(x) в левую часть (I), получим левую

часть (II) уравнения. 3. Подстановка решения Y = (ax-\-b)ex в (8) дает линейное уравнение относительно всех х: х(2а — 1)-|-26-|-а=0. Приравняв

нулю коэффициент при х и свободный член, находим] a, b и частное \

решение У ~—(2х—1) ех. 4. Характеристическое уравнение будет кубті- ческое, распадающееся на два множителя: (р— 1) (/?2 — 2^4-2) = 0. Корни: /?1 = 1; p2t з= 1 ± і = а± г'р. Общее решение: Аеах cos (соя—8) + ВеРі х = = ex{Acos\x— є)+В}. Доминирующей частью будет ех, т. е. у имеет монотонный и колебательный взрывной элемент. 5. Доминирующим членом будет член с вещественным корнем характеристического уравнения.

4.6. 1. Изображение у' (t) получается по правилу (II) при п = 1. 2. «Ин

остр. 122) тегрировать по частям» формулу упражн. 1, заменяя у через у' и у".

3. Второй интеграл вычисляется по частям, третий—по формуле

оо

^ хпеах dx = ^-xneax —~ ^ хп~^еахдл\ четвертый ^ dt вычисляется,

о

как первый. 4. Формулы в упражнении суть формулы «интегрирования по частям». Из первой формулы исключить ^ е-?'cos соt dt и получить

значение ^ sin со* dt, а из второй таким же образом получить p2— CO2

(p2+(fi2)2

\ e~Vl cos со* dt. 5. Дифференцирование дает \ cos (at dt = j J г» со p2 со2 2co3

Отсюда J = = •

0

7. В определенном интеграле может появиться любая переменная, так что

оо оо р

у (р) = ^ е~рху (т) dxy и, следовательно, у = ^ е Ш У (т) 8. Ори_

0 о

гинал е_(й* должен иметь изображение по правилу (IV): у{р — (—'со)} =

а 1 tn А

= г/{р+со} или ———. Функция у (t) = —- имеет изображение у (р) =

р -у- СО П

= п+1 . Если функцию y(t) умножить на eat, то по предыдущему она

Р л

будет иметь изображение у(р—а), т. е. ее изображение имеет вид: 1

(р—а)п+1 '

4.7 2. Из уравнений у = 0 и -—-=0 при t — О получаем Ах =—— , А2 — 1

1 1 ж

{стр. 127) =— и частное решение y = t—-к-е"1. 3. Вспомогательные уравне- 2

2 2

ния: (I) (p+i)2y(p) = l?+L ; (II) = (Р + 2). Раз-

1 1

ложим (I) на элементарные рациональные дроби: у (/?)=-— *

Отсюда по стандартным формулам получается решение (I): y = t( 1 — е~1). Из (II) имеем = - Р*+2Р2~-2Р-1 .

и П0 стандартным формулам (2), (2а) и (4) предыдущего раздела получаем искомый оригинал-решение. 4. Вспомогательное уравнение:

(„,+„www.;

.

4^+6^+4^+5 _ J_ , ІР+2 1 і P+2

у (4р2+4я+5) - ^ 4/>2+4/>+5 - ^ -t- +1 '

Отсюда по стандартным формулам получается решение y=.t-j-e 2 cos і.

4,8 1. (Дз+дяд2 4.27АЛО-{-27А,3) Y==27A,3Z. Характеристическое уравнение

(стр.131) имеет трехкратный корень р1 = р2=р3 = —ЗА,. Испытать решение Y=(A-\-Bt-\-Ct2) е~ш, частное решение Y=Z0. А, В и С определяются из начальных условий. 2. Характеристическое уравнение имеет два корня (—ЛІ) и ( — К). Воспользоваться начальными условиями для решения Х-\Х2 .... Хп

•ф + ^ФН-^)... (D + kn)

Z. 4. Для решения дифференциального урав-

dY

нения (8) ——|-А,У = Xeat cos со* можно взять общее решение соответствующего однородного уравнения в виде у — Ве~Частное решение уравнения (8) можно получить операторным методом (см. приложение А) в виде

У =zQeat cos (со? — ф),

X

где о = # — < 1. Общее решение будет

Y(k + а)2 + 0)2 ^

У = Ве~и + Qeat COS (COf — ф).

Постоянная В находится из начальных условий: У = 0 при ? = 0, отсюда В=— q cos ф; Итак, решение уравнения (8) будет: У = Qeat cos (со*—ф) — — Q cos А л А

4.9 2. Заменить два члена в (4): у (р) = !-- ^-^4-..., что дает

(стр.135) Р—Рі (Р-РіГ

у (t) = {A1-]rA%t) е 1 + ... Аналогично получаем для двух одинаковых пар сопряженных комплексных корней. Когда внутренние и вынужденные колебания совпадают, то получается резонанс со взрывным элементом,

СО6* соt

подобным (Ai~\-A2t). 3. Решение: у— ^ —f-^cos(? — є), т.е. вынуж1 денные внутренние колебания. Резонанс возникает, когда со —> 1 и у —>? оо.

5.1 1. а; ух Аух А*ух А*ух А*ух А*ух 3. х ух Аух А*ух...

(стр. 139) 0 0 1 14 36 24 0 0 1 —2 4 1

1 15 50 60 24 0 я —1 2 —4 2

16 65 110 84 2я 1 —2 3

81 175 194 Зя —1 4

256 369 5

625

4. АУх=Ух+1 — Ух> К2Ух = Ух+2—2УХ+1 + УХ> Л3УХ = 2/Х+З — 3t/x+2 + 3t/x+1 — УХ\ Ух+і = ЬУх + Ух\ Ух+2 = Ь2Ух + 2ЬУх + Ух> Ух+з= ^Ух+^Ух + ^Ух + Ух-

1 / 1 Л2 ґ 1 \3

5.2 2. Частное решение: ух=~-ух_1 = ( — ) ух.2 = ( ) Ух-з= ... =

(стр.143) 2 V2/

= ( у ) ; при X =0, Ух = 1. Общее решение: yx = yJ~ ) . 3. j/2=

= Уі—Уо\ Уз= — 2/о; 2/4=— Уі'у Уь= — (Уі — 2/оК Уе=Уо- Каждое решение у повторяется через 6 интервалов.

1. A (yxZx) = ух+ xzx+! — yxzx = yx^zx+1 — ух+ xzx4- ух+ xzx — yxzx = yx+ tzx-\-

(стр. 147) +2зсД2/л> 2. Aln® = ln(®+1) —1п® = 1п-ЇІ^ = 1п + • 3- Asin=

= sina (я+1)— sinaa; = 2cos а 'Sin-^-. 5. АУ^ = Yx+1— У* =

X x

ч = 2 (я+1)2 — я2 = (я + 1)2- Из предыдущей задачи следует, что если о о

1

&ух = (х+1)*, то Yx = -q Х(Х+1) (2Х-+- 1) + Л, где Л=У0=0. Воспользоваться результатом предыдущей задачи 4. 7. Для нахождения частного решения подставить yx = pax. Тогда pa*— a\iax~1 = ax или р= ^a ^ и

ax+i

Аах. Случай a = a есть пример резонанса. 8. Принять Yx =

а—а

= Рід;+Р2 за частное решение и подставить в данное уравнение, из кото-

ос aa-4-B (1 —a) ~ v / ч рого определить Рх и р2: = — и р2= (1-—а)2— Отсюда У (ж) =

—. Общее решение УХ=УИ+М что и требовалось

доказать. 9. Уравнение этого упражнения получается, если в предыдущем принять а=1, (3=0, а = 2. Частное решение получается У (я) = — (#-(- 2).

40 Р. Аллеи 625

10. Решение уравнения будет: Yx — ^ °а (1 — ах+1). Заменяя 1 — а = г,

имеем: = [1— (1 — r)*+ij.

5.4 1 1

(стр. 152) Характеристическое уравнение дает X2—— — 0 и А,1,2=± у • Отсюда

общее решение однородного уравнения Ух—AJ у J +^2 (—'( -у ) • Из на-

х+1

X

1 1 ґ\' чальиых условий получаем у и ^2 = 2' Следовательно, yx = \^-^J

Х{1 + ( — 1)*}. 2. Характеристическое уравнение: К2—а2 = 0; ^ = -f-a, А,2=(— 1) а. Отсюда получаем искомое общее решение. Решение — затухаю-

1

щее, если a< 1. 3. Корни характеристических уравнений: (1)уИ 2, моно-

11 11

тонное, взрывное; (II) -у и у,монотонное, затухающее; (III) — и , монотонное, затухающее. 4. Характеристическое уравнение имеет корни 2 =

11 1л

= . Решение: у = cos (0а;—є), где г = -—, tg 0= 1 и 0=-^- •

Период =-^-=8. Корни второго характеристического уравнения: %lt 2 =

1 . . 1 ^ 1 л Зя

=—— it 1 2" * Решение аналогично, г равно по-прежнему ' а

и период=-^-. 5. Характеристическое уравнение дает 2 -j- j- г

о 2 2

откуда г — 1, т. е. регулярное колебательное решение, и 0 = у, следовательно, период равен 6. 6. Характеристическое уравнение даетЯь 2— .

1) При a = -f-2, А,ь 2=—у; = — 1, Х2= +1. Одно решение ух = к^ вт0_

рое решение yx = xl% = x. Общее решение Ух = ( — 1)х Ах-^Ах, т. е. изменяется линейно. 2) Если а2 < 4, получаются два комплексных сопряженных

» а , . г/*4 —а2 . ^

решения: Аь 2= — у ±ї——2 ' Где г —^ т- будут иметь место коле-

1 ______

бапия постоянной амплитуды. 3) Если а2 > 4, то 2 = тг (— а> ± V^a2 —4), т. с. получаются два~вещественных и отрицательных корня Я. 7. Подста- . вить частные решения: (I) У = ішх и (II) Y = \JLX-\-V. В первом случае Уж-і = РаХ"1; Узс_2 = разс~2- Подставить в неоднородное уравнение, найти jit, и тогда придем к искомому решению (I). То же проделать и с частным решением (II). 8. Если А, = 0, то 6 = 0, и уравнение (3) в тексте превращается в уравнение первого порядка. Если = 1, один член в решении (5) будет аддитивиой постоянной. 9. Характеристическое уравнение № — аК— ' _Р = 0. Колебательный характер ut будет при комплексных корнях, т. е. при а2-|-4(3<0. 10. Характеристическое уравнение будет первого порядка К—а=0, а решение будет ut = u0aK И. Характеристическое уравнение: А,2— (а-\-Ъ) X-f-6 = 0. Колебательный характер будет при я2-|-4х

—1^6 + 62<0. В случае, указанном Оркуттом, а = 1.

N» У

5.5 1. Характеристическое уравнение имеет корень Х = 1. Разница с решс-

(стр. 156) нием примера (б) в тексте в знаке постоянного члена. Здесь он зиако- устойчив, а в примере текста он—знакочередующийся. Так как уг2>1, то, при А ф 0,(]/2)" безгранично увеличивается и решение будет коле-

2л

бательным, взрывным. Период колебания = -^- = 8. 3. Подставить в заданное уравнение У = ит и найти Li. Получаем 11= : г^ ;

— ct

или У — —J ; х. Если этот знаменатель равен 0, то поло-

жить Y —цх2 и подставить опять в заданное уравнение. Тогда, приняв во внимание аЛ -\-2а2-^\-За3-\- ... -\-пап = 0, получим /л a

а! + 22я2 + З2а3 + ... + п2ап 626

и отсюда решение У= + Характеристическое

уравнение имеет трехкратный корень К = а. Отсюда частные решения будут ах, хах и аг(2)ах (а не см. 5.3), где xi2) = х (х—1). Общее решение имеет вид (Ax-\-A2x-\-Azx(x—\))ax. Распространить этот способ на разностные

уравнения любого порядка, применяя я(3>, х(4\ 5. Поступить, как

в случае кратного корня, ибо при 0 —> 0, sin 6 —> 0; при 0 л, cos 0 —> — 1 Так как ix = rcos9 и 'k2 = xr cos0, то решение будет (Ах -\-А2х) ( — г)х 6. Поступить, как в 6.4 (второй случай).

5.6 1. Характеристическое уравнение: X2 — с (1 — Q) X—cq = 0. Отсюда

(стр.160) с (1 —q) ± V е2 (1 — Q>2 +4CQ тт _ 2/. ,2 .

ХХ1 Л2 =— 9 —— — • При q<0 и с<0, с2 (1 — д)2-Ь

+ 4cq>0, а потому оба корня вещественны. Так как первый член отрицателен, то отрицательный корень будет большим по абсолютной величине и он будет определять знакопеременный характер решения, как в простой паутинообразной модели. 2. Характеристическое уравнение то же,

что и в предыдущей задаче; 0 <Сс==~~~ < 1- При q>0 оба корня вещественны, наибольшим будет положительный корень. При q = 0, = 0 и А,2=С, Т. е. pt=Рос*> как в простой паутинообразной модели. При Q—1

It

Хх, 2 = ± Yc и Pt = c2 {А+( — !)'}• Решение будет затухающим и знакопеременным. 3. При Я > с< —1 и доминирующим членом будет

р1==с—У с2 —1<—1. Отсюда pt будет знакочередующимся и взрывным. (Ъ — а)< 0, если (— Ъ) >( — а), т. е S понижается и круче, чем D, что нереалистично. 4. Модель II из 1.7, упражн. 2, имеет характеристическое уравнение р2 — (2 + ^я) p-j-(l + ЯЬ) = 0, колебательный характер будет при

5.7 1. Отставание на два промежутка времени, равносильно единому

(стр. 164) запаздыванию. 2. Характеристическое уравнение: А,2— (1 — с2) X — с2 = 0.

Отсюда Ki — i. К2 =— с2, т. е. доминирующий член есть yt -* постоянной, определяемой начальными условиями. Проверить: любая постоянная Yt удовлетворяет уравнению, и сбережения равны нулю. 3. Решение yt = =Ах%[-{-А2к2 дает Ах-{-А2 = у0 и А^-^ А2%2~ уъ откуда получаем требуемые значения для Ах и А2. Хх есть положительная дробь, и"первый член AxXt является доминирующим, т. е. знак Ах определяет, стремится ли yt 0 через положительные или отрицательные значения. (— А,2) является положительной и вообще малой величиной, а потому знак ух более важен, нежели знак 6.1

1. Л>0 при всех г, когда уравнение R=0 имеет комплексные (стр. 169) корни; R >0 для всех положительных г, когда уравнение R=0 имеет два

вещественных отрицательных корня. Трудности представляет случай R — 0 с двумя положительными корнями; здесь г меньше, чем меньший из корней, при котором еще Я> 0. 2. Колебательное движение будет, когда w=v— с2 заключено в пределах (l — Ys)2i — y*w или если Y~s >Уйі—і. Следовательно, s>(l— У w)2 для колебаний, например, для да=0,75 s >0,018. 5. Когда s = 0, то w= 1 и колебаний нет. Если sr=x 1 — с = 0, то с = 1 и конечно-разностное уравнение (2) в тексте превращается в требуемое данной задачей. 6.2

1. Решая характеристическое уравнение (2) при данных vx, s и с2, (стр.173) получаем, что Лг==0,96 ?и А2= — 0,01. Отсюда решение уравнения (3)

будет yt = АХ (0,96)* + А2 ( — 0,01)* 0, движение затухающее, yt медленно стремится к нулю (ш<0). 2. Решая первую часть неравенства, имеем S —yrs<0. как и должно быть, если 5 правильная положительная дробь. 1 —sОбозначение ш при наименьшем периоде равно

2л

1 — s, которое находится в области (II). Самый короткий период — ,

Qm

627

40* где cos Qm = V~ l — s= У 0,15 = 0,5 |/3. Отсюда Qm =, и самый короткий период равен 12. 3. Характеристическое уравнение имеет'вещественпые корни їй w. Возможны только решения I Ь и IV (см. текст). 4. Характеристическое уравнение имеет два равных вещественных корня. Если w = (l-\- У^)2, то A,= l-|-У*; если w={ 1 — то X= 1 — Ys- Отсюда и искомое реше

ние, даваемое в тексте задачи. 5. Из предыдущего упражнения следует, что при ay = (l zb V^5)2 множителем в формуле для у\ явится (і і У > т. е. в одном случае (при знаке минус в двучлене) положительная дробь, меньшая 1, и в другом (при знаке плюс)—большая 1. 6. В уравнение (1) текста подставляем yt=Yt—?t — \\TYTT а вместо Yt, Yt-i и Yf_2 их выражения через Y0 и Q но формуле УT=Y0 (1+ ())'. Регулярные колебания в yt: отклонения от тенденции постоянной амплитуды; в r\t: отклонения в % от тенденции постоянной амплитуды (т. е. фактические отклонения возрастают по амплитуде вместе с тенденцией). 6.5

1. При 5 = 0,25, условие (5) для возникновения колебаний дает Гстп 179) 1

1 — о

1 к

к< -у. 2. s > (из неравенства (6)). 3. Производство для запасов,

замещения ранее уничтоженных запасов. Характеристическое уравнение (2) из 6.2 будет А,2 — 2сА,-(-с=з0, его корни: с ± і У с (1 — с); Следовательно, колебания yt будут затухающие. 4. Положить Yf=Cf\- -1 -IT, YT-I — CT^T + LT-I и таким образом YT—YT-I выразить через У и Д. Затем исключить (Rt — Rt-i), подставив его значение, равное v (Yt-i — 6.6

1. Характеристическое уравнение (2) из 6.2 при w= 1 будет: (стр.182) А,2—(2—s) А,-|-1= 0, откуда a = 2 — s и 6 = 1. Из (8) в 6.2 следует, что

1

при ш= 1, г = 1 и cos 0 = 1— -g-S.

(стрЛ86) При пеР11°Д = "^р::::=^ затухание при г = У —w, являю

щемся обычно малой дробью, если только и совсем невелико, а запаздывание потребления значительно. 2. Кривая / (А,) будет иметь максимум ниже OA,. 3. Приравниваем нулю производную от /(А,), т. е. решаем

уравнение /' (А,) = ЗА,2—2А,—ш = 0. Получаем У1 + 3w). При

А,=4- (і + ]/"1 +ЗШ), вторая производная положительна, т. е. это реше-

и

I

ние соответствует минимуму. Подставляем величину = {\-\~У

о

в функцию /(А,) = А,3— А,2—wX-^-w и получаем ее минимальное выражение,

16 ^ —16 указанное в задаче. При а; = -gy , минимум будет равен = .

6.9 1. Первая производная g (Я) дает А,2=1 и h=±: 1. Вторая производ-

(стр. 189) пая равна (— 2а>2Аг3). Если ш2> 0, то максимум будет при А,= 1, он равен 0.

Минимум будет при А,= — 1. При ш2 < 0 максимум будет при А, = —1, минимум—при А,= +1, т. е. максимум и минимум поменяются местами. 3. Подставить А,=—1 в характеристическое уравнение (2) и решить его относительно w2. Левая часть должна делиться на А. + 1, а в частном должно появиться искомое выражение. 4. При 5=0 уравнение (2) удовлетворяется значением А,= 1 и, наоборот, приА, = 1, 5 = 0. При А,= 1 в yt появляется аддитивная постоянная. Так как левая часть (2) должна делиться на (А, — 1), то получаем (учитывая, что при А,= 1 5=0): A,2—wx% —

— w2 = 0 (ибо. w = w1+w2). Его корни: k = ^ (Wl і Vwl+їщ)* 5. Характеристическое уравнение для zt будет, как в упражн. 4: А,2—а^А,— w2=0. Аддитивная постоянная исчезает, когда берется разность zt. 6. Подставить в уравнение (4) текста w = wl-\-w2. 7. В уравнение (4) подставить w = wi-\~w2. При 5 = 0 получается упражн. 4. Для > 0 и ш2>0 кривая / (А,) подобна уравнению (3) в 5.7 (см. рис. 10); кривая g (А,) есть гипербола, подобная той, которая на рис. 15. 8. Подставьте w = w1-\-w2 в уравнение (1) и получится уравнение, требуемое в задаче. 9. Первая производная от F (А,) (см. предыдущее упражнение) равна ЗА,2—2А, х

х откуда A,j = 0 И . Так как вторая произ

водная от F (А,) при А, = = т. е. равна положительной ве

личине, следовательно, А, соответствует миншкуму.

7.2 2. Если К < К, то начальная точка лежит между А и В (умерен-

(стр. 196) ный дефицит) или слева А (более значительный дефицит). Первый шаг к точке В, тогда цикл BCD А ... 3. Независимые затраты (потребление, капиталовложения) могут войти в член, выражающий технический прогресс. 7.5

1. Если а и к малы, то Ь = а-\-к будет также мало, a In Ъ отрицатель- (стр.205) но и велико по абсолютной величине. Следовательно, А —а — 1п&>1,

и будут существовать два вещественных корня Q (рис. 21). 2. Рис. 22 (для ^>1) показывает, что самое меньшее значение со>2я. 3« А = 0,405

я

(In 1,1 = 0,0953). Из рис.32 видно, что, при со = —, / (со) А. а= In 6-f"

. я _ . я

sin— 3sin

= + —— = In 1,1 —j-In — = — 0,0946 и a^

(0 ля

"З"

^—0,1. 4. 6=0,7 (In0,7=—0,357), Л = 0,857. со здесь меньше, чем в упражн. 3, следовательно, период будет больше, а а ближе к нулю. 7.6

1. После подстановки в уравнение (5) текста I — I0eQt получается

(стр. 207) о а о Q+P хг

условие Q = aey—р или = у ^ г . Условие касания прямой и кривои

— равенство наклонов прямой и касательной к кривой: eQ=— или Q — —In a.

Подставляя в первое уравнение, имеем А — р—lna=l в качестве условия касания. При А < 1 или р < In а вещественных корней нет, а будут только комплексно-сопряженные. 2. Р = АУ-|-}л для постоянного К и fx. Уравнение (1) будет + = (4) будет В = а(1 —с) (XY+|i)+...; (5) не

изменится, кроме постоянных. 3. Если ф есть среднее запаздывание, взве- _ лг/. ч У(0 — cY(t — -ф) _

шенное по с, т. е. У (t — ф)=—UL-j— . В таком случае (1) превра-

щается в У (t) — ^ 1—. Отсюда уравнение, непосредственно предшествующее (5), становится /(?-[-0)=... выражению в /(? + ф), т. е.

— ф)=... выражению в /(?). Запаздывание в (5) уменьшилось от 0 до 6—ф. 7.7

1. Уравнение (3) для этого случая может быть записано так: (стр. 213) ?>Y+KSY = (D+K)A. При Woo и Л-постоянной,

DA = 0, и это уравнение превратится в DY—QY = — q . Интегрирующий множитель для этого уравнения будет |ы = е ^ ° =e~Qt. Тогда общий

Qdt (»

интеграл находится по формуле У = е J \ Q\idt, где Р= — Q и Q =

о

А

= — о — . Подставляя эти выражения из дифференциального уравнения

і

формулу, получаем: У=eQt ^ ^ — Q-^-4) e~Q/ dt= — q-j- eQt

0 Q

0

= —eQt (e~Qt—1)=—(1 — eQt), где Q~———. Если x—>oo, TO Q = — .

S S — S V

Уравнение Харрода —Домара при Q=— И постоянном А будет DY — QY=0

[см. (2) в 3.3]. 2. Подставить в решение примера (б) в тексте А=—1 и заменить радианы градусным измерением, а затем применить формулу приведения sin (я—90°) = —cos х. 3. В (4) положить /?1/?а = 0,2± Ю,98. N

7.9 5. Уравнение предыдущего упражнения при заданных параметрах

(стр. 223) будет 18?)2У4SDY + 288У = 64 (Z>-)-2) Л с устойчивым уровнем^ ,

как в примере (а). Корни уравнения />3-j- 18/?2-f-48/?-l-288 = 0, определенные графически: ^ = 16,13; —0,935 ±i4,12. Y (t) имеет сильно затухающий монотонный член и умеренно затухающее колебание (а= —0,935) с периодом

2л

-4-J2 *** Колебание слабее затухает по сравнению с примером (а) в тексте.

6.' D*Y + i8D3Y+ASD2Y+2SSDY + 256F = 64i> (D+2) А с устойчивым уровнем Y — 0, как в примере (б) текста. Корни будут: /?= — 1; —16,06; —0,47 ± г 3,96. Y (t) имеет два монотонно затухающих члена и умеренно

затухающее колебание (а=—0,47) с периодом =1,6, т. е. колебание

о,Уо

затухает слабее, чем в примере (б). 8.3

1 со (стр. 234)* 1- Д™ Q = и tgq> = — '

t

Y= ^ Aeat cos (сої 4-8) dt — вещественной части Q6T"i(PZ=—Z. о

Интегрирование производится по частям. 2. / (t)=Y* (*) = (ePlt-\-eV2t).

Pi—Рг

Преобразование Лапласа дает (см. изображения элементарных функций):

р{ 1 / 1 1 Л 1

Р1 — Р2 \P—PiP—P*J p2 + ap+b '

так как из соотношения следует D=p. 3. Случай резонанса. 4. F (р) = 1 1

= = для р = ісо(а=0). Отсюда получается геометрическое

1 —со2 2со

место точек с координатами и —. При изменении о)

t

получается кривая III на рис. 29. 6. Y = ~ ^ Z dt. Подставить

t—2т

Z== A cos (со*4"8) и проинтегрировать. 8.4

1. Цепь с мультипликатором без запаздывания имеет передаточную функ- (стр. 237) цию F2(p) = c. 3. В заданной точке F (р) различна в соответствии с целью,.

для которой она вычисляется. Но F(p)=! 1 дает то же самое уравнение; здесь Ft (p)-\-F2 (р) = 1 получается и в тексте и в этом упражнении. 8.5

1. Кубическое уравнение относительно р не может иметь больше одной (стр. 241) пары сопряженных комплексных корней, т. е. самое большее одно колебательное решение. 2. Для двух колебательных решений необходимо, по крайней мере, уравнение четвертой степени относительно р.

8.7 , F,(p) , F2(p)

(стр. 245) ' і—f (р) ^ 1 — F (р)' Н° Т0 ЖЄ самое Р пол>чится ПРИ подстановке

вместо той или другой единицы (см. 8.4, упражн. 3). 2. При мощности

V ?

акселератора (v—g) соотношение (1) имеет коэффициент-—= к— к'

вместо к. (2) становится

а = 2 (А: — к' — 1), о)=2 /(к — к') (2 — * + *').

а это эквивалентно (4). 9.1 1. Для первого индивида уравнения будут:

(стр. 251)

или aiXl+hiyi==(hlXi+biy^Р

и

б) ^ (л:х — ^і) + (г/і — 2/і) = 0. Решая эти два уравнения, получаем

.(biP—hj) (344-У1)

ах-2 hlP+blP*

Общее решение будет

(h и к \ 3ЧР~\~Уі . / ^ ^ЧР+Уі

Xi^KOip — hi) - , г/1 = («г— Ъ »

ГХ 1 і

где = — 2к1р-\-Ь1р2 (i = 1, 2, ...). 2. Первое уравнение из (И) сводится к х1-\-х2=х1-\-х2. При подстановке результатов упражн. I получаем для первого товара

(ЬгР-hJ

Другое уравнение удовлетворяется автоматически. Так как Рг и Рг являются квадратическими функциями, то уравнение относительно р должно быть 4-го порядка. Но коэффициент при члене с /?4 равен нулю, а коэффициент при вообще говоря, не нуль, т, е. уравнение будет кубическое. Произведение его корней, как это известно из высшей алгебры, равно

Постоянный член ^2) а1^2У2,

Коэффициент при р* ~ Л^+А^+^МУх + Уа)

еслр аи а2, Ьъ 62—отрицательны, hx и h2—малы. В таком случае по крайней мере один корень /?> 0.

(CTp. Z06) г і г і гіг

—Xri) — 2 — 2 Pt^t' Первое слагаемое равно 0 в силу (16), сумма второго

s t

и третьего равна нулю в силу (На) и (Иб). Суммируя условия сбалансирования бюджета (16), получаем

0 = 2 2^ = {хп — *п)=[ъ силу (III)] = 2^yr>

і г г г г

т. е. если соблюдается (III) для г = 1, 2, ...,(«г — 1), то оно будет также справедливо и для г=т. 2. Одно и одно из уравнений (III) сни

мается; таким образом, одним уравнением и одной переменной будет меньше; совместно с положением равновесия. 3. ри и Yu появляются только в двух добавочных уравнениях, которые служат для установления этих переменных при подстановке р и У из других уравнений.

9.3 3. (Па) дает —хрх=—уру — архру> (Иб) дает xy=az. Отсюда z=архру.

(стр. 256) 4. Спрос первого индивида (ul = a1x\-\-2h1x1z1\'b1z§\

= {ЬіРх — hx) R+pp*x ; Уі = о; = — hlPx)R^xX , где Р1 = а1 — 2hlpx-\-bip2. Аналогично для второго индивида:

*2=0; y2 = (b2py — h2)-?jfL.; z2 = (a2—h2py) .

Г 2 "2

Рыночные условия (х=^=хх—х, у—у2—у) суть два уравнения относительно

цен (р). 5. Уравнения (И): — = — =— 2az и xy = az2> Отсюда

Рх Ру 1 1 РхРу = ; —хрх= —ypy=—z.

Таким образом, R = xpx-\-ypy~\-z=0. 9.5 1. Напишем условия устойчивости для трех товаров:

<1>? (Wi)-^. 0.

<2>?<Уг-Х2) = а21+а22 g+^g-O.

Найдем ^ и ^ из уравнений (2) и (3) и подставляем в (1): аР і аР і

\

а11 П12 а13 «21 а22 а23 а31 а32 а33

>0. Знаменатель здесь положителен. Значит,

«22 а23 а32 а33 I

а11 а12 а13

>0. 3. Отно-

Л21 я22 а23 аЫ а32 а33

для совершенной устойчивости должно быть

А dPl

шения детерминантов положительны, это требуется соотношением:

9.6 2. Проще всего воспользоваться определителями (см. далее, 11.9 и

(стр. 263) 13.2). Если Л = |аГ8| и Ars суть алгебраические дополнения, те

X и - Пруаданно*

Хх)>0 и 4П>0, Л>0 (устойчивость по Хиксу),^^< 0 и имеет

знак (— А12). 3. Пренебречь а23, a31t принять а33>0 (устойчивость); таким образом, ^^ соответствует знаку а21. Но если а23 и а31 велики и имеют один

и тот же знак, тогда ^^ может быть отрицательным, даже если а21 положительно. Аналогично будет, если а23 и а31 — противоположного знакаг и а21 — отрицательно.

9.8 1. На единицу продукта затраты: первого фактора а19 второго а2.

(стр. 271) Тогда имеем ух (единица продукта) = . При у — ухк получаем, что

(а^а^-ау^Оиялу^-^ к2 = УіХ2. 2. Уі= l/^-2 ; = =

и г сI Х2— u2ftj

у2 = а^~%2\ у==Ху1. 3. Если / — однородная функция степени г: f (кх19

кх2, ..., кхті %уг, Лг/2, ..., %yn)=Xrf=0. Следовательно, одна из переменных есть однородная линейная функция от других.

10.3 1. Задача сводится к нахождению минимума функции Y =р1х1-\-р2х2,

(стр. 281) ,/- у ,

если у хгх2=-^ (/>!, р2, у и к—заданные величины). у2 у2 у2

= ^ = Y==Pi Щ+р2*2' Дифференцируем по х2.

У2 о Рі у2 1 , /Рг у2

отсюда А=й т » •l^J^l *.= «?». W '."Т V Й 1

4-/й- 2.

Для линейной однородной производственной функции все кривые постоянной продукции подобно проведены относительно радиуса от начала 0 (см. 9.7). 3.

Условия (I) суть соотношения между выпуском и конечным спросом; (II) подразумевает, что заданные цены и ставки заработной платы должны быть совместны с техническими условиями производства. 10.5

1. Правая часть уравнения (VR—VR) представляет собой часть продук- (стр. 284) ции отрасли г, потребленную другими отраслями (см. итог выпуска, распределенный по отраслям в табл. 1). 2. Воспользуйтесь итогами из табл. 1. 3. Итоги суммирования по столбцам равны нулю. 10.6

1. Выпуск при равновесии определяется совокупностью следующих (стр. 287) двух уравнений:

Хх й12Х — d2iXi~\-X2=x2. Решая эти уравнения, получаем решение (значения выпуска): _Хг-\~а12Х2 т v _ «21+?2 .

•а1 — і і а 2—л >

1 — #12а21 «12^21

= 1 — а12 а21\

аналогично находятся решения для рг и р2, . 2. А = \ 1 "У

I —«21 1

Atl = 1, А12=а21 и т. д. (см. упражн. 1). 3. Воспользуйтесь результатом (см. 11.9 далее), умножая строки или столбцы детерминанта на постоянные множители (здесь цены). 4. Цена товара, деленная на ставку заработной платы, равна приросту занятости, деленному на прирост конечного» спроса.

10.7 1. Попробуйте решить пару уравнений для Хх и Х2 при произволь-

(стр. 290) ном Х3. Результаты будут несовместны, если только определитель третьего порядка не будет равен нулю. Если определители второго порядка также- нули, то Хх и Х2 неопределенны. 2. Суммирование матрицы по горизонтали и по вертикали дает нуль. 3. Из (I) т- е- суммирование элементов матрицы по горизонтали дает нуль, когда элементы столбцов умножены на Vx, V2, ...

10.9 1. Если раскрыть указанный в упражнении определитель, то придем

(стр. 297) к квадратному уравнению (2) относительно X. 2. А1= 2 10 —^ ,

#2—

Л2 = 1 10—, так как ? = 0. Аналогично для (7) при kx = i/a12l к2 — к. кх—к2

3. 1 —а12а21 = 0 представляет условие однородной (замкнутой), системы, а не какой-либо иной. Примите 1 — а12а21=0, т. е. а12= 1/а2і» так что Вх— аХ2В2=схиВх—аХ2В2 =—с2/а2Х. Следовательно, Вх : В2 дано только при условии, что сх =— с2/а21. 4. Испытайте решение Xx = Bx-]-Bxxt, X2 = B2-\-B22t и найдите все В. 6. Испытайте решение Хх=Вххе^хі + -\-ВХ2е^, Х2=B2Xe^xt+B22ea2t и найдите все В. 8. а12 = я21 = 0: производство товаров без затрат; Ьп = &22=0: нет запасов товаров в производстве; ЬХ2 Ф 0, Ъ2Х Ф 0: запасы одного товара необходимы для производства другого. 11.4

1. Вектор (2, 2, 2)>(1, 1, 1). Остальные соотношения вида > (стр. 307) 2. р>0; это характеризует случай, когда цены неотрицательны, но по

крайней мере одна положительна. Первый вектор р ^ не пригоден как допускающий возможность исчезновения всех цен. 3. ОР и ОР' равны по величине и противоположны по направлению, т. е. диагональ сжимается в точку О (начало координат), которая представляет нулевой вектор. Если ОР есть а, тогда ОР' есть ( — а). 11.5

1. Из аналитической геометрии известно, что уравнение прямой АгА2 (стр. 312) xx-\-x2 = i. Точка (хх, х2) лежит на этой линии между Ах и А2, если

#2=1 — хх, где O^tfx^l. Требуемый результат получится, если положить хх — ц (0<|А< 1). 2. P имеет координаты

xx=iix[»+(i-ti) *<2>, #2=ц41>+(1-Ц)42>. Таким образом

РР\ = (1- ц)2 {(* - х<2>)2+(х™-х™)% рр\=Ц2 - 42>)2+(4» - 42>)2},

т. е.

P2P:PPx = li:(\-li) 11.6

1. Матрица (а)—диагональная и скалярная (см. упражп. 2); (б) — сим- (стр. 316) метрическая, полученная из единичной перестановкой второй и третьей

строк (см. упражн. 3); (в) — кососимметрическая матрица; (г) — ортогональная. Если в формулах, выражающих новые оси прямоугольных координат через старые (ух = хх cos 6 + я2 sin 0; у2 = хх sin 0-j-#2 cos 0), вместо 0 подставить угол 45°, то матрица коэффициентов в формулах перехода к новой системе координат совпадает с матрицей (г) этой задачи. 2. Общий вид скалярной матрицы будет Яі = Л[6Г8], где I — единичная матрица. Матрица (а) представляет скалярную матрицу. 3. Единичная матри

ца 3-го порядка 0 10. Если переставить в ней вторую и третью

L 0 0 1 J

строки (столбцы), то получим симметрическую матрипу (б) первого

г 1 0 0 -1 0 10. L 0 0 1 J

), то получил

[1 О 0 1 г 1 0 0 и г а1 а2 Ьг Ъъ Ь3 п

А 1 0 и К3 = 0 10 5. 10000

о о і J L о о * J L 0 1 0 0 0 J

I — второго порядка, 0 — размерности 2x3.

п п 11.8

5. Линейные формы будут иметь вид ars У! Ь8іУі—У) У! (стр. 320) b~i (=i S t=1

n

Коэффициенты при Уі будут 2 arsbst = crti т- e- МЫ получим т линейных

8=1

форм с п переменными. 11.9

1. (а) 8; (б)-1; (в) 0; (г) I; 2. (J) =1,1.1... 1 = 1; і а | = ах | an_! | = (стр. 323) =аха2\ ъп_2\~аха2 . . . ап. 3. Если прибавить к элементам первого столбца (строки) элементы двух других столбцов (строк), то получится определитель с первым столбцом (строкой) из нулей. Второй определитель равен

1 — За1052а106 = (1 2а) (1 — а)2. Он обращается в нуль при а = —™ и а = 1.

4. При а = Ь величина определителя =0, значит, (а — Ъ) является множителем в выражении определителя. Аналогично и для других множителей- двучленов. 5. По определению перекрестное произведение элементов ортогональной матрицы равно 1, но этому же должен равняться и определитель, построенный по ортогональной матрице. 6. Разлагаем определитель D> заданный в упражнении, по элементам первого столбца. Получаем D —

= а1 Z =я1а2«з- Отсюда видно, что прочие элементы определителя пе U а3

оказывают влияния на его величину. 7. Если этот определитель разложить по элементам первого столбца или первой строки, то результат равен 1. 8. | Ers | — определитель, образованный из единичной матрицы, в которой взаимно переставлены г-я и s-я строки. На основании свойства IV, в результате такой перестановки величина определителя меняет только знак. Для | Кг | разложение будет давать везде 1, кроме элемента агг = к. Поэтому и величина этого определителя будет равна к. 9. Разлагая определитель А матрицы А, получаем 2х— 1. Определитель, составленный из алгебраических дополнений всех девяти элементов первого определителя, будет — X2 х—1 X

= 4а:2—1 = (2х — I)2, то есть | Ars | =А2. Но это будет

х — 1

1

1

я 1 —1

иметь место только для определителя 3-го порядка. 10. Воспользуйтесь сформулированными ранее свойствами (II) и (VI). DB =

-3" 12

-г

-3 —3 8 10

12.4

1стр. 340)

12.1.

стр. 329)

1.

есть рациональное число; аналогично для

! Р2 _M? + Ml

Яі Я 2 01(72

других действий. 2. (а) Результат деления целых чисел выходит из области целых чисел; (б) результат деления целых четных чисел не принадлежит к области этих же чисел; кроме того, это множество не имеет единицы, (в) Результат сложения, вычитания и деления не принадлежит к области целых нечетных чисел. 3. При отсутствии закона коммутативности а (Ь-\-с) = = ab-\-ac и {Ъ-\-с) а — Ъа-{-са ф аЪ-\-ас. 4. Сумма и произведение таких чисел суть числа той же формы; аналогично для вычитания и деления.

12.2

(стр. 331)

12.3

(стр. 334) 1.

хА не определяется, нет скалярных произведений. 2. Матрица А размерности 2x3, х — трехмерный вектор. 3. АВ не определяется. 4. ВА не определяется.

Левая часть равна 2 J ~~ 1 1 11

11 1 и А — В = 2 11 1

то есть правой части

'1 01 _ Г1 0"

0 1J Lo 1

5. При к — р: рА =

А + В = 10 =А+А+

~— 4 —3 — 2Ї — 1 0 1 2 3 4_ (р членов); при q (p/q) А=рА и т. д. и DBAC могут быть определены, но не CDAB. 9. В2 =

"От) 1

Cn= а2пЬп

умножая снова на В, получим В3 = 0. 10. С — а?Ъ

И. (А + В)« = (А + В)(А + В)=А(А + В) +

0

+В (A+B)==A2-f АВ+ВА+В2 и т. д. 13. Применить обозначение для блочных матриц из 11.6 (VIII); проверить, что произведения вида х'Р

согласованы; умножить АВ на квадратную матрицу 3-го порядка в блочной форме

12.5

(стр. 342)

1. Доказательство свойства (III): (АВ)' = В'А'

Элемепт на месте (гр) в В' есть Ърт. Элемент » » QPS) » А' есть asp Следовательно, (гз)-й элемент в В'А' = ? bprasp = (rs)-& элемепт в (АВ)'.

"1 2 31 Г1 4 71 Г14 32 501

3. АА'

4 5 6 x 2 5 8 = 32 77 122 = симметрической матрице. 1 8 9J [3 6 9J L50 122 194 J

12.6

(стр. 346)

1. ху' = [(#rys)] порядка п\ ух' — транспонировано по отношению к ху'. На вторую часть задачи—ответ положительный: можно получить ху' и ух' размерности пхт или ту. п. 2. xx' = [(a:ra:s)] есть симметрическая матрица и-го порядка. 3. Например, х'С = [14 16 18]; затем х'Су—28. 4. х'Ах= Г1 1 .. .. г 2 2 arsxrxs> 1 .. 1 ;Ш {1} Г S 1/ 1 .. . 1_ [1] і {1}=[1] {1} = и, см. также х'Іх из упражнения 4. 6. %х—\ (К2х2) I; х'^ = [(А,1а:1) (X2a:2) • • -її что является суммой элементов

_ _ V

в їх и в х'%. 7. X должно быть порядка т в ХА; порядка п в А%. 8. Порядок I будет соответственно 1, п и 1.

12.7

(стр. 351)

2. | А |=6—1 = 5; Аг1 = 3, г 3 —1-

тель каждого произведения матриц равен 9.

l.AB-fJJ]; ВА=[^ J]; AC = CA=fJ J] . Определи-

Щ

5 2_ 5

А А

"1 — а —г 0 1 _0 о

= и т. д.

2. Первое: из 2-й строки вычитается первая и из третьей вычитается первая, умноженная на 3/2. Второе: берется х/4 первой строки. 3. Каждая

5 — 1 . 5

= 2. А-і =

Л12 =

-і; л*

[

1 1

. 4. Написать А"1 = IA"1 = ВАА-1=

3. Ъ'1-

12 8 (стр. 356)

[1 0 01 0 0 0 . 0 0 oj

4. Элементарные преобразования оста

приводится к матрице

а —61 ? вляют всегда по крайней мере один ненулевой элемент, исключая тот случай, когда отправляются от 0. 5. Выделить ненулевой элемент и соответствующий ему отрицательный элемент; присоедините два элемента из диагонали, чтобы получить субматрицу ? д qJ с определителем, величина

которого равна а2 ф 0.

12.9

(стр. 361)

1. Вычесть первый столбец из второго и третьего, чтобы привести матрицу А к I, а затем I—к А"1. 2. 0 = А-Ч) = А-1АВ = 1В = В, если А—неособенная матрица. Аналогично А = 0, если В—неособенная. Но если и А и В—особенные матрицы, то АВ может тем не менее равняться 0, в то время как ни А, ни В не будут нулем.

3. АА'

, Г cos6 sin Є "1 rcosO — sin 0 1 j ~~ L— sin0 cos6J Lsin6 COS0J-

г 1 In

У 2 У 2

4. Воспользоваться равенством AA' = BB'=I. 7.

есть ортого-

-1 1

у 2 угл

нальная матрица; значит, ее транспонированная матрица и ее обратная ма- трица—те же самые. 8. Матрица Ал получена путем той же самой перестановки строк, как и столбцов, так что элементы главной диагонали А остаются на главной диагонали в Ая, а элементы вне главной диагонали так и остаются вне ее.

13.1

(стр. 367)

13.2 (стр. 374)

1. Сложить векторы, как на рис. 37, и применить метод рис. 40. 2. Покажите прежде всего, что ранг матрицы равен(—3); следовательно, нет линейной зависимости (определитель не равен 0). 3. Ранг матрицы равен 2. Транспонированная матрица также ранга 2, но имеет две зависимые строки и один зависимый столбец. 4. Применить H(rs) из 12.4.

1. Только значение х2 = 0 совместно с уравнениями. Первая совокупность: матрица системы имеет ранг 3 и яі( = 3)< и(=4). Решение существует: хг =—2хъ\ х2=х^=0 (при заданном а?3). Противоположное в примере (б). Вторая совокупность: матрица имеет ранг 3 и лг( = 4)>гс ( = 3). Решения нет. Последнее уравнение несовместно, ср. пример (а). 4. Выразить А"1 через алгебраические дополнения А, по определению. 5. Вычтем из второго столбца первый и из третьего — второй, получаем

а — Ь—с а-\-Ь~\-с 0

2 Ь —а — Ь — с а-\-Ь-{-с

2 с 0 —а — Ъ — с

Раскладывая по элементам первой строки, находим (a-j-b+c)3. Решение только в случае a -j- 6 -j-c = 0. Тогда подставить с=—(а+6) и решить. 6. Третье уравнение то же самое, что и первое. Отбросьте его и положите ж3=1и я1-)--2а?2+1=0. (а) Решение изменится по величине, но будет той же формы, (б) Расширенная матрица будет иметь ранг 3, решения нет; третье уравнение будет несовместно с первым. 7. Здесь даются только два уравнения из задачи 6. Отбрасывание первого (или третьего) уравнения системы из задачи 6 не изменяет решения. 8. Отбросьте первое или третье уравнение, и получится неособенная система. Подставьте решение задачи 3 в добавочное уравнение (?i-r#2+#3== 1) Для получения решения ЛГх = 1г х2 = — 1, х3=1.

13.3 (стр.* 380)

,; они связаны соотношением уг =

Л Г""1 ! ?1 ГО 0 П

J І-І _; Н і J-

3. Отбросьте уг или г/3; они связаны соотношением уі=2у3 при совме-

то есть z1 = x3t

стности.

.4. z=J1/2 1/2 ^ L і і і

г2=хг-\-х2-{-х3.

13.4

(стр. 385)

1 —Л —1

— 1 1-Я, рица, характеристическое уравнение

1. Определитель для нахождения корней первой матрицы |А—AJ| = , отсюда характеристические корни: Я = 0 и 2. Вторая мат- Отсюда А, = 1 и 1 ± . 3. рх равно сумме определителей первого порядка V 2

(главная диагональ) от А; р2 равно сумме определителей второго порядка того

1 / 1 \

же типа. 4. Транспонируйте А (А—ЛІ)' = (А—ЛІ) А' = —( А'—у I j .

1 /IV 1 '

Таким образом, —j- А (А — XI)' = ( А' — j- IJ =А'—

13.5 (стр. 392)

[Jo]-

-неособенная. 4. Матрица

2. Q = (x1—x2)2 = 2yl. 3. Матрица

0-Х

1 — 2

имеет положительные характеристические корни 1 и 1 ± (см. 13.4,

упражн. 1). 5. Сумма корней равна рг\ сумма попарных произведений корней равна р2\ произведение корней равно рь. Все р положительны, если корни положительны, и обратно. Выразите затем р, как в упражн. 3 из раздела 13.4. 13.6

1 и 2. См. 13.4, упражн. 3, и 13.5, упражн. 5. <стр. 395) 13.7

1. Применить правило Крамера, см. 13.2. 2. p'A = w' с обратным пре- (стр. 397) образованием p' = w'A_1 как вектор-строка или A'p=w с обратным преобразованием p = (A-1)'w, как вектор-столбец. 4. Сумма элементов r-й строки

матрицы U = WsPs = равна добавленной стоимости в r-й отрасли, 8

см. упражн. 1. Аналогично сумма элементов 5-го столбца матрицы U = />sa;s равна стоимости элементов 5-го конечного расхода. Итог потоков равна 2 wrXr = 2 Psxs равна национальному доходу.

г s 13.8

2. Показать, что 27rs=/?ra;rs =/?rarsZs = (rs)-My элементу в рАх. Первое 4СТР« 400) уСЛ0ВИе: V,[суммируемое по строкам, сводится к нулю, т. е. к рАх {1}=0. Умножая слева на р-1, получаем АХ = 0. Второе условие получаем аналогично из [1] рАх = 0, умножая справа на х-1. 3. А + В имеет нулевые элементы в последнем (гс-м) столбце. В матричном уравнении АХ = 0 прибавить ВХ к каждой стороне. 13.9

1. Если |А| = 0, то несущественно, умножаем ли мы элементы строки <стр. 403) А на ее собственные алгебраические дополнения или на алгебраические

дополнения другой строки; результат будет равен нулю в любом случае (см. правило разложения в 11.9). 4. Испытайте решение Х = С, где С есть вектор, который нужно найти. В этом случае показать, что С = А_1с. 5. Частное решение есть Х^=Х (постоянно во времени), где X есть Х = СХ-|-К, то есть Х = (1 — С)-1 К. Это будет конечным выпуском, если вариация затухает.

14.2 5. Заметьте, что шансы п : 1 указаны числами п на главной диаго-

{стр. 408) нали; другие элементы (—1) представляют потерю ставки. 6. Каждый из игроков имеет 9 стратегий: (1, 1) (2, 1) (3,1) (1,2) (2, 2) (3,2) (1, 3) (2, 3) (3, 3). Платежная матрица 9x9 будет следующего вида:

го —3 —4 2 .. 3 0 0 0..

(стр? 411) 1* Е = Ь х—^ у—По сравнению с примером (а) в тексте,

в этой игре условия для игроков А и В поменялись: А получает от В 1 ф. ст. при тождественности названных чисел и платит 1 ф. ст., когда названы разные числа. 2. Так как Е (#, у) = аху-\-а$х-\-аау-{-аа§-\- то, сопоставляя это выражение с общей формулой Е (х, у) в тексте, получаем соотношения а = ап — а12+а22; а$ = а12 — а22; аа = а2і — я22; аа$ = а22, что при ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ Й, А И Р ПРИВОДИТ К Я22<А21<А11 И а22 < А12< а11*

3. Чистые стратегии х = 1, у = 1 имеют Е( 1, 1) = а (а+1) (Р1)-|-&> 0 и т. д. 4. Ставки: 2 : 1 и 1 : 1. ?=у у) (^""т)—^ ' Последний

член в Е отрицателен, что гарантирует выигрыш «букмекеру» (см. далее

11 ґ 1 \ 14.5), например, при х=~, у=— показать, что ?<0 — -g-J .

5. В соответствии с формулой для Е (х, у) при матрице QJ

(см. пример (д) из 14.2), средний платеж для А будет —я—ЮОу+ІООяі/, следовательно, средний убыток равен #+100г/—100ху. Когда х=1 (всегда страхуется), то Ег = 1; когда # = 0 (совсем не страхуется), то Е2 = 100у> Для того чтобы Е1 = Е2, вероятность быть пожару, г/, должна быть равна 0,01, или пожар должен случаться в 1% всех случаев. 6. A = [ars] для г = 1, 2; s=l, 2, ..., п.

Е (х, s) = xals-\- (1 — х) a2s. В случае примера (ж) из раздела 14.2 матрица 5 б] '

тогда Е(х, s) = 7^—4(5 = 1); 9я—5(s = 2); 5 —9z(s = 3); 6 —lls(s = 4).

14.4 1. Решение: платеж 1 фунта игроку А; первая стратегия для А и вто-

(стр. 415) рая для В. 2. Если игрок ставит на одну лошадь, то скачка может всегда расстроить планы. 4. А придерживается первой или третьей стратегии, а В играет в соответствии с первой стратегией и платит I фунт игроку А. Если случится, что В выберет вторую стратегию, то А выиграет, придерживаясь третьей стратегии, «более оптимальной» (платеж 3 фунта вместо 2).

6. Поверхность имеет седловую точку в Р »107 с Л Л', как линией

стока, и ВВ' как линией гребня вместо другого—перевернутого—положения (рис. 42, а). Е имеет знак не тот, который нужен для игрока А—для А нужно (—.?),—но благоприятный для игрока В1).

14.5 1. Е есть (3) из раздела 14.3. 2. E=(3x—2) (2у—\) + 1; цена игры = 1.

(стр. 419) ^ х* = 0, цена игры = 1. Если А играет необдуманно и приме

няет вообще первую стратегию, то В выигрывает, концентрируя игру на первой стратегии (г/* = 1), которая и есть «наилучший оптимум». 4. Примем (или переставим столбцы в А)

Е = а—(а2—ах)х [У+~—^ \ "2—аіУ

если а ^>а2^>а1 : х* — 0, то 0если а2^>а ^>ах : а?* = 0, то ——— Е — а,

а2—а і

если а х* = у* = і Е = ал

(стр^423) 2* У* =\ 9 Е=\, как в примере (в)текста. 4. аг*=0, -у<г/*< 1,

Е=1. 5. Нанести ВХВ'Х (Е = 2—у)\ В2В2 (.Е=—у); В3В3 (Е=3 — 2у). Исключите В2В2, то есть А не следует второй стратегии. В таком случае

[1 2 1

^ ^ I график

дает 0О*<;1, Е— 1. 6. График для игрока А включает четыре линии

5 1

в плоскости ОЕх. Первая и четвертая линии дают = —, Е=—g-. Но

1

линии проходят близко от х = ~, так что выбор вариантов игры В влечет только неощутимые различия. 14.7

1. Вектор (х, 1 — х) для 0С#<;1 есть отрезок линии АХА2 (см. 11.5). (стр. 428) В игре 2 х п выбор А устанавливается переменной я, а не вектором х.

2. Плоскость есть хх-\-х2-{-х3 = \, то есть #3= 1—хх — х2. Для стороны АхА2 (я3 = 0) х есть (aj, 1 — а?!, 0) и игрок А смешивает только первую и вторую стратегию. 3, 4. Если х(1> и х(2) удовлетворяют (1), то ему же удовлетворяет х. Если Рх и Р2 содержатся в. АхА2А3г то в нем содержится и промежуточная точка Р (рис. 49). Вообще любая выпуклая линейная комбинация точек из X также содержится в X. 7. Примените свойство (I). Если

игра имеет две цены, vx и i>2, взять . А и с А имеют одну и ту же

v2

цену, и таким образом, с = 1. 14.8

2. Первая строка излишняя, так как над ней доминирует комбинация (стр. 433) (средняя) из двух других. Так как игрока В (столбцы) интересуют меньшие

элементы, то первый столбец также не нужен, ибо над ним доминирует есть мат-

Г6 9 3] 20 Г—2 0 01

последний. 3. А=|9 15 0 , цена игры = -^-. 4. 0 —2 0 1

I 9 5 8 3 0 0 — 2J

2

рица преобразованной игры, ее цена v——— . Отсюда цена исходной

о

2 1 2

игры = —( —1) = — . Свойство (Пб) дает —2хх >—— и т. д. Возь-

1

мите все знаки одинаковые: хх = х2=х3 = — (и аналогично для у). В исход-

о

1

ной игре решение содержит одинаковые численности партии, и цена г? = — . Г2 21

3

1 6 5 0

6. Привести к матрице

с ценой 2 (г?-|-1); найти графически t/* = —

о Оптимальная стратегия для А после исключения первой стратегии будет / 1 1 \

V' Т'~2у 7' МинимУмы стРок: ——"Максимумы столбцов: 3,

3, 0, 1. Следовательно, чистые стратегии 6}дут: вторая для А и третья

для В, и игра справедлива (У = 0). 8. Четыре седловые точки ^цена v=-.

Любая комбинация первой и третьей стратегии для А и второй и четвертой для В есть решение. Игра справедлива, если А платит В в качестве 1

компенсации -у .

14.9 1. См. пример (а) в тексте. Можно предположить, что оптимум для

(стр. 439) каждого игрока » » » и Чеиа игРы = -|-. Испытайте это, при-

„ ґ 1 1 1 1 N ' О - И

менив

игру В » "4"» ~jj~J к каждой из чистых стратегии А:

1 1 1 15

+ = у И Т. Д. 4.

Цена игры = 0. Испытайте предложенную оптимальную стратегию для В против каждой чистой стратегии А (как в упражн. 1), найдите цену игры t> = 0 для третьей, пятой и седьмой стратегий; т. е. В применяет стратегии А. 5. Соотношения:

+ + 1 2/І + 2/2+2/З=1

40*! + 150я3 > и 40г/1+30г/2 + 20г/з< v 30хг + 100я2+50я3 > v 100у2 + 250г/3 < v

20^ + 250x2—50х3> v 150г/! +-50г/2 — 50г/3<г;

Успешные пробы дают: 20Х1Аг2Ъ0Х2 — 50#3 > и (г/3 = 0) 40У1+ 30г/2+20г/3< и (хх = 0)

Оптимальные стратегии: ^0, , и , , 0^ ; у=75. 6. Провести

на графике три линии: ? = 150(1 — х); ? = 50(я + 1); ? = 50 (6а;—1) и получить

1 Ґ 1 1 1 1 Л

x = j и ? = 75. 7. Испытайте t>=0 и игру А f —, ~г , , ) против

каждой из чистых стратегий В и покажите, что для каждой из них результат равен нулю. 8. Например, А играет (1, 1), В играет (2, 1) с платежом, который равен половине суммы 3 (выпадение герба при бросании монеты) и 0 (выпадение решетки). 9. А (#, г/)= — 1 (л:= г/ = 0); А (а\ г/> = 1 (з = 1, У = 0); А(х, г/) = 1 (я = 0, у = 1); и А (х, у)= — 1 (х=у = 1). Это даст платежную

матрицу

ГІ-iJ-

15.1 1. (а) Необходимо минимизировать 2 = 6а:1 + 24а:2 = 6 (ЯІ + 4Я2). Мини-

(стр. 442) мальное значение zy удовлетворяющее второму из неравенств (1), будет

\

при #!+ 4х2 = 4, которое при 0<#2<—. удовлетворит и первому неравенству из (1) : хг-\-2х2^> 3. Между тем условие #1+4;г2=4 допускает бесконечное число решений. Можно решать графически: (а) тангенс угла наклона параллельных прямых (постоянной стоимости), когда функция стоимости

z = 6а?!-f~24#2, равен ^—= (тангенсу угла наклона BP). Оптимальный

набор —любая точка BP. (б) Минимизации подлежит выражение г = 6я1-)- -[-30а:2 = 6 (х1-\-5х2). Последнее минимально при я2=0 и хх = 4 (выполнение требования по содержанию белка), ибо всякая замена единицы хл единицей х2 влечет за собой повышение калорийности вдвое, содержания белка —вчетверо, а стоимости сыра—впятеро по сравнению с заменяемой единицей (хлебом). Графическое решение (б): тангенс угла наклона парал-

1

лельных линий численно = -g- < тангенса наклона РВ. Оптимум [будет

в точке В. 2. (а) Минимизировать необходимо 2 = 6аг1 + 12#2 = 6(#1 + 2#2), а последнее будет минимально при первом из условий (1), когда хх-\-2х2—Ъ, 1

причем если х2 > , то одновременно будет удовлетворяться и второе из

неравенств (1). Таким образом, минимум стоимости будет при любой покупке сыра х2> большей 0,5 фунта, если вес купленного хлеба будет

равен 3— 2Х2. Графическое решение: параллельные линии (постоянной

\

стоимости) при цене 12 пенсов или цене хлеба 10 у пенсов, если другой продукт неизменяется в цене, будут хх-\-2х2 — const. Аналогично и в случае (б). 3. Минимизации подлежит выражение z = рххх-]-р2х2 при тех же

1

ограничивающих условиях. Если то z = рх(х1-\-4х^), то есть

х 0 1

минимум будет при ^+4^2 = 4 при любом 2 I Если рг=— р2 или zx =

*21

= Pi (?I + 2#2)> TO минимум будет при любом х2^> — и хх-\-2х2—Ъ. 5. Добавить дополнительную строку к данным таблицы (стр. 440): Углеводов (50 г) 5 1 8

и присоединить к соотношениям (1) еще одно: Ъхх-\-х2~^% и соответствующую третью линию на рис. 50. Заштрихованная площадь будет лежать выше и правее всех трех линий. Точка Р будет все же решением. 6. Добавить дополнительный столбец к данным таблицы (стр. 440) для х3 (мясной фарш): 18 2 3

Задача сводится к минимизации: z = Qxx-\-2\x2-\-\8x3. Ограничивающие неравенства: х^-\-2х2-\-2хг^Ъ и я1-|-4;с2 + 3#з> 4. Для графического решения требуется построение в трех измерениях. 7. Ответы на вопросы в конце задачи зависят от того, могут ли суда быть нагружены частично или нет; также, если задача должна быть обобщена. 8. Одно из ограничивающих условий (хц-\-х12 = а1; х21-\-х22 = а2; xn-\-x2i — b1 п х12-\-х22 = Ь2) следует из других, так как ах~\-a2 = bx-\-b2.

15.2 1. Нанести линии ?i-fg2=6 и 2^+412 = 21 на плоскости

^стр. 445) Допустимые решения будут лежать внизу и налево от этих линий, и оптимум есть максимальное положение на параллельных линиях =

3 9

= const. Решение как пересечение линий будет: —; ?2 = \ 5 =

Z А

1

= 3^+412=22-2-. 2. Например, в упражн. 1(a) в 15.1 будет: h + ?2 = 6;

2?i+4^2 = 24; 3?i + 4g2=niax. Вторая линия будет выше, она пересекает сначала давая решение: gi = 0; g2 — 6; ? = 24. Удовлетворять будет любой рацион в пределах (0—0,5 фунта сыра, 4 — 2 фунта хлеба) с 4 единицами белка по оценке 6 пенсов. Потребность в калориях удовлетворяется при этом с избытком; значит, калории не имеют оценки. 3. Двойственная задача: ? — 3?,4-4?2=max; подчинено ограничениям ?і + ?2<6; 2^ + +4|2<21 и 2^ + 3^ <18. Графически: три линии дают то же решение, что и задача 1 этого раздела. 4. Двойственная задача: S = 3g1+4|a+ + 8?3=max; подчинено ограничениям ?i+g2+5?3<6 и 2?1+4?2+?з<>21. Для решения требуется построение в трех измерениях, так же как в задаче 6 раздела 15.1. 5. и можно истолковать как количество месяце- судов с грузом (ср. порожняком).

15.3 1. Двойственная задача: ? = &і?і + &2?2+&з?з=тах; подчинено усло-

<стр. 449) виям: и аі2Іі+а22І2+«з2Із< Р2- Прямая задача имеет

три ограничивающих соотношения в двух измерениях; двойственная задача— два ограничивающих соотношения в трех измерениях. 3. Матрица игры

ь2 —ь3 о _

2. Матрица = - 0 0 ап 0 0 «22 — «11 — «12 0 — «21 — «22 0 — «31 — «32 0 ~ Pi Р2 -Ъх А2І «зі —Pi

«22 tt32 —Р2

о о Ъх 0 О &2

0 0 &з 0 0 1 1 5 — 6 ~ 0 0 2 4 1 —21 1 — 2 0 0 0 3 1 — 4 0 0 0 4 5 — 1 0 0 О 8 6 21 — 3 — 4 — 8 0 . Для линейного программиро- Двойственная задача из 15.2,

Оптимум (А, о, А)

вания задачи 5 из 15.1: хх = 2, х2 — ~ упражн. 4 дает = , h ' 4. s =рххг +р2х2 +Рзхз=min

аих1~[~ а12Х2~~{~ а13х3^ «21^1 + «22^2 + «23^3 ^ &2

?з=0.

«11?1 + «21?21 « 13^1 + « 23^2 Рз

Матрица = ? 0 0 0 «И «21 — РЇ 0 0 0 «12 «22 0 0 0 «13 «23 — Рз —«11 — «12 — «із 0 0 Ьі — «21 «22 «23 0 0 ь2 Pi Рг Рз -&2 0 ^ 15.6 (стр. 457)

15.9 (стр. 466)

S = biM'i+^2M'2 = max' Ограничивающие условия: «цИ-і Ч'^гі^г+М-з = = /?!, а12\1г + «22^2+ М-4 = />2'

2. Л/ дополняющих переменных в ra=M-f-iV, т = М неравенств становятся уравнениями. 3. В двойственной задаче N дополняющих переменных в группе п'=M-\-N, m' = N неравенств превращаются в уравнения. Прямая и двойственная задачи имеют одно и то же число переменных (M+iV). Число уравнений (и дополняющих переменных) М—в прямой задаче и N — в двойственной.

2* ^108 [o]+*2 [1] = [^431 ^ J ' Таким °бРазом» = и

4Х2 = х2> 3. В последнем секторе симплексной таблицы столбец X есть ^2, и строка для zs есть ^0, 0, , . 4. Двойствен

ная задача легче: ? = ЗА,14-4А,2-|-8Яд=max. Ограничивающие условия: ^і + ^2+5я3-|-а,4=6 и 2а,!-]-4^2+^3+^б = 21. Пространство условий двух измерений ^24 101 21J' Исходные векторы р(4) и р(5) с весами 6 и 21.

Окончательно: Хх = -

9 3

= Я,3=Я,4=Я6 = 0. Таким образом, = ; \2 = —\ g3=0 (см. упражн. 4 из 15.2). В задаче программирования последняя строка для cs—zs есть ^0, 0, 0, —2, . Следовательно,

xt = 2, х2=-^~. 5. Опустить р(4)= . В таком случае любая пара из

["і 0 і] лине®но зависима'» также j^J с любой из других, если

только Ьхф0, Ь2ф0 и ЬгфЬ2. 6. Бесконечное число решений: я2=10—хх и х3=20—хг для любого хх (О^я^Ю). Двойственная задача: ? = 10gx —)—

4-20|2 = max. Ограничивающие условия: 6I + ?2"-= 1. Это определяет \х и \

g2 = — и ? = 15. Методы решения терпят неудачу (излишни). 7. z —

= ЪХ11-\-2Х12-\-ЪХ21+4я22 = min; ххх-\-хх2 = 2; ^11+^21 = 6 и хХ2-\-я22 = 6. Примем ххх = Х. Тогда #12=2—X; х21 = 6—X и #22=4-|-Я. з = 50 независимо от X. Получается бесконечное число решений (0<;Х<2). Симплексный метод неприменим (не нужен).

16.2 (стр. 472)

16.5 (стр.482)

16.6 (стр. 488)

1. Например, х2=—A,1-f-2Lj-f-A,3 = l — 2X1-j-X2 и Х2 суть положительные дроби). Выпуск, если X2>(2A,i — 1).

1. Сравнить рис. 55 с рис. 61. Производственные отрасли (способы) в конусе (А) между OAi2) и вертикалью: оба товара суть затраты (не выпуск). 8. Точка выше и по крайней мере так же далеко вправо, как и другие, то есть при единице затраты труда может быть получено от первого способа больше, не жертвуя хх.

1. ОА(1)А<2\ ОАа)А<3) эффективны (ибо в данном случае первое из соотношений (4) есть равенство, второе также равно нулю, а третье меньше 0). 2. Только СМ(1)Л(2) эффективна. 3. Рі = (1, 0, 2) является нормалью к 0Л<1}Л(а), р2= (— 1, 2, 2)—к 0Л(1>Л(3). Положительное р, например, р==

= » » лежит между Pi и р2. 4. На рис. 52 0Л(1)Л(2> изображена

эффективной. Если АС2) лежит налево от А(1\ то в таком случае будет эффективным только ОА(1К PlWP8 = 16.7

1. Р1 + 2Р2 — РЗ = 0 PI , 9 Р2 О Р2 П . П . о (стр, 491) 2РХ-\-Р2 — = ^ ~jpsT ~РЗ ~ Л'*"1-3

Рі + Р2-Рз<0 р р2 Pl 1 . n

= 1:1:3. * 2.

Для ОА^А™ : 2Л+2/>а—Л = 0,

О _п ЧТ0 дает (из первых двух

і О П уравнений) Л:Л:/>8= 2:1:6

Апалсгичпо для ОА(1>А(3) (из 1-го и 3-го уравнений) : РХ: Р2: Р3 — 1 : 1:4. 3.

См. 16.6, упражн. 3. 16.8

3. Эффективное размещение в точке, подобной С на рис. 68, но ле- (стр. 495) жащей между Л<2) и А(3) и между #(2) и #(3), то есть на грани 6М(2)Л(3),

где Х2 — Х3=—1, и оба фактора используются до предела. 17.1

1. Относительный минимум функции будет: dZ/dxx = 0 и dZ/dx2 =0. (стр.505) Или: dC/dx1 — Xf1 = p1^Xfl = 0 ж dC/dx2—Xf2 = = Отсюда условия

минимума: рх— XFX — p2—Х/2 = 0. 2. Напишите (4) : / = у; Pi = XFX\ P2 = XF2. Продифференцируйте по У, имея в виду, что X (а также ХХ и Х2) зависит ОТ у. Тогда дС1ду = р1дх1/ду-^-р2дх2/ду~'К (f1dx1ldy-\-f2dx2jdy) = Xt так как выражение в скобках равно 1 на основании первого уравнения системы в задаче [результат дифференцирования уравнения (4) по У]. 5. В

\

соотношение Y=IIXX-{-J2X2 (теорема Эйлера) поставить FX — РХ и /2=

1 1С

= -у Р2. Получаем У = (Р\Х\ +^2*2) = • Заметьте, что ДС/ДУ = Х, см.

упражн. 2 этого раздела. 17.2

1. Производные от ф (/) суть ф' (/) /г и ф' (/) /г8+ф" (/) /r/s- Отноше- (стр. 510) пия первых производных заданы в виде fx : /2 :... . Подставьте в F, разбейте каждую строку (после первой) на две части, одна из которых (будучи пропорциональной первой строке) обращает определитель в нуль. Следовательно, F имеет только многократное {ф' (/)}n+1. 3.

С= 2ргяг = тах для

f(x 1, яп) = 0.

Найти значения переменных Х, максимизирующие Z — C—XF при заданных Р и У. Тогда DZ/DXR = 0 дает PR = XFR, которое имеет тот же вид, что и (1), но только для факторов. 4. Анализ н результаты аналогичны уравнениям (3) в тексте.

17.5 1. Принять Х3=0 и построить АР и ВВ по уравнениям 100Я14-25Х2 =

(стр 522) 1

= 150 и 10^+50^= . Эти линии пересекутся НИЖЕ ОХХ. Решение

ограничивается площадью, лежащей под первой линией, то есть, где она пересекает линию ОХХ (ХХ = 1,5,Х2 = 0).

Г 200 25 60 І 50 чел—час. 3. А=[ 20 50 48 J 52,5 акра тыс. ф. ст. 2 2 2

Рис. 62, а теперь показывает геометрическое место точек постоянной продукции с двумя эффективными частями РХР2Р3 и Q между ОА2 и ОА3. Так как применяется третий процесс OA3f то производится свинина. Рис. 62, б при имеет две линии:

5 95

25Х2+60Х3 = 50; таким образом, Х2=^,Я,3= — 50Х2+48Хз=52,5. 4.

Изменяйте постоянную в правой части второго уравнения в упражнении 3 (рис. 62, б). Если земельная площадь составит 40 акров, то Я2 = 0 и будет применяться только третий процесс; если 100 акров, то А,3=0 и будет применяться только второй процесс. 5. Решение будет в точке QX на рис. 62, а\ применяется только первый процесс, и оба фактора используются полностью. 6. Одна дополняющая переменная (при обращении третьего ограничивающего условия в уравнение) имеет ненулевое значение,, равное 2,5. 7. При увеличении первого процесса и уменьшении второго на 100 ф. ст. получаем изменение: Факторы Первый процесс Второй процесс Итого Труд (чел.-мес.) Земля (акры) . . +2,5 +5 -0,5 -10 +2 -5 Соотношение 2 : 5 равно отношению оценок факторов. 8. Два дефицитных фактора и два применяемых процесса, если отношение земли (акры) к труду (чел.-месяцы) будет между 125 : 4 и 50 : 25. Другими словами, если имеется {больше земли (дефицитен труд), то применяется только третий процесс (і43), и аналогично, если будет меньше земли. Исключение: отношение земли к труду равно точно 125 : 4 или 100 : 5, или 50 : 25 (вырожденные случаи).

17.6 1. Единичные уровни для выручки 1 ф. ст.; А = \аЛ1а12 ] (вектор-

(стр. 527) строка). Задача состоит в максимизации z= ^ ^s Для 2 ^is^s <Реше-

S S

ние: а1т есть минимум строки А, Хт = и другие К суть нули.

а1т 2. А—

1 п 12 у 10 50 чел.-мес. L 25 100J 260 акров тыс. ф. ст. 1 1 Решение: Ях = 2,4, Х2= 2,0. Факторы используются полностью при производстве 200 m пшеницы и 160 тп сена. Если цены будут 10/? ф. ст. для

пшеницы и 10 ф. ст. для сена, то в таком случае А =

. Будет

~f 10~

100

- р

производиться только пшеница (л2=0), если тангенс угла наклона по абсолютной величине (см. рис. 62, б), то есть > 2,5 (цена пшеницы = = 25 ф. ст. за тонну). Аналогично, при 5 ф. ст. за тонну, производится

только сено. 3. Если ЯЙ^-Т^ЯЦ две прямые,

1

50-[- 5/?2 = л2—2 и 25j9i+50/?2=

пересекутся ниже Орг. При решении /?2=0, земля используется неполностью, производится только свинина. Аналогично при Jtx, решение /?х = 0, труд используется неполностью, производится только зерно. Ч 5 1]

6500 ф. ст. 1 1

iox1+m25^ + 2^ <60

17.7 . Г 10 121 100 человек z = kl+X2 =max

(стр.532) A=L 5 2J 60 машин при условии: приводит к дисконтированной сумме выручки ґт^? = 6640 ) меньшей, пе-

Графическое решение: Я1 = 10, Х2==ь0. 2. Ставка процента в размере 6%.

7,00 = 6640)

жели стоимость наемных или арендуемых факторов. Если процентная ставка будет 100 г%, то переключение на длительный процесс произойдет,

если >6500, то есть процентная ставка должна быть <8,3%. Пере-

1 -Отключение на наемные факторы будет иметь место, если -г—.— >6700, то

1-\-г

есть когда ставка <5,1%. 3. Строка стоимости наемных факторов: [0 0 0 0 6500 6600 6500 6600]

643 41*

Любое переключение на наемные факторы есть переключение на процессы А, но не В. При увеличении цены продукта на 10%, произойдет переключение на Ах,— дополнительный процесс, подобный первоначальному. 4. В задаче 1 измените второе ограничивающее условие на 5A,1-f-2X2 50. Показать, что машины используются полностью, несмотря на то что по-прежнему Хх = 10, А,2=0. Двойственная задача: ? = 100jp1+50/?2 = min

3 1

при ограничениях 10/?!-j-5/?2^ 1; 12/?1-j-2/?2> 1. Решение: ^2=26 '

5. Отношение цен в двойственной задаче (см. пред. упр. 4) дает отношение про-

3 1

изводительности труда к производительности машины: рх: р2=—: — =1,5.

В^ первоначальной (прямой) задаче труд относительно недооценен, а потому происходит переключение на трудоинтенсивные процессы. Обратный случай в задаче 3 этого раздела.

17.8 (стр. 537)

25 10 0~| 50 чел.-мес. Точка Р:Хх = і,2; Я2 = 2,

1. А =

50 100 0 260 акров 'Х2 5

-10 10 т0 есть ТГ=з"

-0 — 1 с J 0 (как на рис. 64).

Другие ограничивающие соотношения (—Яі + Я3 = 0 и —Я2-[-сА,3 = 0) дают X

-тр- = с, и ищется,максимум A,x = A,3. Положение на рис. 64 (земля не исполь- Ai

5

зуется до предела, и цена земли равна нулю) получается, если с < .

о

2. Совпадение OQ с ОР (рис. 64) случайно, нетипично. 4. Норма замены = =Ръ' />3=28 : 63. Производительность-/груда = />1: р2 = 4 : 28=0,14 т свежей рыбы за 1 чел .-час, и аналогично производится расчет для копченой рыбы.

1

18.1

(стр. 544)

2. ф (м) = ---м2; ф' (и) —Щ ф"(м) = 1. Для двух товаров: о

их и2

их

"ll + J

и2

ихи2 и

I "2

"22+ и

"l2 +

0 иих ии2

~u3U

Ф =

U21+^-2 ' и

иих иихх-\-и\ иих2-\-ихи2 ии2 ии2х-\-ихи2 ии22-\-и\ Все остальные определители будут равны нулю (вследствие пропорциональности столбцов). 3. Так же, как в предыдущей задаче, но при ф(м) = 1пм; Ф' (и) = 1/и; ф" (и) = — 1/и2.

18.2 (стр. 546)

1. Из (1) иг = Хрг. Дифференцируя заданную функцию полезности,

получаем «11^1 +-«12^2 = ^ІЇ «12^1 + ^22^2 = ^2 ПрИ УСЛОВИИ ^ ргХг = М ИЛИ

г

Ріхі~\~Р2%2=М. Решая эти три уравнения относительно х19 х2 и X, получаем хх = (М/Р)(а22рх — а12р2); х2 = (М/р) (аххр2—ах2рх)\ Х = (М/Р) {ахха22—а\2), где Р = а22р\—2а12/?1/?2+а11/>|. Дифференцируем хг и х2: дхх/дрх = = — (М/Р2){р1(аХ1а22—«Ь) + («22/?і — «і2^2)2}- Таким образом, dxxjdpx<0, если, конечно, ахха22^>а\2. 2. Р, как в предшествующей задаче 1. Из первого условия (3) имеем: "21

а22

U =

= —Х2Р> о,

и2 "12

Р 2 «12 «22

Pi ахх

«21

0

их

и2

0

Хрх Хр2

о

Pi Р2

Хр2

Хрх ахх «21

так как их = Хрх ихх = ахх и12=и2Х = а12=а2Х и2=Хр2; и22 = а.22,

Следовательно, Р<0 и, в силу свойств квадратичных форм, ахх (и «22)<0 и a11a22>af2. Замечание: при этих условиях их, и2 и X отрицательно (см. задачу 1), то есть «предельная полезность» отрицательна. 3. Применить формулу (5) из 18.1.

18.3 (стр. 549)

2. На основании (8) и (9) для случая трех товаров X12jo2+Z13j33 > 0; Х12р1+Х23р3>0; Х13р^+Х23р2>0. Только одна из величин Х12, Х23, Х13 отрицательна;5не может быть более одной пары взаимно дополняемых товаров. 4. Примите, что рх уменьшается, а р2 неизменно. Когда рх проходит критическое значение = р2^) , покупки перемещаются от Р к В на

у

а»

рис. 50 (то есть х2 становится равным нулю). Это есть замена второго товара первым. В противном случае покупаемые количества остаются неизменными. О их их ихх и2 и2Х

18 4 1 = f'-їіЛ = -

'г59ч ' dxx \ dxxJ дхх \u2J дх2 \ и2 J dxx и3

(стр. 552) Кривая безразличая более полога к правой части, то есть она выпукла к точке О. 3. (— дхх/др) и дхх/дМ отрицательны: хх уменьшается при уменьшении цены (вдоль PC) и для возрастающих доходов (вдоль РВ), то есть траектории имеют в Р наклоны в обратном направлении. Линии безразличия должны сближаться вместе и быть крутыми для малых хх\ гораздо более обособленными и ровными для больших хх. 18.6

1. Сочетания выше ОАх: х2 находится в избытке, или хх слишком мало* (стр. 561) по сравнению с потребностями. 2. dxx — (axx— а12) d\x, и dx2——(«22—^21) Ф-

Отсюда f —Лі дается тангенсом угла наклона РХР2 на рис. 69. 4. Копеч- V dx2 J

ное число частей плоскостей, каждая только с одним наклоном (нормой замены) для данной пары товаров. 18.7

1. Некоторые факторы потребляются непосредственно (желаемые сами (стр. 566) по себе); некоторые продукты потребляются не полностью, а в пределах

установленного образования запасов; некоторые производственные процессы обладают сами по себе «полезностью». 2. (1), как в 17.8: максимальная полезность от одного способа потребления; (II), как в 17.8, пример (б), но с несколькими способами потребления: двойственной задачей будет минимизация стоимости единственного фактора; (III) А в нижнем левом секторе имеет главную диагональ из (— 1) и остальные элементы — нули.

1 18.8

1. На диаграмме (рис. 70, a): (A,1-j-2A,2) = max.

(стр. 572) др 25A,i+ 10А,2 = 50 (труд используется полностью) BP 50^x4-100^ = 260 (земля используется полностью) OQ Хо='кх (А,4 = 0, только первое соотношение потребления) OR Х2=Л,х/4 (Х3 = 0, только второе соотношение потребления) 10

Решение: Кх = А,2 = А,3=-^-, А,4 = 0, где АР пересекает OQ. Таким образом,

только труд полностью используется, применяется лишь первое соотиоше-

1500

пие потребления. Ср. 17.8, задача 1. Если земли -у-= 214 акров или менее,

то земля также дефицитна. 2. Р лежит ниже OR (рис. 70, а), земля—дефицитна, труд используется неполностью. BP параллельна линиям z — const,

1 К

и разные X неопределенны в областях: Я3^0;Х4^0. 5. При

4 Aj

6 = 45 имеем рх: р2: ръ : /?4= 1: 0 : 7 : 15 (нужно пересчитать по шкале, исходя

1 1

из Рз+Р*=1)- При 6 = 30 имеем р1 = ур3 и /?2=2^(7jo4 — 15jo3); если 1

и 3/?3-|-—jp4= 1 также применяется, то в таком случае

Я

Pi - Рг Рз : = 3 : 13 : 21 : 84. 6. Хх уменьшается относительно К2 до л-^ =

л 109

ct 1

. С этого момента только отношение а/р, и земля не используется.

р z

Р идет выше OQ (рис. 70, а). 7. (I) и (II): пропорциональное снижение производительности земли и труда в первом (втором) производственном процессе. (III): относительное изменение производительности труда двух ' производственных процессов. (IV): Изменение в структуре спроса (вкусов). Проанализировать влияние, как это сделано в тексте и в упражнении 6.

19.1 2. См. Тейл [8], стр. 5 — 6.

(стр. 575)

3. Из метода (I), я = jп и * = 2 если только х~

19.2 (стр. 579)

= 4- ^ asxs равно взвешенной средней продукции фирм, причем веса а ^

равны предельным склонностям применения рассматриваемого фактора. Если цена фактора есть psi то индивидуальный спрос будет описываться уравнением у8= as#s-|-Ъs/>s + а совокупный: у = ах-\-Ьр-\-к, где Ь = пЪ.

19.3 1. Ъ есть совокупный показатель эластичности от цен по отношению

(стр. 581) к индексу цен в форме средней геометрической. 2. Как в 19.2, упражн. 1 и 2.

Предельная склонность к потреблению группы товаров есть сумма предель- ных склонностей к потреблению составляющих ее товаров. 3. рг

Ут dPr

= в базисной точке.

Pro / УгО 19.4

1. См. доказательство обратного у Тейла [8], стр. 25. 3. Дхг/ = (стр. 586) А2г/ = аА|ы. Эти выражения равны, если а —а,

s

то есть если Cov (а8Л3) = 0. 4. Cov (aSi4s) =0, когда as=const, но также и при других обстоятельствах. 19.5

1. Воспользуйтесь соотношениями: T}.4as = l, Vi4bs = 0. 3. Индекс q (стр. 588) a s

охватывает цены товаров из группы и вне группы; если группа включает товары не взаимозависимые, то только цены товаров вне группы. 5. а зависит только от as и Ъ — только от bs\ можно избежать противоречий в частном специальном случае, если доход возрастает пропорционально средней из уровней дохода. 19.6

1. Предположите фирму, имеющую единственную (заданнную) про- (стр. 591) дукцию. 2. Принять xq (<7=1, 2, ..., к) как сумму дохода из разных источников. 4. См. пример (б) в тексте, распространенный путем суммирования по всем фирмам. 19.7

1. i = l, 2, ..., ш по всец, товарам или затратам. 2. См. [8], стр. 29. стр. 594) 4. Если yi относится к г-му товару, s-индивидууму, то тогда ias Ф 0 есть

предельная склонность к потреблению товара. 19.8

5. Истолковать условие какХх = тах для данного Хт (і = 2,3, ...,т).

стр. 598) 6. Условие есть Ui=шах. для f(Xlt Х2, ..., Хш) = 0. 7. Для каждого і

dUi dUi df df условия упражнения 6 суть -х— : ^—: и аналогично для дру-

OX fa CfJL^

гих пар товаров. Существуют только (m — 1) независимых отношений; другие из них вытекают. Проверьте для 3 и 4 товаров. 8. Только (к — 1) независимых уравнений, как в упражн. 7.